Eyüp ?etin 著 張方圓 丁俊杰 吳正鵬 譯

一、文獻綜述

在過去的幾十年里，很多學(xué)者對廣告活動相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)有了一些研究。研究中重要的是確定在一個最優(yōu)的框架內(nèi)一場廣告活動需要進行多長時間。換句話說，一場廣告活動的最佳持續(xù)時間應(yīng)該是多少。本文站在純數(shù)學(xué)的角度來分析并嘗試回答這個問題。先前的不同的研究從不同的角度理解與分析廣告活動這一主題。下面介紹一些學(xué)者針對此問題的不同的研究方法。

Arsham和Dianich考慮建立消費者行為模型，該模型包括一場有限廣告活動的持續(xù)時間以及一個二次利潤函數(shù)，并且以此模型代表廣告效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)。[1]這個模型將最佳的動態(tài)廣告策略問題確定為最優(yōu)控制問題。眾所周知，開展一場廣告活動的方式和時間也同樣重要。Balakrishnan和Hall提出并建立一個分析模型，該模型用于確定一個長期的廣告活動的最佳插入時間模式，這個長期的廣告活動是由多個有著不同開展方式的小型廣告活動組成的。[2]實際上，一則廣告可以被視為一種投資。Danaher和Rust接受了廣告是一種投資這個觀點，并提出一個用于計算媒體投放廣告的支出水平的簡單公式，該公式使投資的回報最大化。[3]Arsham最大化了貼現(xiàn)利潤函數(shù)，該函數(shù)包括一場有限活動持續(xù)時間內(nèi)銷售量的不確定性。[4]

一些學(xué)者研究廣告活動與消費者數(shù)量之間的關(guān)系。例如，Belenky和Nistraman Consulting在一些自然的假設(shè)下，優(yōu)化了若干潛在的消費者的平均值，潛在的消費者是指會因為一場廣告活動而購買做廣告的商品或者服務(wù)的消費者。[5]此外，Belenky和Belenkii還給出對應(yīng)于某些變量的Belenky非線性規(guī)劃模型的推廣。[6]

廣告活動有幾個目的，例如認(rèn)知、態(tài)度以及銷售量[7]。實際上，認(rèn)知是一場廣告活動的核心理念。人們的行為受到它們可以獲得的信息的影響[8]。很明顯的是目標(biāo)群體的認(rèn)知水平越高，銷售量就越大。認(rèn)知的能力直接與產(chǎn)品信息的擴散相關(guān)。在本文中定義的產(chǎn)品(商品或者服務(wù))信息為：哪里有可以獲得的產(chǎn)品，然后在一個特定地區(qū)購買該產(chǎn)品的信息。在這一點上，擴散理論起著重要作用。

本文建立了一個數(shù)學(xué)模型，該模型利用給定社會群體中信息的擴散來確定一場廣告活動的最佳持續(xù)時間。該模型包括總的收入，總收入是時間的函數(shù)，廣告成本的固定現(xiàn)金流以及與時間無關(guān)的所有其他附加成本。

二、信息的擴散

擴散理論已經(jīng)被應(yīng)用于各種各樣的研究領(lǐng)域，例如教育學(xué)、農(nóng)村社會學(xué)、人類學(xué)以及市場營銷。在擴散理論中，擴散要素模型、創(chuàng)新屬性模型和采用階段模型是主要的模型。從擴散要素模型的觀點來看，其有四個要素：創(chuàng)新、傳播渠道、社會系統(tǒng)以及時間。創(chuàng)新的屬性解釋了可能影響接受或拒絕的一些特性。采用的階段包括認(rèn)知、試用和接受三個主要的階段。事實上，一個人對于創(chuàng)新的認(rèn)知是模型的一個重要組成部分。在擴散過程中，一個人認(rèn)知一項創(chuàng)新，并將這種認(rèn)知傳達給其他的一些人。依此類推，當(dāng)這項創(chuàng)新被傳播或者擴散時，接受傳達的人也會反過來傳達這種認(rèn)知[9]。

雖然擴散研究主要集中在技術(shù)創(chuàng)新的擴散上，但是創(chuàng)新也包含一些新的想法。因此，人們很自然地把一些普通的信息接收為創(chuàng)新的信息。為了將擴散理論應(yīng)用于創(chuàng)新的信息，有必要對該理論中創(chuàng)新的定義進行適當(dāng)?shù)男薷?，將普通的信息也包含在?chuàng)新的定義內(nèi)[9]。

一些研究人員發(fā)現(xiàn)，在認(rèn)知階段，大眾媒體對創(chuàng)新品的曝光是促使人們接受創(chuàng)新的一個因素[9]。大眾媒體可以極大地協(xié)助擴散的過程[10]。例如，在一場針對糖尿病患者的步行運動中，為了招募志愿者，通過在當(dāng)?shù)孛襟w上刊登廣告來招募組織步行活動的領(lǐng)頭人[11]。文獻研究發(fā)現(xiàn)，大眾媒體活動還能有效地向年輕人傳遞傳播性疾病的干預(yù)信息[12]。相比之下，在一項關(guān)于工作信息擴散的研究中，發(fā)現(xiàn)人際交流的傳播方式比大眾媒體的傳播方式能發(fā)揮更大的作用[9]。事實上，可以將這兩個主要的因素融合在一起。因此信息的擴散和作為一種廣告工具的大眾媒體可以被結(jié)合在一個廣告活動的模型中。作為顯示信息與銷售量之間關(guān)系的一個例子，Tonks指出，客戶對信息的需求顯示為產(chǎn)品總銷售額的一條S型擴散曲線[13]。

對于各種媒體工具，不同的目標(biāo)和不同的群體有著不同的偏好。例如，相比于其他媒體，喜歡看報紙的人數(shù)往往更多，尤其是在本地廣告或者零售廣告的信息量衡量標(biāo)準(zhǔn)上。電視媒體在全國的廣告[14]和新產(chǎn)品信息[15]的信息量表中排名更高。Oskam和Hudson發(fā)現(xiàn)了農(nóng)村人群對媒體的偏好[10]。根據(jù)調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)受訪者從電視媒體中獲取日常的新聞和信息，其次是從報紙、收音機以及雜志中獲取信息，然而，大多數(shù)受訪者通過看報紙接收大部分日常的廣告信息，其次通過電視媒體和收音機。

一場廣告活動應(yīng)該由廣告專家和行為科學(xué)專家來設(shè)計。向公眾提供信息的方式應(yīng)該與已有的習(xí)慣和模式相兼容。由此得到的結(jié)論是，實驗心理學(xué)家在解決向公眾傳播信息的實際問題中確實發(fā)揮了作用[16]。

Sznadj-Weller和Weller建立了一個模型，該模型基于統(tǒng)計物理學(xué)在市場營銷中的應(yīng)用，在伊辛自旋模型的基礎(chǔ)上描述了意見在客戶之間的傳播[17]。Thompson提出了一個確定性的模型，用于研究一個不斷被移民所取代的群體中的信息擴散[18]。Karmessu建議研究特定社會群體中關(guān)于信息擴散的隨機模型中的時滯效應(yīng)。基本的信息擴散模型如下[19]。

在一個社會群體P中，任意信息在時間t時的擴散率為

其中N為知曉特定信息的人數(shù)，k為擴散系數(shù)，k是社會群體特有的，并且可以從類似的歷史觀察中獲得。通過求解上述微分方程，得到在任意時間t知曉特定信息的人數(shù)為N(t)=P(1-e-kt)[20]。

三、信息擴散的最優(yōu)化

預(yù)計將在特定社會群體中最大限度地擴散任何肯定性的信息。換句話說，在特定的社會群體中最大限度地增加知曉任何肯定性信息的人數(shù)是合理的。為了優(yōu)化，需要取貼現(xiàn)率r。因此，函數(shù)N(t)的現(xiàn)值可以通過不斷地貼現(xiàn)用下式計算

A(t)=N(t)·e-rt=P(1-e-kt)e-rt

在此框架下，優(yōu)化的必要性條件為dA/dt=0。然后對等式兩邊都取自然對數(shù)得到

lnA(t)=lnP+ln(1-e-kt)+lne-rt

通過對必要性條件進行微分，我們得到

如果A≠0，那么

對于優(yōu)化的充分條件，可以看出A″(t)<0。因此，t是函數(shù)的最大值點。這個t值就是信息擴散的最佳時間。也就是說，此時知曉特定信息的人數(shù)最多。可以看出，最佳時間取決于擴散系數(shù)k和貼現(xiàn)率r。有趣的是，最佳時間點與特定群體P無關(guān)。這里的貼現(xiàn)率r可以解釋為從特定信息的擴散的過程中獲得的貨幣值的利率。信息擴散的最佳時間是決策者可以自由地利用貼現(xiàn)率或信息擴散過程的時間。

四、建立模型

我們假設(shè)針對目標(biāo)人群(一個特定地區(qū)的人群)的特定產(chǎn)品類型(商品或服務(wù))的一場廣告活動在時間t=0開始。另外，假設(shè)公司以固定的現(xiàn)金流(a)花費在做廣告上，例如，地方電視臺、廣播、印刷品等，公司的總成本(C)，包括所有希望出售的產(chǎn)品的總購買成本和與時間無關(guān)的任何其他成本。在這里還假設(shè)，該地區(qū)從廣告中獲得產(chǎn)品的信息并決定購買該產(chǎn)品的人數(shù)以信息的擴散過程為模型，并假設(shè)公司有足夠多的產(chǎn)品來滿足供應(yīng)需求。在這些假設(shè)下，需要最大化的目標(biāo)函數(shù)可以定義為

總利潤現(xiàn)值=總收入現(xiàn)值-廣告成本凈現(xiàn)值-C

設(shè)α為銷售一件產(chǎn)品的價格，P為開展廣告活動的地區(qū)的人群，N為廣告活動期間售出的產(chǎn)品數(shù)量，r為貼現(xiàn)率，k為該地區(qū)人口的擴散系數(shù)，t為時間單位(例如，每天)，設(shè)t≥0，t*為最佳時間，即這場廣告活動的最佳持續(xù)時間，R(t)為在時間t時的總收入。

t時的總收入為R(t)=αN(t)=αP(1-e-kt)，然后通過連續(xù)貼現(xiàn)得到總收入的現(xiàn)值A(chǔ)(t)=R(t)e-rt。由于公司以固定現(xiàn)金流作為廣告成本(取決于時間t)，我們用與文獻[21]中相同的連續(xù)貼現(xiàn)率來計算包括t時的廣告成本在內(nèi)的廣告成本的凈現(xiàn)值

根據(jù)上述的分析，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

即

通過對t進行微分，得到必要性條件

π′(t)=[R′(t)-rR(t)-a]e-rt

當(dāng)且僅當(dāng)R′(t)-rR(t)-a=0時，上述表達式等于0。即此時R′(t)=rR(t)+a。通過計算，我們得到時間t。

αkPe-kt=rαP(1-e-kt)+a

αkPe-kt+rαPe-kt=rαP+a

通過檢查充分性條件，可以很明顯得到π″<0，因此，t*是總利潤函數(shù)的最大值點。也就是說，使總利潤達到最大的廣告活動的最佳持續(xù)時間為t*。如果持續(xù)時間超過了這個時間，相對于貼現(xiàn)率，總利潤隨著時間的推移而減少。因此，在這個時間點之后還繼續(xù)進行廣告宣傳活動是不合理的。雖然信息擴散的最佳持續(xù)時間與群體P無關(guān)，但是最佳持續(xù)時間的取值依賴于上述的k、r、α、a以及P這些參數(shù)。

在本文中，最佳持續(xù)時間的值指的是銷售產(chǎn)品可能獲得的收益利潤率曲線與目標(biāo)函數(shù)的增長率曲線相交的點。也就是說，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的增長率降至利率(貼現(xiàn)率)以下時，廣告活動必須立即結(jié)束。沒有貼現(xiàn)的目標(biāo)函數(shù)的增長率為rπ=π′(t)/π(t)[21]。一個典型的目標(biāo)函數(shù)(有貼現(xiàn))、目標(biāo)函數(shù)(沒有貼現(xiàn))的增長率曲線和最佳持續(xù)時間如圖1所示。

圖1 最佳時間

通過一些統(tǒng)計過程或模擬技術(shù)，可以根據(jù)之前的相似活動的數(shù)據(jù)來估計一個地區(qū)的人口擴散系數(shù)。另一種方法是，當(dāng)其他參數(shù)已知時，可以通過求解k的信息擴散微分方程得到擴散系數(shù)。眾所周知，廣告活動會影響擴散系數(shù)。其加快了新產(chǎn)品信息在某個特定地區(qū)的擴散。與系數(shù)無關(guān)，因為系數(shù)將從上一次類似的活動中被估計出來。由于相同的結(jié)果，任意移動到特定區(qū)域(移民)內(nèi)部和外部都不會對估計擴散系數(shù)造成影響。

該模型是一個無約束的優(yōu)化模型。這個問題的解可能會得到一個不是整數(shù)的最佳時間。但是我們通常希望能得到一個整數(shù)解。在這種情況下，對同一個目標(biāo)函數(shù)增加一個時間變量為整數(shù)的約束條件。使該模型變?yōu)橐粋€整數(shù)非線性規(guī)劃模型，且該模型可以利用任何非線性規(guī)劃軟件求解。

另一種建模方法：α可以表示那些知曉特定產(chǎn)品的人群，即公司的平均貨幣增值，N可以表示特定地區(qū)內(nèi)通過廣告獲得該產(chǎn)品信息的人數(shù)。

五、舉例說明

假設(shè)一個應(yīng)用程序如下：有一家公司想要舉辦一場廣告活動，分別將廣告發(fā)布和刊登在當(dāng)?shù)氐碾娨暸_、廣播以及報紙平臺上，在一個擁有10000人口的小鎮(zhèn)上，該公司每天固定支出30美元用作廣告費。該公司計劃將每個產(chǎn)品的價格定為1美元。并且假設(shè)該公司有足夠多的產(chǎn)品來滿足消費者的購買需求。該公司采購所有產(chǎn)品花費的總成本為150美元。該公司從上一次為期10天的類似活動中發(fā)現(xiàn)：活動階段內(nèi)售出的產(chǎn)品數(shù)量呈正態(tài)分布，其平均值為729.82，標(biāo)準(zhǔn)差為237.28(按升序排列)。如果每天的利率為0.1，現(xiàn)在的問題是根據(jù)天數(shù)來確定廣告活動的最佳持續(xù)時間。并且考慮在相同條件下，廣告活動的最佳持續(xù)時間的整數(shù)值是多少？

首先，我們應(yīng)該估計城鎮(zhèn)居民的擴散系數(shù)。從上一次類似的廣告活動中得知，一天內(nèi)售出的產(chǎn)品數(shù)量是呈正態(tài)分布的，即以N(729.82，237.82)分布的。我們使用蒙特卡羅模擬來預(yù)測城鎮(zhèn)居民的擴散系數(shù)。該模擬是利用電子表格工具實現(xiàn)的，借助于MS Excel的模擬插件@Risk 4.5。建立模型如下：首先，利用MS Excel的函數(shù)為每天生成分布為N(729.82，237.82)的隨機數(shù)，共10個。然后，由于信息擴散的性質(zhì)(曲線)，將這些正態(tài)分布的隨機變量按升序排序，并與從第1天到第10天相關(guān)聯(lián)。輸入公式RiskNormal(729.82，237.28)，得到10000次運行的隨機數(shù)。對每個隨機數(shù)計算N、t以及k值，即計算10000次。經(jīng)過10000次運行(這需要幾秒鐘的時間)，我們得到一個帶有標(biāo)準(zhǔn)偏差的平均k值。該模擬得到平均擴散系數(shù)為k=0.3115，標(biāo)準(zhǔn)偏差為r=0.1489。再使用不加@Risk插件的經(jīng)典MS Excel工具進行相同的模擬，結(jié)果顯示平均k值與使用@Risk插件的模型運行得到的值基本相同。模擬得到的模型及部分統(tǒng)計結(jié)果見表1。通過模擬技術(shù)而不是微分方程求解，可以得到擴散系數(shù)的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及期望系數(shù)的一些置信區(qū)間。

表1 最優(yōu)化與蒙特卡羅模擬模型

另一種建模方法也是值得注意的：當(dāng)α作為知曉信息的人意味著公司的貨幣增值時，N可以作為知曉信息的人的數(shù)量。在這種情況下，售出的產(chǎn)品數(shù)量等價于為公司增加價值的人數(shù)。

接下來計算廣告活動的最佳持續(xù)時間。根據(jù)上面推導(dǎo)出的最佳持續(xù)時間公式，代入數(shù)據(jù)，計算這場廣告活動的最佳持續(xù)時間為

總收入，即售出的產(chǎn)品數(shù)量(售價為1美元每件)為7496.58美元，廣告活動期間的總成本為2948.34美元，目標(biāo)函數(shù)值，即總利潤為4548.24美元。利用MS Excel的求解工具求解也可以得到相同的結(jié)果。結(jié)果如表1所示。能獲得的最大利潤就是我們想要得到的最優(yōu)總利潤。廣告活動超過最佳持續(xù)時間以后，利潤往往會減少。因此，這場廣告活動應(yīng)該只持續(xù)4.446天。圖2和圖3分別顯示了時間與目標(biāo)函數(shù)(有貼現(xiàn)過程)的曲線以及時間與目標(biāo)函數(shù)增長率(沒有貼現(xiàn)過程)的曲線。利率曲線與目標(biāo)函數(shù)的增長率曲線在最佳時間點(即，t=4.446)處相交。

圖2 目標(biāo)函數(shù)

圖3 目標(biāo)函數(shù)的增長率

算例的第二個部分是求解廣告活動的最佳持續(xù)時間的整數(shù)值。此時這個問題變?yōu)橐粋€整數(shù)非線性規(guī)劃模型問題，可以表示為：

maxπ(t)

s.tt為整數(shù)

利用MS Excel的求解器對該整數(shù)規(guī)劃問題進行求解，MS Excel的求解器是很強大的優(yōu)化工具。也可以使用其他非線性編程軟件進行求解。通過求解，得到了最優(yōu)的解決方案：廣告活動的最佳持續(xù)時間為4天。根據(jù)得到的整數(shù)解，這場廣告活動必須在第4天結(jié)束。如果采用這個方案，預(yù)計該公司的總收入為7123.47美元，總利潤為4526.10美元，總成本為2597.37美元。由于廣告活動的持續(xù)時間較短，總收入、總成本和總利潤均低于前一種非整數(shù)模型。由于在通常情況下，一般要求廣告活動的持續(xù)時間為整數(shù)，因此，第二種方案為真實的商業(yè)圈提供了一個更為實際的且更為有用的方案。

六、結(jié)論

本文在一個最優(yōu)的框架內(nèi)，利用特定社會群體中的信息的擴散，對一場廣告活動進行建模。即根據(jù)信息的擴散來確定一場廣告活動的最佳持續(xù)時間。

本文的一個重要拓展是利用貼現(xiàn)率優(yōu)化信息的擴散過程。由于信息的擴散過程是一個隨時間變化的連續(xù)過程，因此采用連續(xù)貼現(xiàn)的方式進行計算。建立的模型使用固定的廣告成本現(xiàn)金流，但是也可以使用遞減的時間的現(xiàn)金流函數(shù)。一場廣告活動的最佳持續(xù)時間取決于前面定義的k、r、α、a以及P這些參數(shù)。我們想要得到的最佳持續(xù)時間為目標(biāo)函數(shù)的貼現(xiàn)率曲線與其增長率曲線的交點的值。且隨著貼現(xiàn)率的增加，最佳持續(xù)時間縮短。

另一個值得注意的拓展是利用蒙特卡羅模擬的方法來估計擴散系數(shù)，而不是利用經(jīng)典的微分方程求解得到擴散系數(shù)。同時發(fā)現(xiàn)在模擬模型中使用一些過去的概率分布是可行的。此外，還得到了擴散系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和置信區(qū)間。同時表明利用電子表格建模的方法對于求解模擬模型以及整數(shù)非線性規(guī)劃模型的問題是很實用和有用的。

本文建立的模型包括了兩種類型的成本：一種是作為時間的函數(shù)的廣告成本，另一種是與時間無關(guān)的其他所有成本。假設(shè)這里不存在額外的成本。此外，作為進一步研究的主題，任何類型的成本以及收入都可以用類似的方式包括在模型中。

未來研究的另一個主題可以是確定針對某類目標(biāo)人群的一場廣告活動的最佳持續(xù)時間，該目標(biāo)人群是具有不同擴散系數(shù)的不同人群的組合。

譯后

隨著科學(xué)技術(shù)的進步以及時代的更新迭代，如今廣告的類型愈加豐富，內(nèi)容形式也愈加多樣，廣告已經(jīng)成功地滲透在我們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷?。然而無論時代如何變化，毋庸置疑的是，廣告行業(yè)與廣告學(xué)術(shù)研究從未停止它前進的腳步，其一直在不斷地創(chuàng)新發(fā)展。與國外的學(xué)術(shù)論文相比，國內(nèi)雖然也有一些利用數(shù)理方法、定量方法等方法對廣告進行學(xué)術(shù)研究的文章，但是幾乎沒有利用純粹的數(shù)學(xué)方法來研究以廣告為主題的、解決廣告領(lǐng)域相關(guān)問題的論文。以往國內(nèi)在廣告領(lǐng)域的研究中，大部分學(xué)者通過定性分析的方法，以他們作為廣告活動的參與者、廣告運作的決策者以及廣告政策的制定者的經(jīng)驗與判斷，從參與者與決策者的視角出發(fā)，去研究廣告效果、廣告設(shè)計、廣告創(chuàng)意、廣告投放、市場營銷以及品牌形象等方面的廣告問題，鮮有論文以純數(shù)學(xué)的視角對廣告領(lǐng)域的問題進行研究。而國外的學(xué)者在20世紀(jì)末就開始把數(shù)學(xué)方法帶入到廣告問題中，利用純數(shù)學(xué)的方法進行研究，并發(fā)表了很多優(yōu)秀的論文。因此，譯者本著學(xué)習(xí)的態(tài)度，經(jīng)與原作者溝通并征得授權(quán)后，研讀并翻譯了這篇論文，將其譯為中文刊發(fā)，旨在把論文中用到的方法以及作者對此問題獨到的思想見解介紹給更多的讀者朋友，目的在于表明廣告領(lǐng)域的很多問題也可以利用純粹的數(shù)學(xué)方法與模型進行求解。

同時需要說明的是，除了這篇論文之外，還有很多國外的學(xué)術(shù)論文，也是從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，把廣告領(lǐng)域的相關(guān)問題量化，借助數(shù)學(xué)工具建模求解。值得注意的是，這些論文都有一個共同點，即都是以大量的數(shù)學(xué)公式支撐起論文的主要框架，用準(zhǔn)確的、具體的、科學(xué)的數(shù)字作為其研究內(nèi)容的數(shù)據(jù)支持，從而使得原本復(fù)雜的問題變得更加清晰明了，同時也從和以往不同的角度為問題的解決提供了另一種不同的思路。Grosset和Viscolani利用Nerlove-Arrow廣告模型的框架，提出了一種在同質(zhì)市場中為產(chǎn)品做廣告的模型[22]。并假設(shè)持續(xù)的外部干擾作為一個負(fù)面因素會對商譽產(chǎn)生附加作用，他們考慮一個分段線性的需求函數(shù)，提出了一個具有無限時域的非光滑最優(yōu)控制問題，最終得到了一個最優(yōu)的廣告策略。Favaretto等人研究了在一個細分的市場中，使用不同的媒體為某一社交活動做廣告的問題[23]。在假設(shè)廣告對商譽演化的加性影響和需求是商譽的凹函數(shù)的條件下，將此問題描述為最優(yōu)控制問題，建立了一場娛樂活動的門票銷售利潤最大化的最優(yōu)控制問題。證明了最優(yōu)解的存在性，并利用龐特里亞金極大值原理(Pontryagin′s maximum principle，PMP)對其進行了刻畫。Grosset和Viscolani將動態(tài)廣告模式和疫苗接種活動聯(lián)系起來，利用動態(tài)廣告模型理論來解決疫苗接種問題，引入了一個關(guān)于未接種疫苗的人數(shù)服從線性微分方程的動態(tài)模型，從數(shù)學(xué)的角度研究了一類可變最終時間的最優(yōu)控制問題[24]。有的文獻從數(shù)學(xué)的角度，陳述和分析一個純狀態(tài)約束的最優(yōu)控制問題，利用一種來自動態(tài)廣告模型理論的新方法來提高疫苗接種覆蓋率[25]。

接下來，將分別從翻譯這篇論文的動因及意義、大數(shù)據(jù)背景下研究傳統(tǒng)廣告的必要性、數(shù)學(xué)方法與廣告領(lǐng)域相關(guān)問題的交叉融合以及計算廣告在國內(nèi)的發(fā)展空間這四個方面做進一步的說明。

第一，翻譯的這篇論文有其創(chuàng)新性。論文以信息擴散理論的相關(guān)內(nèi)容為理論基礎(chǔ)，借助數(shù)學(xué)公式作為工具，利用數(shù)學(xué)的方法建立模型，最后得到了開展一場廣告活動的最佳持續(xù)時間。本研究建立了一個純數(shù)學(xué)模型，作者根據(jù)信息在特定社會群體中的擴散情況，從而確定開展一場廣告活動的最佳持續(xù)時間。作者還設(shè)計了一個假想算例，并利用所建立的模型進行求解。首先，通過蒙特卡羅模擬得到了重要的參數(shù)——擴散系數(shù)，然后建立了以總利潤為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，模型要求總利潤最大化，先求解無約束的優(yōu)化模型，得到了廣告活動的最佳持續(xù)時間(不是整數(shù)值)。此后又結(jié)合實際，考慮到日常生活中的廣告活動，一般需要對廣告活動的持續(xù)時間取整數(shù)值，因此對原模型進行改進，在原優(yōu)化模型中加入了時間為整數(shù)的約束，對此整數(shù)非線性規(guī)劃模型進行求解，得到一場廣告活動最佳持續(xù)時間的整數(shù)解。在這篇文章的結(jié)論部分，作者也清晰地給出了文章的不足與今后研究的方向。論文目前建立的模型包括了兩種類型的成本，分別是與時間有關(guān)的廣告成本以及與時間無關(guān)的其他所有成本，并假設(shè)不存在額外的成本。因此作為進一步研究的主題，可以在模型中加入任何類型的成本以及收入。而未來的研究方向是確定針對某類目標(biāo)人群(具有不同擴散系數(shù)的不同人群的組合)的一場廣告活動的最佳持續(xù)時間。

在以往的分析中，廣告，作為一個過去在人們的印象里偏文科和營銷應(yīng)用的一個學(xué)科，學(xué)者們的研究更多地集中在廣告創(chuàng)意作品、廣告策劃思路以及廣告營銷方案之類的問題。在這樣的類似于社會科學(xué)領(lǐng)域，或者是人文科學(xué)領(lǐng)域中的一些問題，缺乏精準(zhǔn)與量化的內(nèi)容。雖然在判定廣告效果、進行廣告投放的過程中也有一些數(shù)據(jù)支持，但是從總體上來看，更多的研究是憑借從業(yè)者的創(chuàng)意與以往的相關(guān)經(jīng)驗，自然這些方法都很難進行量化分析。但是通過這樣一篇論文，我們想讓更多的學(xué)者知道其實廣告當(dāng)中的許多問題是可以用非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法來恒定的。對于一個廣告公司來說，廣告活動的策劃無疑是非常重要的。如何在廣告費用支出最少的情況下達到最好的廣告效果應(yīng)該是每家廣告公司都想知道的答案。眾所周知，一場廣告活動持續(xù)的時間過長或者過短都會對公司造成不必要的損失，因此這篇論文對于一場廣告活動的最佳持續(xù)時間進行研究，利用信息擴散理論和蒙特卡羅模擬建立模型，使得目標(biāo)函數(shù)最大化，即公司獲得的總利潤最大化。

信息擴散理論是傳播效果研究的經(jīng)典理論之一。當(dāng)下，信息擴散理論已經(jīng)應(yīng)用于各行各業(yè)，例如，經(jīng)濟學(xué)、法學(xué)、教育學(xué)、管理學(xué)以及醫(yī)學(xué)等。對于廣告這個領(lǐng)域來說，無論是哪種形式的廣告，都離不開信息擴散理論。因為廣告自然是依賴于目標(biāo)受眾的，廣告主希望自己在媒體載體上投放的廣告被更多的人群看到，從而讓這部分人群對自己的產(chǎn)品產(chǎn)生興趣，進而讓這些潛在消費者購買自己的產(chǎn)品或服務(wù)。又因為社會是連通的，無時無刻不在進行信息擴散，在廣告主發(fā)布廣告出售產(chǎn)品或服務(wù)的過程中，自然也伴隨著信息擴散。因此這篇論文以信息擴散理論為基礎(chǔ)，將特定群體的擴散系數(shù)引入到模型中，是合理且有意義的。這篇論文選用的建模方法是蒙特卡羅模擬。蒙特卡羅模擬是計算數(shù)學(xué)的一個分支，它能夠幫助學(xué)者們從數(shù)學(xué)上表述一些非常復(fù)雜的相互作用。蒙特卡羅模擬以其原理簡單以及計算快速的優(yōu)勢在很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，例如，宏觀經(jīng)濟學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、計算物理學(xué)等。

第二，對傳統(tǒng)廣告領(lǐng)域的問題進行研究仍有重要意義。在互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計算等高速發(fā)展的大背景下，新媒體廣告正迅速崛起、蓬勃發(fā)展，新媒體廣告具有覆蓋面更廣、傳播速度更快的優(yōu)勢，這無疑為廣告業(yè)與廣告學(xué)術(shù)研究的創(chuàng)新發(fā)展帶來了新的發(fā)展機遇，也有效地解決了一些之前傳統(tǒng)廣告無法解決的難題。在大數(shù)據(jù)的驅(qū)動下，計算廣告、智能廣告已經(jīng)成為廣告學(xué)術(shù)研究的熱點話題。但是實際上，對于以電視、廣播以及報紙等媒體作為載體進行傳播的傳統(tǒng)廣告來說，其仍然沒有退出歷史舞臺，對傳統(tǒng)廣告的營銷進行相關(guān)研究，仍有重大意義。我們不得不承認(rèn)，近幾年來，中國廣告業(yè)發(fā)生了巨大的變化，從總體上來看，數(shù)字營銷與計算廣告越來越成為主流，而傳統(tǒng)的廣告被認(rèn)為是已經(jīng)不合時宜，但是我們翻譯的這篇論文，其實是基于傳統(tǒng)廣告行業(yè)領(lǐng)域的一項研究，我們想與國內(nèi)學(xué)者們分享的主要有兩方面內(nèi)容：一方面是在人工智能、大數(shù)據(jù)、云計算進入廣告領(lǐng)域形成計算廣告之前，在西方國家，計算廣告的方式或者說是思維其實一直是存在的。所以我們今天所謂的精準(zhǔn)營銷、精準(zhǔn)投放等等這樣的一些說法，在西方的廣告領(lǐng)域當(dāng)中也一直是存在的。另一方面是各行各業(yè)都在發(fā)展，廣告行業(yè)的從業(yè)者也在不斷的創(chuàng)新，所以我們的學(xué)術(shù)研究不應(yīng)該停滯不前，而應(yīng)順應(yīng)時代的發(fā)展，以對傳統(tǒng)廣告營銷的研究為起點，把利用的定量方法與數(shù)理方法等數(shù)學(xué)方法與思維逐步應(yīng)用于如今的新媒體廣告營銷領(lǐng)域。這同樣是我們未來研究的目標(biāo)。

第三，廣告與數(shù)學(xué)的融合將成為未來的熱點主題。換句話說，在今后的研究中，將出現(xiàn)越來越多的利用純數(shù)學(xué)的方法研究以廣告為主題的論文。作為最初從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)出身的人，我學(xué)習(xí)過很多數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)以及定理的證明，最重要的是形成了一種數(shù)學(xué)思維，這給我后面其他課程的學(xué)習(xí)提供了很大的幫助。因此，我深知數(shù)學(xué)這門學(xué)科它的基礎(chǔ)性與不可替代性。如今廣告業(yè)和廣告學(xué)術(shù)研究的發(fā)展，主要是基于互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展而形成的一種新的樣式，但是互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展最主要是基于計算機技術(shù)，而計算機技術(shù)的發(fā)展主要是依賴于數(shù)學(xué)。因此，也就應(yīng)了那句話——數(shù)學(xué)是所有自然學(xué)科的基礎(chǔ)，任何一個學(xué)科的發(fā)展都離不開數(shù)學(xué)。換句話說，數(shù)學(xué)其實是我們學(xué)習(xí)任何其他學(xué)科以及眾多學(xué)科不斷發(fā)展的基礎(chǔ)。從科學(xué)性的角度來看，數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)科學(xué)，如果說科學(xué)的性質(zhì)是歸納與演繹，那么數(shù)學(xué)就是歸納與演繹的工具。上面說數(shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)，原因也就在此。再從學(xué)術(shù)性的角度來看，任何一個學(xué)科一旦與數(shù)學(xué)進行融合，借助了數(shù)學(xué)的思想，也就具備了其頂層性和規(guī)范性。同時數(shù)學(xué)作為一種工具，還能夠簡化運算，甚至將以前不能進行的運算通過某個數(shù)學(xué)定理來實現(xiàn)。

最后，希望國內(nèi)的學(xué)術(shù)刊物能夠給廣告與數(shù)學(xué)方法交叉融合領(lǐng)域的這類論文更多的機會。我們翻譯的這篇論文選自美國的學(xué)術(shù)刊物《應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算》(AppliedMathematicsandComputation)，其側(cè)重于系統(tǒng)科學(xué)理論與應(yīng)用研究，刊載利用計算機技術(shù)和數(shù)學(xué)方法解決應(yīng)用問題的研究論文和評論。因此我們認(rèn)為，從這篇論文原文發(fā)表的空間這個角度來看，也可以作為一種借鑒。換而言之，在中國的廣告領(lǐng)域，并且是偏向于學(xué)術(shù)研究方面的論文，可以選擇發(fā)表的期刊是非常有限的，一些知名的廣告學(xué)刊物刊載的論文大都還是以定性分析為主的，數(shù)學(xué)方法及公式占篇幅較大的論文，其生存空間非常有限。但是，我們注意到這篇論文是發(fā)表在偏數(shù)學(xué)與計算機相關(guān)的刊物上的，從而對比國內(nèi)，除廣告之外的其他領(lǐng)域的學(xué)術(shù)刊物，鮮少刊載以廣告為主題的學(xué)術(shù)論文，因此我們希望國內(nèi)的學(xué)術(shù)刊物給這個新領(lǐng)域更大的發(fā)展空間，這也是我們選擇將這篇論文譯為中文發(fā)表的原因之一。

(注：本文最初由Eyüp ?etin發(fā)表在AppliedMathematicsandComputation，原題為DeterminingtheOptimalDurationofanAdvertisingCampaignUsingDiffusionofInformation，經(jīng)與作者溝通授權(quán)后，譯為中文刊發(fā)。)