魏 璉， 曾慶立,2， 王 森

(1 深圳市力鵬工程結(jié)構(gòu)技術(shù)有限公司， 深圳 518034； 2 深圳大學(xué)土木與交通工程學(xué)院， 深圳 518060)

0 前言

《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ 3—2010)[1]第8.1.3條指出，框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)方法應(yīng)根據(jù)規(guī)定水平力作用下結(jié)構(gòu)底層框架部分承受的地震傾覆力矩與結(jié)構(gòu)總地震傾覆力矩的比值來確定相應(yīng)的抗震設(shè)計(jì)方法；《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)[2](簡稱10抗規(guī))第6.1.3條指出框架-剪力墻結(jié)構(gòu)框架部分的抗震等級應(yīng)根據(jù)底層框架部分承擔(dān)的地震傾覆力矩與結(jié)構(gòu)總地震傾覆力矩的比值來確定；《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(DBJ 15-92—2013)[3]第9.1.6條指出，當(dāng)?shù)卣鹱饔孟潞诵耐不騼?nèi)筒承擔(dān)的底部傾覆力矩不超過總傾覆力矩的60%時(shí)，在重力荷載代表值作用下，核心筒或內(nèi)筒剪力墻的軸壓比限值可適當(dāng)放松。

關(guān)于框架部分承擔(dān)的傾覆力矩計(jì)算方法，《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2001)[4](簡稱01抗規(guī))提出了抗規(guī)法，給出了計(jì)算公式，在實(shí)際應(yīng)用過程中，不少工程師認(rèn)為采用抗規(guī)法計(jì)算所得框架部分承擔(dān)的傾覆力矩偏小，因而提出了基于結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力及彎矩計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩的軸力法[5-8]?，F(xiàn)行YJK，PKPM，ETABS等常用的計(jì)算軟件均提供了這兩種計(jì)算方法，但軟件給出的兩種方法計(jì)算結(jié)果往往差異較大，使設(shè)計(jì)者決定采用時(shí)感到困惑；在近年不少項(xiàng)目的超限審查中，出現(xiàn)超限專家對框架部分承擔(dān)的傾覆力矩計(jì)算應(yīng)采用哪一種計(jì)算方法持有不同意見，難以達(dá)成一致結(jié)論。本文對兩種計(jì)算方法進(jìn)行了分析研究，找到了兩種計(jì)算方法的實(shí)質(zhì)、計(jì)算結(jié)果差別的原因及存在的問題，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)了軸力法，提出了基于力偶的算法。期盼通過本文的討論能使問題更加清晰，早日使業(yè)界對這一問題取得共識。

1 抗規(guī)法的分析

01抗規(guī)第6.1.3條條文說明中給出的框架部分的地震傾覆力矩計(jì)算公式為：

(1)

式中：n為結(jié)構(gòu)層數(shù)；m為第i層框架柱的總根數(shù)；Vij為第i層第j根框架柱在基本振型地震作用下的剪力，10抗規(guī)將“在基本振型地震作用下”改為了“在規(guī)定的水平力作用下”；hi為第i層層高。

(2)

根據(jù)圖2，在各層規(guī)定水平力Fi作用下，連結(jié)柱和剪力墻的梁產(chǎn)生軸力pi(水平力)和剪力Vi，在pi作為外力的作用下，左側(cè)框架部分底部受到的外力矩作用為：

圖1 框架-剪力墻結(jié)構(gòu)受力示意圖

圖2 隔離體示意圖

Mf=pn(hn+hn-1+…+h1)+pn-1(hn-1+…+h1)+…+p1h1

(3)

由于框架部分各層剪力為：

Vci=pi+pi+1+…+pn-1+pn

(4)

將式(4)代入式(3)并整理后，可得：

(5)

同理，圖2右側(cè)剪力墻部分在pi作為外力的作用下，底部的外力矩作用為：

Ms=(F1-p1)h1+(F2-p2)(h2+h1)+…+(Fn-pn)(hn+hn-1+…+h1)

(6)

由于剪力墻部分各層剪力為：

Vwi=(Fi-pi)+(Fi+1-pi+1)+…+(Fn-1-pn-1)+(Fn-pn)

(7)

將式(7)代入式(6)并整理后，可得：

(8)

由以上推導(dǎo)可見，抗規(guī)法的實(shí)質(zhì)是定義框架部分承擔(dān)的傾覆力矩為底層框架及以上隔離體所分配到的層水平外力pi對底層框架的力矩之和。但根據(jù)圖2，在各層規(guī)定水平外力作用下，連結(jié)框架和剪力墻的梁反彎點(diǎn)處，除產(chǎn)生水平力pi外，尚同時(shí)伴有剪力Vi，在框架部分底部各柱底產(chǎn)生軸力N，軸力N也參與抵抗外力矩。

2 軸力法的分析

由于對抗規(guī)法存在質(zhì)疑，近年來部分設(shè)計(jì)人員提出了基于結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力及彎矩的軸力法，并在一些軟件中得到反映。

圖3 軸力法計(jì)算簡圖

文獻(xiàn)[5]根據(jù)圖3的三維框架-剪力墻結(jié)構(gòu)計(jì)算模型及其中一榀結(jié)構(gòu)底部的內(nèi)力，提出式(9)的公式計(jì)算框架部分X向承擔(dān)的傾覆力矩作用。

(9)

式中：n為底層框架柱的總數(shù)；Ni為結(jié)構(gòu)底層第i根框架柱在規(guī)定水平力作用下的軸力；xi為第i根框架柱的橫坐標(biāo)；x0為取矩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；Mci為第i根框架柱柱底彎矩。

式(9)表明，軸力法與豎向構(gòu)件的位置、軸力、彎矩有關(guān)，其計(jì)算結(jié)果反映的是框架部分的抵抗力矩。從式中也可以看出，軸力法的計(jì)算結(jié)果取決于求矩點(diǎn)位置的確定。對于軸力法求矩點(diǎn)x0的位置，不同的軟件給出不同的算法。

PKPM，YJK等軟件根據(jù)式(10)計(jì)算得到求矩點(diǎn)x0[5]:

(10)

式中：FNj為底層第j根豎向構(gòu)件的軸力；xj為底層第j根豎向構(gòu)件的橫坐標(biāo)。

該法對求矩點(diǎn)x0未給出明確的定義。ETABS軟件采用式(11)計(jì)算得到求矩點(diǎn)x0[6]:

(11)

式中Ej，Aj分別為底層第j根豎向構(gòu)件的彈性模量和截面面積。

式(11)表明，ETABS軟件計(jì)算的求矩點(diǎn)為基底截面重心，該點(diǎn)位置取決于構(gòu)件的材料屬性、截面面積及構(gòu)件位置，其計(jì)算方法簡便，但其計(jì)算結(jié)果與豎向構(gòu)件的受力狀態(tài)無關(guān)，在理論上是不夠嚴(yán)密的。

很顯然，分別把式(10)、式(11)代入式(9)，其計(jì)算結(jié)果是不一致的，即根據(jù)不同的求矩點(diǎn)計(jì)算方法求得的框架部分承擔(dān)的傾覆力矩不同，因此合理的求矩點(diǎn)位置是軸力法應(yīng)該進(jìn)一步解決的問題。

3 力偶法

為了解決軸力法的不足，本文在該法的基礎(chǔ)上提出力偶法。

3.1 組成結(jié)構(gòu)傾覆力矩的三對力偶

由力的平衡原理可知，結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下，各豎向構(gòu)件產(chǎn)生的軸力Ni其和必須是零，即ΣNi=0。該軸力可分解為大小相等、方向相反的一對拉壓力；根據(jù)理論力學(xué)知識，力偶是大小相等、方向相反、作用線平行但不重合的一對力，力偶的大小僅與這對力的大小及力的作用點(diǎn)距離有關(guān)，由此可見，結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下，對底部產(chǎn)生的傾覆力矩可視為由底部各柱、墻截面的彎矩及由豎向構(gòu)件的軸向拉壓力形成的力偶來共同抗御。

為便于理解，以圖4所示的情形對傾覆力矩的力偶形式進(jìn)行闡述。圖4中各符號含義：N為構(gòu)件底部軸力、M為構(gòu)件底部彎矩，下標(biāo)c代表框架柱、w代表剪力墻，上標(biāo)t代表軸力為拉力、c代表軸力為壓力；1,2，…，i，…，n代表樓層。

圖4 力偶法計(jì)算示意圖

如圖4所示，在水平力作用下，框架柱、剪力墻構(gòu)件底部的合彎矩分別為：

(12a)

(12b)

受拉框架柱、受壓框架柱、受拉剪力墻、受壓剪力墻的合拉力、合壓力分別為：

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

(14)

受拉柱合拉力與受壓柱合壓力形成力偶Mo-f(假定拉力為正，壓力為負(fù))：

(15a)

受拉墻合拉力與受壓墻合壓力形成力偶Mo-w：

(15b)

(15c)

結(jié)構(gòu)底層傾覆力矩可表達(dá)為：

Mov=Mo-f+Mo-w+Mo-wf+Mc+Mw

(16)

式(16)即以力偶形式表達(dá)的結(jié)構(gòu)底部總傾覆力矩，式中各力偶作用、各構(gòu)件底部彎矩當(dāng)其方向與外力矩方向相反時(shí)取為正值，反之取負(fù)值。

3.2 對軸力法求矩點(diǎn)位置的論證

在式(10)的基礎(chǔ)上，假定第k根受拉豎向構(gòu)件(剪力墻及框架柱)軸力為Ftk，第l根受壓豎向構(gòu)件(剪力墻及框架柱)軸力為Fcl，由平衡條件可知：

∑|Ftk|=∑|Fcl|

(17)

又因?yàn)椋?/p>

∑|FNj|=∑|Ftk|+∑|Fcl|=2∑|Ftk|

(18)

受拉構(gòu)件拉力合力點(diǎn)xt為：

(19)

受壓構(gòu)件壓力合力點(diǎn)xc為：

(20)

則受拉合力點(diǎn)與受壓合力點(diǎn)間的中點(diǎn)坐標(biāo)為：

(21)

即有：

(22)

因此，xm=x0。由此可見，式(10)的求矩點(diǎn)為受拉構(gòu)件合力點(diǎn)與受壓構(gòu)件合力點(diǎn)之間的中點(diǎn)。

3.3 力偶法的計(jì)算公式

力偶法的目標(biāo)主要是分別計(jì)算框架部分和剪力墻部分承擔(dān)的傾覆力矩。為此，需將式(16)改寫成式(23)的表達(dá)形式，即：

Mov=Mf+Ms

(23)

式中Mf，Ms分別為底層框架部分、底層剪力墻部分承擔(dān)的傾覆力矩。

圖5 不平衡力偶及軸力示意圖

(24)

各層梁上不平衡剪力之和即底層框架不平衡軸力為：

(25)

(26)

(27)

因此，由力偶形式表達(dá)的底層框架部分承擔(dān)的傾覆力矩可表達(dá)為：

(28)

同理，可得到由力偶形式表達(dá)的底層剪力墻部分承擔(dān)的傾覆力矩可表達(dá)為：

(29a)

(29b)

4 抗規(guī)法、軸力法及力偶法的相互關(guān)系

根據(jù)抗規(guī)法的定義，當(dāng)框架梁兩端為鉸接，即梁無剪力時(shí)，框架柱底合軸力與剪力墻底合軸力均為零，此時(shí)抗規(guī)法、軸力法、力偶法取得一致結(jié)果。

軸力法計(jì)算的框架部分承擔(dān)的傾覆力矩式(9)可改寫為：

(30)

將式(30)與式(28)對比，力偶法與軸力法的差別在于不平衡力矩部分求矩點(diǎn)不一致，軸力法求矩點(diǎn)定在豎向構(gòu)件合拉力與合壓力的中點(diǎn)，力偶法則嚴(yán)格根據(jù)梁受力反彎點(diǎn)位置進(jìn)行計(jì)算，理論嚴(yán)密合理。當(dāng)為對稱結(jié)構(gòu)時(shí)，力偶法與軸力法計(jì)算結(jié)果一致；在一般情形下，兩種方法的計(jì)算結(jié)果存在一定的差異。

5 算例

5.1 非對稱結(jié)構(gòu)算例

圖6為非對稱的平面框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，柱截面為600mm×600mm，梁截面為600mm×300mm，剪力墻墻厚200mm，混凝土強(qiáng)度等級均為C30。在圖6所示的水平力作用下，分別采用抗規(guī)法、軸力法、力偶法計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩，計(jì)算結(jié)果詳見表1，非對稱結(jié)構(gòu)框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占比為框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占整個(gè)結(jié)構(gòu)的比值，余同。

圖6 非對稱結(jié)構(gòu)示意圖

非對稱結(jié)構(gòu)框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占比表1

本算例為多跨的非對稱結(jié)構(gòu)，由表1結(jié)果可見，抗規(guī)法與其他方法計(jì)算結(jié)果相差較大；軸力法與力偶法因求矩點(diǎn)不同，其計(jì)算結(jié)果有一定的差異。

5.2 對稱結(jié)構(gòu)算例

圖7為框架-剪力墻布置示意圖，呈對稱結(jié)構(gòu)，構(gòu)件尺寸、材料等級等同5.1節(jié)案例。在圖7所示的水平力作用下，分別采用抗規(guī)法、軸力法、力偶法計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩，計(jì)算結(jié)果見表2；由表2可見，對于多跨的對稱結(jié)構(gòu)，抗規(guī)法與其他方法計(jì)算結(jié)果依舊相差較大；軸力法、力偶法計(jì)算結(jié)果一致。

圖7 對稱結(jié)構(gòu)示意圖

對稱結(jié)構(gòu)框架部分承擔(dān)的傾覆力矩占比表2

6 判別結(jié)構(gòu)體系的層剪力比

文獻(xiàn)[9]的研究表明，結(jié)構(gòu)的傾覆力矩比受組成剪力墻的位置是否靠近質(zhì)心位置關(guān)系較大，同樣截面尺寸的剪力墻靠近平面的兩端時(shí)，其傾覆力矩遠(yuǎn)大于其位置在靠近質(zhì)心時(shí)，這對于剪力墻數(shù)量不是很多的剪力墻結(jié)構(gòu)體系判別有較大影響；同時(shí)剪力墻結(jié)構(gòu)的傾覆力矩比在結(jié)構(gòu)不同高度樓層是有變化的，僅由結(jié)構(gòu)底層的傾覆力矩比來判斷剪力墻結(jié)構(gòu)或框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)體系有時(shí)不夠全面。文獻(xiàn)[9]提出采用結(jié)構(gòu)的層剪力比來對結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行判別，其剪力比的計(jì)算方法可參見文獻(xiàn)[10]。

7 結(jié)論

(1)抗規(guī)法的定義是底層框架及以上隔離體所分配到的層水平外力對底層框架的力矩之和；軸力法則是在計(jì)算框架部分承擔(dān)的傾覆力矩時(shí)，考慮了結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力形成的傾覆力矩的作用，因而兩者定義不同，其計(jì)算結(jié)果必然不同。

(2)采用軸力法計(jì)算結(jié)構(gòu)底部豎向構(gòu)件軸力形成抵抗外傾覆力矩時(shí)，PKPM采用的求矩點(diǎn)位置在受拉構(gòu)件合軸力與受壓構(gòu)件合軸力作用點(diǎn)間距的中點(diǎn)，與結(jié)構(gòu)實(shí)際受力狀況不符。本文在軸力法的基礎(chǔ)上分析了柱、墻底部軸力形成的三對力偶作用，并根據(jù)力偶與求矩點(diǎn)位置無關(guān)這一特性提出了力偶法，它與軸力法的區(qū)別在于框架柱底合軸力與剪力墻底合軸力組成力偶的分配，軸力法求矩點(diǎn)定在豎向構(gòu)件合拉力與合壓力的中點(diǎn)，力偶法則嚴(yán)格根據(jù)梁受力反彎點(diǎn)位置進(jìn)行計(jì)算，理論嚴(yán)密合理。當(dāng)為對稱結(jié)構(gòu)時(shí)，力偶法與軸力法計(jì)算結(jié)果一致。

(3)當(dāng)連梁框架柱與剪力墻梁兩端鉸接，梁無剪力時(shí)，軸力法與力偶法由柱底與剪力墻底合軸力組成的力偶為零，此時(shí)抗規(guī)法、軸力法、力偶法計(jì)算結(jié)果相同。

(4)本文以上論述表明抗規(guī)法與軸力法、力偶法的差別源于其對框架部分承擔(dān)傾覆力矩的定義不同，不宜簡單的結(jié)論孰是孰非。但從力學(xué)分析的角度看，力偶法更符合力矩計(jì)算的要求。經(jīng)將軸力法改進(jìn)完善后的力偶法可供工程界參考使用。

(5)由結(jié)構(gòu)底層的傾覆力矩比來判斷剪力墻結(jié)構(gòu)或框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)體系不夠全面，建議補(bǔ)充剪力比作為判別條件之一。