不用花錢也玩高爾頓釘板

陳新龍

高爾頓釘板問題是由英國生物統(tǒng)計學家高爾頓提出來的，這個問題的模型如上圖所示，小球從最上方被扔下，每經過一個釘子，都有一半的可能從左邊走，一半的可能從右邊走，當有很多個小球從上往下隨機掉落時，落在下面的格子里的小球數量分布上會呈現(xiàn)一定的統(tǒng)計規(guī)律，這個模型可以用來直觀地認識中心極限定理——概率論中討論大量獨立隨機變量之和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。這樣一塊高爾頓釘板淘寶上要賣上百元，我們用編程也能觀察到這種概率現(xiàn)象。

說到概率就很容易想到游戲用的骰（tóu）子，它可以產生隨機數1到6。當我們擲下一顆骰子時，每種點數出現(xiàn)的概率都是1/6;當我們擲下兩顆骰子時，一共有6×6=36種情況。兩顆骰子點數的和最小是2最大是12。

點數和為2，可能性只有（1，1）一種，概率為1/36。

點數和為3，可能性有（1，2），（2，1）兩種，概率為2/36=1/18。

點數和為4，可能性有（1，3）、（2，2）、（3，1）三種，概率為3/36=1/12。點數和為5的概率為5/36;點數和為6的概率為6/36=1/12;點數和為7的概率和點數和為9的概率為4/36=1/9……當大家對所有的點數的概率分析完成后可以進行加和，驗證最終是否等于概率1。

頻率和概率一樣都是統(tǒng)計系統(tǒng)各元件發(fā)生的可能性大小的概念。不過概率是一個穩(wěn)定的數值，也就是某件事發(fā)生或不發(fā)生的概率是多少。頻率是在一定數量的某件事情上面，發(fā)生的數與總數的比值。假設事件A在100次測試中發(fā)生了28次，那么它的頻率是28/100=0.28，頻率是有限次數的試驗所得的結果，可能當測試無限次時A事件的概率為0.3。我們說骰子的每個數字出現(xiàn)的概率是1/6，僅僅幾次試驗是不具備統(tǒng)計規(guī)律的，只有投擲一定的數量，最終的頻率才會接近1/6。

我們用Scratch模擬投擲兩枚骰子的點數和，驗證一下高爾頓板的概率。角色使用圓球，先創(chuàng)建一個初始化積木，創(chuàng)建列表Results用1-12項來存放出現(xiàn)對應數字和的次數（投擲兩枚骰子不會出現(xiàn)點數和為1的結果）。變量total用來統(tǒng)計投擲的次數。變量roll記錄單次投擲兩顆骰子的點數和。一次roll，將total加1，roll設為2個1到6的隨機數之和，根據和將列表中的對應項記錄加1。

下面將列表中的讀數作成柱狀圖，橫軸為投擲的點數和1到12，縱軸為出現(xiàn)的次數，最大值為500。每次投擲后在（X=-100+roll×25），（Y=-100+Results的第roll項/2）畫下一個圖章。為了使得柱狀圖更加好看，這里我們可以采用改變顏色特效的方法，將顏色特效設定為Results的第roll項/6，這樣數量越接近500就越紅。

當使用自定義函數后，主程序變得更加簡潔了。當投擲骰子點數和的概率某一項大于500時，停止投擲，顯示出的柱狀圖就是概率分布圖。通過多次測試可以看出來結果頻數最高在7，且呈現(xiàn)正態(tài)分布，是不是和高爾頓釘板展現(xiàn)出的效果一致。

通過學習Scratch編程，我們可以融入課堂學習的數學知識和生活中的小技巧。并且形象生動地展示數學帶給我們的魅力，擴展自己的思維，活學活用。