諧振子的經(jīng)典和量子統(tǒng)計(jì)分布

康琳惠，張 林

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119)

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是描述宏觀體系狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)理論,而量子統(tǒng)計(jì)則是描述微觀系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的理論，兩種統(tǒng)計(jì)方法所遵循的統(tǒng)計(jì)原理本質(zhì)上是相同的，即都是把系統(tǒng)的宏觀量作為相應(yīng)微觀狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值.量子統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的根本區(qū)別在于它們的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)不同，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是以經(jīng)典動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)，而量子統(tǒng)計(jì)則是建立在量子動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)之上，這就導(dǎo)致對(duì)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的描述方式截然不同.諧振子模型作為在經(jīng)典物理和量子物理中都非常重要的模型，是理解很多復(fù)雜體系行為的最基本單元.本文通過對(duì)諧振子系統(tǒng)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分布和量子統(tǒng)計(jì)分布的詳細(xì)研討，以Mathematica軟件為數(shù)學(xué)輔助手段，通過可視化的圖像，比較和歸納出經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與量子統(tǒng)計(jì)的區(qū)別和聯(lián)系.這一比較研究可以更加深刻地理解諧振子在宏觀和微觀尺度下不同的統(tǒng)計(jì)行為，從而加深對(duì)量子力學(xué)基本規(guī)律的理解和認(rèn)知.

1 經(jīng)典運(yùn)動(dòng)和統(tǒng)計(jì)分布

(1)

則運(yùn)動(dòng)方程可寫為

(2)

x(t)=Asin(ωt+φ)

(3)

(4)

對(duì)于遵循經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的諧振子，我們可以由其在勢(shì)阱中位置的統(tǒng)計(jì)測(cè)量結(jié)果來獲得其運(yùn)動(dòng)的狀態(tài).根據(jù)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的解(3)，諧振子在平衡位置附近的運(yùn)動(dòng)被限制在-A到A之間.當(dāng)我們大量測(cè)量振子的位置，會(huì)發(fā)現(xiàn)其位置在x到x+dx之間被測(cè)到的概率P(x)dx與振子在此區(qū)間停留的時(shí)間dt成正比

(5)

其中T是振子來回運(yùn)動(dòng)一次的周期，分子上的2表示振子來回過程中有兩次經(jīng)過同一區(qū)域.值得一提的是，在周世勛先生編寫的《量子力學(xué)教程》(第二版)中的第33頁線性諧振子一節(jié)中[2]，給出的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)概率密度為

(6)

該式子沒有考慮到振子來回過程中有兩次經(jīng)過同一區(qū)域，因此其概率密度也會(huì)加倍，所以分子上應(yīng)該乘以2.該問題雖小，但由于這個(gè)2的存在，可以非常自然地得到經(jīng)典的歸一化的概率分布.由式(5)有

(7)

其中v=dx/dt是振子在x到x+dx之間的運(yùn)動(dòng)速度.利用振子的運(yùn)動(dòng)方程：x(t)=Asin(ωt+φ)可以得到

(8)

將上式帶入P(x)得到歸一化的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分布

(9)

這是一個(gè)在x=±A處有奇點(diǎn)的分布，運(yùn)用Mathematica的積分函數(shù)Integrate[P(x),{x，-A，A}]可以非常方便地計(jì)算出P(x)的積分為1，即經(jīng)典諧振子在區(qū)間[-A，A]上的經(jīng)典分布自洽得滿足幾率之和為1.

2 量子運(yùn)動(dòng)和統(tǒng)計(jì)分布

如果把經(jīng)典振子縮小到量子尺度，雖然振子所處的勢(shì)場(chǎng)不變，但振子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將不能采用經(jīng)典力學(xué)中的位置和速度(或動(dòng)量)來描述，而其運(yùn)動(dòng)行為直接由波函數(shù)ψ(x)給出的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)來描述，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程：

(10)

(11)

(12)

(13)

利用Mathematica程序?qū)χC振子在經(jīng)典平衡位置附近的分布進(jìn)行圖像展示.如圖1給出了諧振子處于最低的幾個(gè)能態(tài)的波函數(shù)圖像，波函數(shù)的縱軸的位置是相應(yīng)能級(jí)的位置.

圖1 諧振子的波函數(shù)圖像分布(從下到上依次為n=0基態(tài),n=1,2,3,4的波函數(shù)圖像)

由此可知，量子諧振子的波函數(shù)是坐標(biāo)x(ξ≡αx)的函數(shù)，雖然它不能表示振子在某一時(shí)刻的位置坐標(biāo)，但波函數(shù)絕對(duì)值的平方|ψn(ξ)|2與振子在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率成正比，即它出現(xiàn)在某一位置的概率密度是可以確定的.一維諧振子的概率密度為

(14)

為此我們?cè)贛athematica中做出其相應(yīng)的概率密度分布如圖2.

(a) n=0

(b) n=2

(c) n=15圖(實(shí)線)與對(duì)應(yīng)經(jīng)典概率分布(虛線)比較

從圖2中諧振子的經(jīng)典(虛線)和量子(實(shí)線)概率密度分布可以看出：

1) 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：對(duì)于經(jīng)典動(dòng)力學(xué)行為，在平衡位置ξ=0處，經(jīng)典諧振子出現(xiàn)的概率最小，這是由于此時(shí)諧振子動(dòng)能最大，振子在x=0處停留時(shí)間最短，測(cè)量到的概率也最小.而在兩邊最大值(振幅)處，振子的速度為零，停留時(shí)間較長，更容易測(cè)到振子，因而出現(xiàn)的概率最大.當(dāng)然振子的能量越大其位置分布的范圍也越大.

3 諧振子的經(jīng)典和量子能量

經(jīng)典諧振子的動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep的表達(dá)式為

(15)

(16)

振子的總能量E

(17)

顯然在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)典諧振子的能量是連續(xù)變化的且總能量保持不變.

(18)

(19)

(20)

(21)

則有

(22)

(23)

可以得到

(24)

如果能量取成諧振子的量子能量，那么

(25)

此統(tǒng)計(jì)結(jié)果與量子諧振子給出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也完全一致[1].

4 諧振子的相空間動(dòng)力學(xué)描述

(26)

而量子力學(xué)中這個(gè)作用量是量子化的

(27)

表明其能量是量子化的.

在諧振子的相空間的描述中，經(jīng)典振子的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)是一個(gè)封閉的圓(標(biāo)度后)，如圖3(a)所示.而對(duì)應(yīng)振子的量子狀態(tài)在相空間的描述則比較復(fù)雜[5]，我們采用正定的Husimi函數(shù)[6]來描述振子相空間分布.對(duì)于任意數(shù)態(tài)|n〉，其相空間的Husimi分布函數(shù)為

(28)

(a) 經(jīng)典粒子的相軌道(右上角是隨時(shí)間的振動(dòng))

(b) n=1相空間分布(白色虛線對(duì)應(yīng)能量的經(jīng)典軌道)

(c) 在經(jīng)典軌道上加入隨機(jī)噪聲后的相空間演化軌道

(d) 在經(jīng)典軌道上(中間實(shí)線圓)加入初始動(dòng)量為高斯分布的相空間軌道分布圖3 諧振子的相空間動(dòng)力學(xué)描述

顯然對(duì)于相干態(tài)|α〉而言參數(shù)α的實(shí)部Re(α)和虛部Im(α)分別可以對(duì)應(yīng)振子的位置和動(dòng)量：

(29)

(30)

因此可得

(31)

(32)

數(shù)態(tài)|n〉的分布如圖3(b)所示為有寬度的環(huán)(虛線則為經(jīng)典的軌道)，數(shù)態(tài)的量子軌道相空間統(tǒng)計(jì)分布體現(xiàn)了量子的漲落(環(huán)的寬度)，而經(jīng)典相軌道(白色虛線)則只是量子平均的結(jié)果，顯然二者有本質(zhì)的區(qū)別，因?yàn)榱孔拥母怕式y(tǒng)計(jì)分布是無法用經(jīng)典軌道加入隨機(jī)噪聲進(jìn)行動(dòng)力學(xué)統(tǒng)計(jì)來還原的.圖3(c)是在經(jīng)典諧振子方程中引入高斯型白噪聲后多個(gè)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)軌道的相空間圖像，多個(gè)經(jīng)典隨機(jī)軌道演化后的統(tǒng)計(jì)分布結(jié)果顯然和量子分布圖3(b)不同，所以微觀諧振子動(dòng)力學(xué)行為不能簡單用加入隨機(jī)過程的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)來進(jìn)行模擬.同樣如圖3(d)所示，諧振子在相空間的量子統(tǒng)計(jì)分布也不能用初始動(dòng)量為高斯分布的大量經(jīng)典諧振子的相空間軌道來進(jìn)行模擬，所以量子動(dòng)力學(xué)給出的概率統(tǒng)計(jì)是全局動(dòng)力學(xué)相干的，其空間概率分布是全空間相關(guān)聯(lián)的結(jié)果.當(dāng)然當(dāng)諧振子能量很大的時(shí)候諧振子經(jīng)典相空間軌道和量子的環(huán)面會(huì)越來越接近，因?yàn)槟芰繚q落(環(huán)的寬度)在大能量下基本可以忽略.

5 結(jié)束語

綜上所述，經(jīng)過我們對(duì)宏觀和微觀諧振子的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典諧振子與量子諧振子的統(tǒng)計(jì)分布既有嚴(yán)重的分歧又有某些必然的聯(lián)系， 量子諧振子的行為只能在一定條件下趨近于經(jīng)典諧振子而不可能完全等同[4].本次工作借助Mathematica軟件的數(shù)值計(jì)算和圖像展示功能，使比較抽象的諧振子問題變得更加形象和容易理解，通過比較諧振子系統(tǒng)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分布與量子統(tǒng)計(jì)分布為進(jìn)一步理解相關(guān)物理規(guī)律奠定了基礎(chǔ).