黎延海，雍龍泉,2，拓守恒

（1. 陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723001; 2. 陜西省工業(yè)自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 漢中723001; 3. 西安郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 西安 710121）

教與學(xué)優(yōu)化算法(teaching-learning-based optimization，TLBO) 是Rao等[1]于2011年提出的一種模擬教師教學(xué)和學(xué)生相互學(xué)習(xí)的群體智能優(yōu)化算法。該算法因參數(shù)設(shè)置少、容易實(shí)現(xiàn)、尋優(yōu)性能好，受到了眾多研究者的關(guān)注，在函數(shù)優(yōu)化[2]、工程參數(shù)優(yōu)化[3]、投資組合優(yōu)化[4]和多目標(biāo)優(yōu)化[5-6]等問題上得到了廣泛的應(yīng)用。

TLBO算法作為一種群智能優(yōu)化算法，在求解高維多模態(tài)復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)也容易陷入局部最優(yōu)，算法的收斂速度和精度都不夠理想，為此，許多研究者在近幾年相繼提出了一些改進(jìn)的TLBO算法。Ouyang等[7]為平衡全局與局部搜索效率，在“學(xué)階段”增加了全局交叉策略，提出了全局交叉的TLBO算法(teaching-learning-based optimizatio with global crossover,TLBO-GC)；Chen等[8]設(shè)計(jì)了局部學(xué)習(xí)和自學(xué)習(xí)方法來提高TLBO的搜索能力，提出了一種改進(jìn)的TLBO算法(improved teaching-learning-based optimization,ITLBO)；Zou等[9]利用其他同學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使用兩種隨機(jī)概率來確定學(xué)習(xí)者在不同階段的學(xué)習(xí)方法，提出了一種改進(jìn)的TLBO算法(improved teaching-learning-based optimization with learning experience, LETLBO)；王培崇等[10]采用小世界網(wǎng)絡(luò)作為種群的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系，提出了具有小世界領(lǐng)域結(jié)構(gòu)的TLBO算法(small world neighborhood TLBO, S-TLBO)；畢曉君等[11]在“學(xué)階段”融合差分進(jìn)化算法變異策略，提出了基于混合學(xué)習(xí)策略的教與學(xué)優(yōu)化算法(TLBO based on hybrid learning strategies and disturbance, DSTLBO)；Ji等[12]受歷史種群概念的啟發(fā)，在標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法中引入了自反饋學(xué)習(xí)階段和變異交叉階段，提出了一種TLBO算法的變體(improved version of TLBO, ITLBO)；Yu等[13]將精英學(xué)習(xí)策略和多樣性學(xué)習(xí)方法引入到教師階段和學(xué)習(xí)者階段，學(xué)習(xí)者可以根據(jù)自身的特點(diǎn)自適應(yīng)地選擇不同的學(xué)習(xí)階段，提出了一種自適應(yīng)的TLBO算法(self-adaptive TLBO, SATLBO)；Niu等[14]對(duì)種群中每個(gè)個(gè)體采用不同的更新機(jī)制，提出了一種修正的TLBO算法(actual teaching learning situation TLBO, ATLS)；SHUKLA等[15]在標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法中引入鄰近學(xué)習(xí)和差分突變策略，提出了鄰近學(xué)習(xí)策略的TLBO算法(neighbor based TLBO, NTLBO)；柳締西子等[16]利用權(quán)重學(xué)習(xí)得到的個(gè)體來指引種群的進(jìn)化，使用Logistics 混沌搜索策略來提高其全局搜索能力，提出了基于混沌搜索和權(quán)重學(xué)習(xí)的教與學(xué)優(yōu)化算法(TLBO based on chaotic search and weighted learning,TLBO-CSWL)；何杰光等[17]在原有的個(gè)體更新公式上加入更新個(gè)體局部維度的操作，提出了基于個(gè)體局部維度改進(jìn)的教與學(xué)優(yōu)化算法(local-dimension-improved TLBO, LdimTLBO)；Tsai[18]將交叉頻率引入TLBO中，以防止算法過早收斂，提出了受限的教與學(xué)優(yōu)化算法(confined TLBO with variable search strategies, CTLBO)。這些TLBO的改進(jìn)算法在一定程度上提高了算法的優(yōu)化性能，降低了算法陷入局部最優(yōu)的可能，但文獻(xiàn)[19]揭示標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法在“教”階段存在固有的起源偏倚，對(duì)原點(diǎn)最優(yōu)問題(以坐標(biāo)原點(diǎn)為最優(yōu)解的問題)有著原始的偏好，但對(duì)非原點(diǎn)最優(yōu)問題(最優(yōu)解不在坐標(biāo)原點(diǎn)的問題)的優(yōu)化效果則不太理想，現(xiàn)有的改進(jìn)TLBO算法也沒能很好地解決這類問題。

為此，本文在對(duì)標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法的“教階段”和“學(xué)階段”的空間擾動(dòng)進(jìn)行幾何分析解釋的基礎(chǔ)上，提出了一種基于隨機(jī)交叉-自學(xué)策略的教與學(xué)優(yōu)化算法(teaching and learning optimization al-gorithm based on random crossover-self-studystrategy, CSTLBO)。算法使用各分量取值 [-1,1]的隨機(jī)向量替換了標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法中各分量取值[0,1] 的隨機(jī)向量，通過引入隨機(jī)交叉策略和“自學(xué)”策略，增加種群的多樣性，提高算法的全局搜索能力。使用了20個(gè)Benchmark測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與6種TLBO的改進(jìn)算法(TLBO-GC[7]、ITLBO[8]、DSTLBO[11]、ATLS[14]、NTLBO[15]、TLBO-C SWL[16])進(jìn)行了比較，檢驗(yàn)了所提算法的性能。

1 教與學(xué)優(yōu)化算法

1.1 優(yōu)化問題的模型

本文研究的優(yōu)化問題的具體模型為：

式中：X 為決策向量；S 表示搜索空間；xiL和 xiU分別表示第 i 個(gè)決策變量 xi在搜索空間的上界和下界 ；D 是搜索空間的維數(shù)；f 為目標(biāo)函數(shù)。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)的教與學(xué)優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法是一種模仿整個(gè)課堂教學(xué)過程的高效優(yōu)化方法，通過模擬老師給班級(jí)學(xué)生的教學(xué)過程及班級(jí)中學(xué)員之間的交流學(xué)習(xí)過程，來提高整個(gè)班級(jí)的成績(jī)。主要包括兩個(gè)階段：“教階段”和“學(xué)階段”，其基本步驟如下：

1)初始化。隨機(jī)初始化 NP 位學(xué)員(即個(gè)體) Xj=(x1j,x2j,···,xDj)，j=1,2,···,NP 。其中， N P 表示班級(jí)中的學(xué)員數(shù)(即種群的規(guī)模)，D 表示學(xué)習(xí)的科目數(shù)(即待優(yōu)化問題的維數(shù))。

2)“教階段”。選取班級(jí)中成績(jī)最優(yōu)(即適應(yīng)度值最小)的學(xué)員作為老師，記做 Xteacher，每個(gè)學(xué)員根據(jù)教師和全體學(xué)員平均水平的差異性(difference)來進(jìn)行學(xué)習(xí)，具體如下：

式中：Xjold、Xjnew分別表示第 j 位學(xué)員 Xj在教學(xué)前、后的知識(shí)水平；r=(r1,r2,···,rD) 表示學(xué)習(xí)步長(zhǎng)，ri為 [0,1] 間的隨機(jī)數(shù)；符號(hào) ? 表示直積運(yùn)算；TF=round[1+rand(0,1)] 表示教學(xué)因子，取值為表示班級(jí)全體學(xué)員的平均知識(shí)水平。

“教階段”完成后，評(píng)估學(xué)員Xj的學(xué)習(xí)成績(jī)(即適應(yīng)度值f(Xj) )，如果，則進(jìn)行更新，即否則不更新。

3)“學(xué)階段”。學(xué)員之間進(jìn)行相互交流，通過向其他同學(xué)學(xué)習(xí)，來提升自身的水平。從班級(jí)中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)員Kk，k是[1,NP]中的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)，k≠j，學(xué)員Xj(與其進(jìn)行)交流學(xué)(習(xí)，)具體(如)下：

4)如果滿足終止條件(達(dá)到最大評(píng)估次數(shù)或最大迭代次數(shù))，則優(yōu)化結(jié)束并輸出最優(yōu)個(gè)體Xbest，否則轉(zhuǎn)至2)繼續(xù)。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法的幾何解釋

為了更好地理解TLBO的工作原理，以二維空間為例，采用幾何分析的方法來解釋算法在“教階段”和“學(xué)階段”的空間擾動(dòng)狀況。

文獻(xiàn)[19]指出式(2)和(3)中的r本質(zhì)上是一個(gè)各分量都取值于[0,1]的D維隨機(jī)向量，考慮到由隨機(jī)參數(shù)所引起的擾動(dòng)的極限情形，容易觀察出“教階段”和“學(xué)階段”的空間擾動(dòng)情形。由于r中的每個(gè)元素都是取值于[0,1]的隨機(jī)數(shù)，所以r對(duì)difference的影響實(shí)際是一個(gè)尺度上的縮放，即difference可以為圖1(b)、(c)方框內(nèi)的任意向量。圖1(a)給出了TF(取1或2)的兩種情況下difference的向量表示；圖1(b)描述了“教階段”，應(yīng)用于Xj的兩個(gè)可能的擾動(dòng)框，從概率角度描述了應(yīng)用于Xj每一個(gè)可能的擾動(dòng)；圖1(c)描述了“學(xué)階段”，應(yīng)用于Xj的兩種可能的擾動(dòng)框。

圖 1 擾動(dòng)分析的幾何解釋Fig. 1 Geometric interpretation of disturbance analysis

2.2 隨機(jī)向量的擾動(dòng)分析

類似于2.1節(jié)的分析，如果將式(2)和式(3)中各分量取值于[0,1]的隨機(jī)向量替換為各分量取值于[-1,1]的隨機(jī)向量，則應(yīng)用于Xj的擾動(dòng)范圍將會(huì)擴(kuò)大，“教階段”的搜索擾動(dòng)范圍會(huì)變?yōu)樵瓉淼?倍，而“學(xué)階段”的擾動(dòng)范圍將變?yōu)樵瓉淼膬杀?，這樣能增大算法跳出局部最優(yōu)的概率，在一定程度上改善算法“早熟”收斂的狀況，提高全局搜索能力。

圖2(a)、(b)分別描述了在“教階段”和“學(xué)階段”，使用各分量取值于[-1,1]的隨機(jī)向量后，應(yīng)用于Xj的可能的擾動(dòng)范圍。

圖 2 擾動(dòng)分析的幾何解釋(ri∈[-1,1])Fig. 2 Geometric interpretation of disturbance analysis(ri∈[-1,1])

2.3 隨機(jī)擾動(dòng)的實(shí)驗(yàn)分析

為檢驗(yàn)上述對(duì)使用不同取值范圍的隨機(jī)數(shù)所產(chǎn)生的擾動(dòng)狀況的分析，將標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法和TLBO1(r為各分量取值于 [-1,1] 的隨機(jī)向量)在6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行仿真測(cè)試，其中f1～f3是典型的原點(diǎn)最優(yōu)的多峰問題，f4～f6是對(duì)它們進(jìn)行了Shift操作(非原點(diǎn)最優(yōu))。設(shè)置維度D=30，種群大小 N P=10，評(píng)價(jià)次數(shù)為150 000次。表1統(tǒng)計(jì)了30次獨(dú)立運(yùn)行得到的最優(yōu)目標(biāo)值的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及運(yùn)行時(shí)間，圖3給出6個(gè)函數(shù)的收斂曲線。

表 1 30次實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 1 Thirty times optimization statistical results

圖 3 測(cè)試函數(shù)f1～f6的收斂曲線圖Fig. 3 Convergence plot of benchmark function f1～f6

從表1和圖3可以看出，對(duì)原點(diǎn)最優(yōu)問題，標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法所得解的精度更高，時(shí)間更短，但對(duì)非原點(diǎn)最優(yōu)問題，TLBO1算法的求解精度和時(shí)間則更優(yōu)。由于標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法的“教”階段存在固有的原點(diǎn)偏倚，允許收斂的種群繼續(xù)沿著原點(diǎn)的方向搜索更好的解決方案，從而對(duì)原點(diǎn)最優(yōu)問題能取得更好的優(yōu)化效果。對(duì)非原點(diǎn)最優(yōu)問題，標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法在種群收斂到局部最優(yōu)時(shí)，要么繼續(xù)利用局部最優(yōu)信息，要么沿著原點(diǎn)方向繼續(xù)探索，由于最優(yōu)解在原點(diǎn)以外的點(diǎn)上，沿原點(diǎn)方向的搜索幾乎毫無意義，所以無法進(jìn)一步獲得高精度的解；而采用各分量取值于 [-1,1]的隨機(jī)向量，使得搜索范圍成倍擴(kuò)大，算法跳出局部最優(yōu)的能力得到提高，獲得最優(yōu)解的概率變大，隨著迭代的 進(jìn)行，能取得更好的優(yōu)化效果。

3 基于隨機(jī)交叉-自學(xué)策略的教與學(xué)優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法中，由于教師和學(xué)習(xí)對(duì)象都屬于現(xiàn)有種群，所以無論是“教階段”還是“學(xué)階段”的操作都是在當(dāng)前位置的有限范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，學(xué)習(xí)者都依據(jù)現(xiàn)有種群的經(jīng)驗(yàn)來提高自己的成績(jī)，使得算法具有良好的開發(fā)性能，而跳出局部最優(yōu)的能力不足。為增強(qiáng)算法的全局搜索能力，使迭代過程中算法的探索與開發(fā)過程得到平衡，對(duì)“教”和“學(xué)”階段進(jìn)行改進(jìn)，并使用隨機(jī)交叉策略和“自學(xué)”策略，來提高算法對(duì)復(fù)雜多模態(tài)問題的優(yōu)化性能。

3.1 “教階段”的改進(jìn)

當(dāng)班級(jí)中學(xué)生成績(jī)差異較大時(shí)，最差成績(jī)往往會(huì)拉低班級(jí)的平均水平，如果教學(xué)過程中重點(diǎn)加強(qiáng)對(duì)最差生的關(guān)注，使其成績(jī)得到大幅度提高，縮小與班級(jí)其他同學(xué)間的差距，則可以加快班級(jí)整體水平的提升。故用班級(jí)中的成績(jī)最差者Xworst替 換班級(jí)平均水平 Xmean，即

式 中r1為各分量取值于 [- 1,1] 的隨機(jī)向量。

3.2 “學(xué)階段”的改進(jìn)

其中，r2為各分量取值于 [-1,1] 的隨機(jī)向量，k 是[1,NP] 中的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)，k≠j，t 為當(dāng)前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)。在迭代初期，t 較小，(1-t/Tmax) 的值較大，學(xué)生間的相互討論更多，算法更加注重隨機(jī)性學(xué)習(xí)，能夠維持種群多樣性，增大有效搜索范圍；隨著迭代的進(jìn)行，t 逐漸增大，(t/Tmax) 越來越大，學(xué)生會(huì)更多地向老師求教，逐漸側(cè) 重于有向性學(xué)習(xí)，使算法的局部搜索能力增強(qiáng)。

3 .3 隨機(jī)交叉-自學(xué)策略

3.3.1 隨機(jī)交叉策略

學(xué)生經(jīng)過“教”階段后，各自的成績(jī)會(huì)得到一定程度的提升，但彼此間的差距也會(huì)縮小，即種群的多樣性降低，而通過集體討論交流，每位學(xué)生都可以在不同科目上隨機(jī)地向班級(jí)中不同的同學(xué)求教，并達(dá)到該同學(xué)在此科目上的水平，這實(shí)際上就是種群間的一種隨機(jī)交叉過程，具體為

i=1,2,···,D,j=1,2,···,NP，k 是 [1,NP] 中的一個(gè)不同于 j 的隨機(jī)整數(shù)，r and 為 [0,1] 間的隨機(jī)數(shù)。這里使用一種隨機(jī)概率來確定學(xué)習(xí)者與不同學(xué)習(xí)對(duì)象間的交流程度，通過進(jìn)行種群間的隨機(jī)交叉，能夠維 持種群的多樣性，提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。

3.3.2 “自學(xué)”策略

實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)之余，也會(huì)根據(jù)自己當(dāng)前的學(xué)習(xí)狀況，挑選部分課程進(jìn)行“自學(xué)”，發(fā)掘新的知識(shí)，從而提升自己的學(xué)業(yè)水平。具體如下：對(duì)第 i 門課程，產(chǎn)生一個(gè) [0,1] 間的隨機(jī)數(shù) r and，來用于選擇不同的“自學(xué)”方式。

i=1,2,···,D,j=1,2,···,NP 。其中， S DR(selfdevelopment rate, SDR)為自我拓展率，λ 表示自學(xué)步長(zhǎng)，λmax、λmin分別為最大、最小步長(zhǎng)。

磁性纖維素對(duì)亞甲基藍(lán)的吸附過程受吸附反應(yīng)溫度、溶液pH值和吸附時(shí)間的影響，吸附的最佳實(shí)驗(yàn)條件是反應(yīng)溫度293 K；溶液pH值為7；吸附時(shí)間120 min。磁性纖維素對(duì)亞甲基藍(lán)的吸附動(dòng)力學(xué)特征用準(zhǔn)二級(jí)動(dòng)力學(xué)模型擬合較好；等溫吸附以Langmuir擬合最佳，由此可得磁性纖維素對(duì)亞甲基藍(lán)最大理論吸附容量為123.15 mg·g-1。

對(duì)每一科目，學(xué)生會(huì)根據(jù)自己當(dāng)前的知識(shí)水平隨機(jī)進(jìn)行自我調(diào)整，提高學(xué)習(xí)效率，自學(xué)步長(zhǎng)隨迭代的進(jìn)行由 λmax逐步動(dòng)態(tài)縮小為 λmin。搜索前期，步長(zhǎng)值較大，算法具有強(qiáng)的空間擾動(dòng)能力，有助于探索新的未知區(qū)域；隨著迭代的進(jìn)行，步長(zhǎng)值逐漸縮小，使得對(duì)當(dāng)前解的擾動(dòng)幅度變小，有利于提高解的精度，這樣一種動(dòng)態(tài)調(diào)整過程能有效平衡算法在搜索過程中的空間擾動(dòng)能力和局部尋優(yōu)能力。同時(shí)，以概率 S DR 在搜索空間進(jìn)行隨機(jī)搜尋，進(jìn)行自我拓展學(xué)習(xí)，可以增加算法的全局搜索能力。大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)測(cè)試表明，自我拓展率取值不宜過大，當(dāng)SD R∈[0.01,0.1] 時(shí)，算法會(huì)有較好的性能。

3.4 CSTLBO算法的流程

CSTLBO算法的具體流程如圖4所示。

圖 4 CSTLBO算法流程Fig. 4 Flow chart of CSTLBO algorithm

每次迭代過程中，對(duì)每位學(xué)生而言，依據(jù)選擇概率 SP來選擇“學(xué)”和“自學(xué)”兩種學(xué)習(xí)方式中的一種執(zhí)行，具體如下：

隨迭代的進(jìn)行，SP 的值從 S Pmax逐漸減小到SPmin，表明在迭代初期，同學(xué)之間的信息交流比較多，隨著學(xué)習(xí)的深入，當(dāng)學(xué)生的水平都得到較大提 升后，會(huì)更多地傾向于進(jìn)行自我探索學(xué)習(xí)。

4 實(shí)驗(yàn)仿真測(cè)試

4.1 測(cè)試函數(shù)與參數(shù)設(shè)置

為檢驗(yàn)CSTLBO算法在連續(xù)優(yōu)化問題中的性能，將其與6種TLBO的改進(jìn)算法(ATLS、

NTLBO、TLBO-GC、ITLBO、TLBO-CSWL、DSTLBO)在20個(gè)復(fù)雜Benchmark函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試比較。將函數(shù)F1，F(xiàn)3～F4稱為原點(diǎn)最優(yōu)問題(它們?cè)谠c(diǎn)處得到了最優(yōu)值)，其余的函數(shù)稱為非原點(diǎn)最優(yōu)問題，其中一些是通過對(duì)原點(diǎn)最優(yōu)問題進(jìn)行移位和旋轉(zhuǎn)得到的，移位函數(shù)取自CEC 2008，移位和旋轉(zhuǎn)函數(shù)取自CEC 2017。

F1為Ackley Function；F2為Michalewics Function；F3為Rastrigin Function；F4為Griewank Function；F5為Schwefel 2.26 Function；F6為Weierstrass Function；F7為FastFractal ‘DoubleDip’ Function；F8為Sphere Shift Function；F9為Ackley Shift Function；F10為Griewank Shift Function；F11為Rastrigin Shift Function；F12為Rosebrock shift Function；F13為Schaffer Shift Function；F14為Bohachevsky Shift Function；F15為Shifted and Rotated Rastrigin’s Function；F16為Shifted and Rotated Expanded Scaffer’sF6Function；F17為Shifted and Rotated Lunacek Bi_Rastrigin Function；F18為Shifted and Rotated Non-Continuous Rastrigin’s Function；F19為Shifted and Rotated Levy Function；F20為Shifted and Rotated Schwefel’s Function.

本文測(cè)試的環(huán)境為：戴爾PC機(jī)Intel Core(TM)i7-4790 3.6 GHz CPU，8 GB內(nèi)存；Window10操作系統(tǒng)；MATLAB R2014b軟件。為保證測(cè)試的公平，各種算法采用相同的適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)：對(duì)F1～F14，評(píng)價(jià)次數(shù)MaxFEs=5 000×D；對(duì)F15～F20，MaxFEs=10 000×D，其中D為維數(shù)。比較算法的參數(shù)設(shè)置均參考于原文獻(xiàn)，本文算法的參數(shù)設(shè)置為： N P=20， S Pmax=0.6， S Pmin=0.2，S DR=0.02，λmax=(xU-xL)/10，λmin=(xU-xL)/(1015)。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為避免偶然因素的影響，所有算法在D=100時(shí)都獨(dú)立運(yùn)行了30次，表2記錄了各種算法在20個(gè)測(cè)試函數(shù)上30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，對(duì)F1～F14，記錄了最優(yōu)目標(biāo)值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)F15～F20，記錄了最優(yōu)誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。為檢驗(yàn)本文算法與比較算法之間的差異性，進(jìn)行了顯著性水平為0.05的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，“+”、“-”、“≈”分別表示比較算法與本文算法的成績(jī)相比是好、差和相當(dāng)。

表 2 算法30次獨(dú)立測(cè)試結(jié)果(D=100)Table 2 Thirty times optimization results of the algorithm(D=100)

續(xù)表 2

從表2可以看出，所有比較算法在F1這個(gè)原點(diǎn)最優(yōu)問題上的收斂精度優(yōu)于本文算法，在F4上所有算法都能達(dá)到理論最優(yōu)值，除F20外，本文算法在余下的17個(gè)測(cè)試函數(shù)上的平均值和方差都優(yōu)于比較算法，說明所提算法對(duì)非原點(diǎn)最優(yōu)問題的優(yōu)化能力較強(qiáng)，效果良好。從Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)的結(jié)果來看，比較算法最多在4個(gè)問題上優(yōu)于或相當(dāng)于本文算法，而在其余測(cè)試問題上都明顯差于本文算法。

為進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖5～6給出了30次獨(dú)立運(yùn)行的平均最優(yōu)目標(biāo)值收斂曲線(D=100維)，圖7～8給出了30次獨(dú)立運(yùn)行的最優(yōu)目標(biāo)值分布盒圖(D=100維)。

圖 5 測(cè)試函數(shù)F11的收斂性曲線Fig. 5 Convergence plot of benchmark function F11

圖 6 測(cè)試函數(shù)F19的收斂性曲線Fig. 6 Convergence plot of benchmark function F19

圖 7 測(cè)試函數(shù)F11的最優(yōu)目標(biāo)值分布盒圖Fig. 7 Boxplot of the optimal value distribution of benchmark function F11

圖 8 測(cè)試函數(shù)F19的最優(yōu)目標(biāo)值分布盒圖Fig. 8 Boxplot of the optimal value distribution of benchmark function F19

從收斂曲線圖不難看出，本文算法對(duì)兩個(gè)復(fù)雜優(yōu)化函數(shù)(Rastrigin Shift Function、Shifted and Rotated Levy Function)的收斂曲線呈逐漸下降趨勢(shì)，收斂效果明顯優(yōu)于其他比較算法，說明本文算法的全局搜索能力較強(qiáng)，不易陷入局部最優(yōu)。

從統(tǒng)計(jì)盒圖可以看出，本文算法30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)所得的最優(yōu)值的分布基本呈一條直線，差距很小，說明本文算法具有良好的穩(wěn)定性。

4.3 隨機(jī)交叉策略的有效性分析

為檢驗(yàn)本文所使用的隨機(jī)交叉策略的有效性，選取了復(fù)雜的非原點(diǎn)最優(yōu)問題Weierstrass Function進(jìn)行了測(cè)試，函數(shù)Weierstrass Function具有多個(gè)極小值點(diǎn)，算法很容易陷入局部最優(yōu)的狀況。設(shè)置維數(shù)D=30 , 種群大小 N P=20, 最大評(píng)價(jià)次數(shù)MaxFEs=150 000，對(duì)搜索過程中產(chǎn)生的所有搜索點(diǎn)和每代的最優(yōu)搜索點(diǎn)進(jìn)行了跟蹤記錄，用于觀察算法的搜索過程。圖9描繪了搜索點(diǎn)(取30維中的2維繪制)的分布圖。

圖 9 搜索點(diǎn)分布Fig. 9 Search point distribution

從圖9可以看出，未使用隨機(jī)交叉策略的搜索過程中，種群在多個(gè)局部極值處都有聚集，使得在相同評(píng)價(jià)次數(shù)下，無法進(jìn)行有效的開發(fā)，所得解的精度不高；而使用了隨機(jī)交叉策略的搜索種群的分布很均勻，沒有發(fā)生陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象，大多數(shù)搜索點(diǎn)都聚集于最優(yōu)解附近，更多地來進(jìn)行局部開發(fā)，說明隨機(jī)交叉策略能使算法有效 地跳出局部最優(yōu)，增強(qiáng)算法的全局搜索能力。

4.4 CSTLBO算法的種群多樣性分析

為進(jìn)一步研究CSTLBO算法的收斂過程，以4個(gè)復(fù)雜非原點(diǎn)最優(yōu)測(cè)試函數(shù)(Schwefel 2.26 Function、Ackley Shift Function、Griewank Shift Function、Rastrigin Shift Function)為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)(取維數(shù)D=100)，在搜索過程中跟蹤記錄了算法種群多樣性的變化，如圖10所示。種群多樣性[20]定義如下：

圖 10 4個(gè)復(fù)雜非原點(diǎn)最優(yōu)測(cè)試函數(shù)的種群多樣性曲線Fig. 10 Population diversity curves of four complex non- origin optimal benchmark function

從圖10可以看出，標(biāo)準(zhǔn)TLBO 算法在搜索初期多樣性明顯快速下降，然后在小范圍內(nèi)波動(dòng)，前后期變化不是特別明顯，使得種群個(gè)體難以聚集到全局最優(yōu)解，因此求解精度不高；CSTLBO 算法在迭代初期，具有較高的種群多樣性，有利于進(jìn)行全局探索，隨著迭代的進(jìn)行，種群多樣性保持著持續(xù)下降的趨勢(shì)，種群逐漸向全局最優(yōu)解聚集，有利于進(jìn)行局部開發(fā)，從而能獲得高精度的全局解。

5 結(jié)束語(yǔ)

為提高對(duì)非原點(diǎn)最優(yōu)問題的優(yōu)化能力，本文提出了一種基于隨機(jī)交叉-自學(xué)策略的教與學(xué)優(yōu)化算法—CSTLBO。算法使用幾何方法分析了標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法在“教”和“學(xué)”階段的擾動(dòng)狀況，改進(jìn)了 “教”和“學(xué)”階段，并引入了隨機(jī)交叉策略和“自學(xué)”策略來提高算法的全局搜索能力。仿真測(cè)試的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，所提算法求解精度高，穩(wěn)定性好，能對(duì)較多的非原點(diǎn)最優(yōu)問題取得良好的優(yōu)化效果，尤其是對(duì)進(jìn)行了移位操作的復(fù)雜問題。但對(duì)同時(shí)進(jìn)行了移位和旋轉(zhuǎn)操作的問題，優(yōu)化結(jié)果雖優(yōu)于比較算法，但在求解精度上仍有提升空間，在后續(xù)研究中，可以進(jìn)一步研究改進(jìn)，同時(shí)也可以將該算法應(yīng)用到實(shí)際的工程優(yōu)化問題，檢驗(yàn)其具體實(shí)用性。