劉逸康，任順清，張高雄，張 祎

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150080；2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240)

地磁場(chǎng)提供了豐富的地磁特征[1]，利用衛(wèi)星地磁測(cè)量，能夠快速地測(cè)量全球的地磁場(chǎng)矢量信息.在此基礎(chǔ)上完成地磁場(chǎng)模型庫的建立與更新，并廣泛應(yīng)用于地磁導(dǎo)航、地震預(yù)報(bào)等技術(shù)領(lǐng)域[2-3].地磁測(cè)量的精度受到測(cè)量用磁力儀和星敏感器等的儀器安裝誤差以及坐標(biāo)系間傳遞精度的影響[4-7]，因此提高衛(wèi)星地磁測(cè)量系統(tǒng)內(nèi)傳感器的精度和磁力儀與星敏感器之間安裝矩陣的測(cè)量精度具有重要的實(shí)用價(jià)值.

目前對(duì)磁力儀及星敏感器之間安裝矩陣的標(biāo)定方法研究相對(duì)較少，張藝騰等[8]對(duì)航空地磁測(cè)量中的磁力儀與姿態(tài)儀的聯(lián)合標(biāo)定進(jìn)行了研究，假設(shè)磁力儀三軸與姿態(tài)儀三軸之間為歐拉轉(zhuǎn)換的關(guān)系，通過多次旋轉(zhuǎn)，由最小二乘通過掃描迭代求出最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)歐拉角，最終得到傳感器間的安裝矩陣.孫闖等[9]對(duì)安裝矩陣提出一種戶外標(biāo)定的方法，該方法借助一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)六面體對(duì)伸展桿系統(tǒng)進(jìn)行多個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)，測(cè)量不同姿態(tài)下星敏與磁力儀的輸出，并根據(jù)測(cè)出的星敏感器與磁力儀敏感軸坐標(biāo)系相對(duì)地理坐標(biāo)系的姿態(tài)辨識(shí)出星敏與三軸磁力儀間的安裝矩陣，但該方法達(dá)不到精度要求.王凱強(qiáng)等[10]提出了在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下利用三軸無磁轉(zhuǎn)臺(tái)提供姿態(tài)信息以及恒星模擬器模擬室外觀星環(huán)境，通過最小二乘辨識(shí)出安裝矩陣的方法，但用三軸無磁轉(zhuǎn)臺(tái)在戶外標(biāo)定既不方便也不經(jīng)濟(jì).

本文提出了一種利用單軸立式無磁轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)磁力儀及星敏感器之間安裝矩陣在戶外進(jìn)行地面標(biāo)定的方法，通過無磁轉(zhuǎn)臺(tái)提供精確的角位置使磁力儀敏感到不同的地磁場(chǎng)分量的激勵(lì)，不僅辨識(shí)出磁力儀的非正交誤差，并在此之上完成安裝矩陣的標(biāo)定.

1 地面標(biāo)定系統(tǒng)介紹

針對(duì)三軸磁力儀以及3個(gè)星敏感器，如果各個(gè)敏感軸的方向矢量能夠統(tǒng)一在地理坐標(biāo)系下表示，即可確定他們間的安裝矩陣.當(dāng)星敏感器在地面觀星時(shí)，可得到星敏光軸在慣性空間的姿態(tài)，再利用當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度信息以及測(cè)量時(shí)刻的格林尼治恒星時(shí)推導(dǎo)出星敏光軸在地理坐標(biāo)系下的表示.在單個(gè)位置下三軸磁力儀測(cè)量地磁場(chǎng)無法直接解算出其敏感軸的姿態(tài)，本文借助單軸無磁轉(zhuǎn)臺(tái)以及安裝夾具，在多個(gè)位置進(jìn)行測(cè)量，推導(dǎo)出初始位置下的磁力儀敏感軸在地理坐標(biāo)系下的表示.最終通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)方法，解算出精確的安裝矩陣.根據(jù)以上原理，整個(gè)地面標(biāo)定系統(tǒng)如圖1所示.

圖1 地面標(biāo)定系統(tǒng)示意

磁力儀和星敏感器由剛性桿連接成固聯(lián)體，安裝在單軸立式無磁轉(zhuǎn)臺(tái)上，構(gòu)成了無磁實(shí)驗(yàn)平臺(tái).地面監(jiān)測(cè)系統(tǒng)包括旋轉(zhuǎn)軸監(jiān)測(cè)系統(tǒng)以及地磁場(chǎng)監(jiān)測(cè)磁強(qiáng)計(jì).無磁轉(zhuǎn)臺(tái)由于必須采用無磁材料等的原因存在著較大的傾角回轉(zhuǎn)誤差，使用旋轉(zhuǎn)軸監(jiān)測(cè)裝置對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，并對(duì)輸出進(jìn)行補(bǔ)償.標(biāo)定時(shí)需要提供精確的當(dāng)?shù)卮艌?chǎng)矢量信息，故采用監(jiān)測(cè)用磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量當(dāng)?shù)卮艌?chǎng)的變化.

2 坐標(biāo)系的建立與誤差傳遞

根據(jù)地面標(biāo)定系統(tǒng)組成，依次建立以下坐標(biāo)系.地心慣性坐標(biāo)系OiXiYiZi，Oi為地球的地心，Xi軸和Yi軸在地球的赤道平面內(nèi)，Xi軸指向春分點(diǎn)，Zi軸指向地球北極，Yi軸的方向由右手定則來決定.

地理坐標(biāo)系OXYZ，即東北天坐標(biāo)系g.如果已知格林尼治恒星時(shí)t，測(cè)量地點(diǎn)的經(jīng)度λ以及緯度φ，則可求出慣性系i與地理系g間的轉(zhuǎn)換矩陣為

(1)

星敏感器光軸坐標(biāo)系OpXpYpZp.由3個(gè)星敏光軸組成的非正交坐標(biāo)系.OpXp沿著X星敏光軸，OpYp，OpZp分別沿著其余星敏光軸.

轉(zhuǎn)臺(tái)軸套坐標(biāo)系O1X1Y1Z1固聯(lián)在軸套上.設(shè)地理坐標(biāo)系為單軸無磁轉(zhuǎn)臺(tái)的參考坐標(biāo)系，則軸套坐標(biāo)系相對(duì)地理坐標(biāo)系的變換矩陣為[11]

(2)

式中Δθx0、Δθy0稱為主軸軸線的鉛垂度，可在試驗(yàn)前通過水平儀精確測(cè)量.

主軸坐標(biāo)系O2X2Y2Z2，主軸坐標(biāo)系相對(duì)于軸套坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為[11]

rot(z1,γ),

(3)

式中Δθx1(γ)、Δθy1(γ)為轉(zhuǎn)臺(tái)的傾角回轉(zhuǎn)誤差，在試驗(yàn)時(shí)由旋轉(zhuǎn)軸監(jiān)視系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控.

安裝基面坐標(biāo)系O3X3Y3Z3，為考慮轉(zhuǎn)臺(tái)安裝基面相對(duì)于軸系幾何軸線的垂直度Δαx2，Δαy2形成，安裝基面坐標(biāo)系相對(duì)主軸坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為[11]

(4)

磁力儀測(cè)量坐標(biāo)系O4X4Y4Z4.為正交坐標(biāo)系，磁力儀位于初始位置時(shí)，O4X4軸與安裝基面O3X3軸相差了一個(gè)繞O3Z3軸的初始安裝角β，磁力儀測(cè)量坐標(biāo)系相對(duì)安裝基面坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為

(5)

由于磁力儀3個(gè)敏感軸存在著三軸非正交誤差，初始安裝磁力儀時(shí)，令磁力儀X軸Y軸處于水平狀態(tài)，此時(shí)磁力儀敏感軸O4Z4與磁力儀敏感軸O5Z5平行，現(xiàn)稱為第1種安裝方式.設(shè)磁力儀敏感軸矢量在磁力儀測(cè)量坐標(biāo)系O4X4Y4Z4的表示為

(6)

式中Δθyx、Δθzx、Δθzy分別為3個(gè)敏感軸間的垂直度.若3個(gè)參數(shù)為正，則表示磁力儀敏感軸之間夾角大于90°.由于加工水平與安裝工藝的限制，以及磁力儀的內(nèi)部存在剩磁，磁力儀輸出模型中還存在著標(biāo)度因子kx,ky,kz和零偏bx,by,bz，可在試驗(yàn)之前通過標(biāo)定方法求出.設(shè)初始安裝位置如圖1所示.結(jié)合式(2)～(6)，此時(shí)磁力儀的輸出表示為[12]

(7)

3 磁力儀誤差標(biāo)定方法

稱圖1中固聯(lián)體姿態(tài)為第1種安裝方式下的初始位置，當(dāng)單軸無磁轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度為γ時(shí)，采集三軸磁力儀的輸出.展開式(7)并忽略二階小量，有：

Rx1=[kxBx(cosβ+Δθyxsinβ)+kxBy(sinβ-

Δθyxcosβ)+kxBz(-Δθy0cosβ-Δθy1cosβ+

Δθx0sinβ+Δθx1sinβ)]cosγ+[kxBx(-sinβ+

Δθyxcosβ)+kxBy(cosβ+Δθyxsinβ)+

kxBz(Δθx0cosβ+Δθx1cosβ+Δθy0sinβ+

Δθy1sinβ)]sinγ+kxBz(-Δθzx-Δαy2cosβ+

Δαx2sinβ)+bx,

(8)

Ry1=[kyBx(-sinβ)+kyBy(cosβ)+

kyBz(Δθx0cosβ+Δθx1cosβ+Δθy0sinβ+

Δθy1sinβ)]cosγ+[-kyBxcosβ-kyBysinβ+

kyBz(Δθy0cosβ+Δθy1cosβ-Δθx0sinβ-

Δθx1sinβ)]sinγ+kyBz(-Δθzy+Δαx2cosβ+

Δαy2sinβ)+by,

(9)

Rz1=[Δαy2kzBx-Δαx2kzBy]cosγ+[Δαx2kzBx+

Δαy2kzBy]sinγ+kzBx(Δθy0+Δθy1)-

kzBy(Δθx0+Δθx1)+kzBz+bz.

(10)

式(8)～(10)中存在的辨識(shí)參數(shù)有β，Δθyx，Δθzx，Δθzy，Δαx2和Δαy2.考慮使用諧波分析辨識(shí)，此時(shí)一周內(nèi)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)大于辨識(shí)量的兩倍.令γ=2πi/n(i=0,1,2,…,n-1)，n=24，即單軸轉(zhuǎn)臺(tái)等間隔旋轉(zhuǎn)24次，每次轉(zhuǎn)臺(tái)停穩(wěn)并采集完磁力儀輸出后進(jìn)行下次旋轉(zhuǎn).

首先應(yīng)辨識(shí)初始旋轉(zhuǎn)角β，因只有在β已知的時(shí)才能獲取磁力儀敏感軸在地理坐標(biāo)系下的表示.利用采集到的磁力儀的Y軸輸出對(duì)式(9)進(jìn)行諧波分析，有：

(11)

kyBz(Δθx0cosβ+Δθx1cosβ+Δθy0sinβ+

Δθy1sinβ)-kyBxsinβ+kyBycosβ,

(12)

kyBz(Δθy0cosβ+Δθy1cosβ-Δθx0sinβ-

Δθx1sinβ)-kyBxcosβ-kyBysinβ.

(13)

由于Δθx0、Δθy0、Δθx1和Δθy1為小量，式(12)、(13)變?yōu)?/p>

(14)

解式(14)，求出β的初值β′為

(15)

精確值滿足β=β′+Δβ，其中Δβ為小量.將其代回式(9)，并將等式右邊的Δθx0、Δθy0、Δθx1和Δθy1項(xiàng)補(bǔ)償至Ry1，進(jìn)行整理，并重新進(jìn)行諧波分析，設(shè)補(bǔ)償后的磁力儀輸出為Fy，有:

-kyBx(sinβ′+Δβcosβ′)+kyBy(cosβ′-

Δβsinβ′),

(16)

kyBx(-cosβ′+Δβsinβ′)-kyBy(sinβ′+

Δβcosβ′).

(17)

聯(lián)立式(16)、(17)，求出Δβ的值為

(18)

至此完成了初始旋轉(zhuǎn)角β的辨識(shí).在此基礎(chǔ)上，將等式右邊的Δθx0、Δθy0、Δθx1和Δθy1項(xiàng)補(bǔ)償至Rx1、Rz1，分別對(duì)磁力儀的X軸和Z軸輸出進(jìn)行諧波分析.設(shè)補(bǔ)償后的輸出分別為Fx和Fz.

(19)

kxBx(cosβ+Δθyxsinβ)+kxBy(sinβ-

Δθyxcosβ),

(20)

kxBx(-sinβ+Δθyxcosβ)+kxBy(cosβ+

Δθyxsinβ),

(21)

(22)

(23)

結(jié)合式(20)、(21)求出Δθyx，聯(lián)立式(22)、(23)求出Δαx2和Δαy2，分別為：

(24)

(25)

考慮式(11)、(19)，可以看出Δθzy和Δθzx項(xiàng)與磁力儀的零偏誤差發(fā)生混疊，辨識(shí)精度會(huì)受到嚴(yán)重影響，因此不能直接辨識(shí).至此在第1次安裝方式下，可以得到此時(shí)的初始旋轉(zhuǎn)角β，磁力儀水平方向兩軸之間的非正交誤差Δθyx，和安裝基面垂直度Δαx2和Δαy2.Δθzx，Δθzy由于不能精確標(biāo)定，需要改變安裝方式進(jìn)行測(cè)量.

重新調(diào)整固聯(lián)體的安裝方式，當(dāng)磁力儀X軸和Z軸位于水平，Y軸豎直時(shí)，稱為第2種安裝方式；當(dāng)磁力儀Y軸和Z軸位于水平，X軸豎直時(shí)，稱為第3種安裝方式.按照第1種安裝方式的步驟進(jìn)行處理，此時(shí)不同安裝方式下的初始旋轉(zhuǎn)角將發(fā)生變化，進(jìn)行諧波分析，可以求出各個(gè)辨識(shí)參數(shù)的值.對(duì)于第2種安裝方式，可以求出水平面兩軸垂直度Δθzx的值，對(duì)于第3種安裝方式，可以求出水平面兩軸垂直度Δθzy的值.

在第1次安裝方式的初始位置下，磁力儀敏感軸坐標(biāo)系在地理坐標(biāo)系下的表示為

(26)

其中:

A=sinβ(Δθx0+Δθx1(0))-cosβ(Δθy0+Δθy1(0))+

Δαx2sinβ-Δαy2cosβ,

B=cosβ(Δθx0+Δθx1(0))+sinβ(Δθy0+Δθy1(0))+

Δαx2cosβ+Δαy2sinβ.

4 安裝矩陣標(biāo)定方法

磁力儀測(cè)量磁場(chǎng)的同時(shí)，利用星敏感器進(jìn)行觀星.在第1次安裝方式的初始位置，假定3個(gè)星敏感器均能夠觀星.設(shè)某星敏感器視場(chǎng)內(nèi)能觀測(cè)到的某顆恒星的赤經(jīng)為α，赤緯為δ.則在慣性坐標(biāo)系下的單位恒星矢量為[13]

(27)

星敏感器觀測(cè)該恒星，得到該恒星發(fā)出的光映射在該星敏感器測(cè)量坐標(biāo)系下的坐標(biāo):

(28)

星敏感器在同一時(shí)刻能夠觀測(cè)多個(gè)恒星，得到了多組矢量對(duì)Ai和Si.根據(jù)坐標(biāo)系間變換關(guān)系，有

(29)

(30)

由于3顆星敏安裝工藝的限制，三軸之間存在著垂直度誤差，將星敏光軸進(jìn)行正交化，建立星敏感器正交坐標(biāo)系OXtYtZt，其與星敏感器光軸坐標(biāo)系的關(guān)系為

(31)

由于星敏感器與磁力儀通過夾具體固聯(lián)，二者的夾角不會(huì)發(fā)生變化，磁力儀三軸垂直度以及星敏感器三軸垂直度也不會(huì)發(fā)生變化，所以由三軸磁力儀至星敏感器的正交安裝矩陣表示為

(32)

在實(shí)際的衛(wèi)星地磁測(cè)量中，通過磁力儀測(cè)量磁場(chǎng)，并瞬時(shí)測(cè)得星敏相對(duì)慣性空間的姿態(tài)，以及此時(shí)的經(jīng)緯度和格林尼治恒星時(shí)，結(jié)合式(32)的正交安裝矩陣以及辨識(shí)出的磁力儀三軸垂直度誤差Δθyx，Δθzx，Δθzy， 星敏感器3個(gè)光軸的垂直度，即可解算出該位置下的地磁場(chǎng)矢量信息，為地磁場(chǎng)信息庫的建立打下基礎(chǔ).

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文基于誤差模型提出的標(biāo)定方法的正確性，利用Monte Carlo方法驗(yàn)證.假定測(cè)量位置地磁場(chǎng)強(qiáng)度為三分量Bx為-3 275.9 nT，By為27 102.2 nT，Bz為-48 085.0 nT.各個(gè)參數(shù)初值見表1.

表1 誤差參數(shù)初值

以第1次安裝方式為例，選擇矢量磁力儀測(cè)量噪聲為σ=1.00 nT的零均值高斯白噪聲，單軸轉(zhuǎn)臺(tái)每次安裝方式等間隔旋轉(zhuǎn)24次，利用Monte Carlo方法設(shè)計(jì)仿真算法辨識(shí)誤差參數(shù)，共辨識(shí)100次，將計(jì)算結(jié)果繪制成曲線，如圖2所示.

圖2 誤差參數(shù)辨識(shí)曲線

針對(duì)得到的辨識(shí)結(jié)果，計(jì)算出各個(gè)參數(shù)的殘差εi(β)，εi(Δθyx)，εi(Δαx2)和εi(Δαy2).殘差的計(jì)算公式和殘差的標(biāo)準(zhǔn)差公式分別為：

(33)

利用式(33)求出辨識(shí)參數(shù)的不確定度為:σ(β)=2.29″，σ(Δθyx)=3.17″，σ(Δαx2)=2.20″，σ(Δαy2)=2.20″.

由于3次安裝方式下的條件相同，可以認(rèn)為Δθzx，Δθzy的辨識(shí)精度與Δθyx相同.利用不確定度合成公式，結(jié)合求出的各個(gè)辨識(shí)參數(shù)的不確定度即可求出磁力儀敏感軸的辨識(shí)值以及辨識(shí)精度.忽略小量，有：

(34)

(35)

(36)

假定經(jīng)過長時(shí)間觀星后，星敏感器光軸指向精度Δα為1″，設(shè)X星敏感器的光軸矢量為

(37)

按照不確定度的分配規(guī)律，則此時(shí)的不確定度為:

(38)

當(dāng)星敏觀測(cè)時(shí)刻慣性坐標(biāo)系到地理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

(39)

于是X星敏光軸矢量在地理系下表示和不確定度為:

(40)

(41)

σ(F·G)2=(g1σ(f1))2+(g2σ(f2))2+(g3σ(f3))2+

(f1σ(g1))2+(f2σ(g2))2+(f3σ(g3))2.

(42)

σ(L11)2=(xx|cosβ|σ(β))2+(xy|sinβ|σ(β))2+

(xzσ(Δαx2))2+(cosβσ(xx))2+

(sinβσ(xy))2+(Aσ(xz))2.

(43)

假設(shè)觀測(cè)地的經(jīng)緯度信息為北緯40.9°，東經(jīng)115.5°，取對(duì)應(yīng)的格林尼治恒星時(shí)為218.63°.利用式(1)得到慣性坐標(biāo)系到地理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣:

(44)

3個(gè)星敏感器的光軸矢量分別為:

(45)

(46)

(47)

按照上述方法計(jì)算，最終求出安裝矩陣及各個(gè)元素不確定度為:

(48)

(49)

6 結(jié) 論

1)在建立誤差模型的基礎(chǔ)上，利用諧波分析法可以辨識(shí)得到包括磁力儀三軸垂直度、初始安裝角、安裝誤差等誤差參數(shù).

2)根據(jù)辨識(shí)結(jié)果求出磁力儀測(cè)量坐標(biāo)系在地理坐標(biāo)系下的表示，結(jié)合星敏感器觀星確定星敏感器在慣性空間姿態(tài)并轉(zhuǎn)化到地理坐標(biāo)系，最終推導(dǎo)了磁力儀測(cè)量坐標(biāo)系到星敏感器正交坐標(biāo)系的安裝矩陣計(jì)算公式.

3)通過仿真驗(yàn)證，在1 nT的磁力儀測(cè)量噪聲以及1″的星敏測(cè)量精度下，求出安裝矩陣內(nèi)各個(gè)元素的精度在1.14×10-5rad以內(nèi).