由一道聯(lián)賽試題談一類無理函數(shù)值域的求法
——兼論基于深度學習的解題教學策略

廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(519000) 李凱

2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)市級選拔賽第8 題是一道求值域的題,本題看似簡單,但對高中學生來講,得到最終答案非常不易,筆者經(jīng)過探究找到了這類值域問題的統(tǒng)一解法.

一、題目展示與解法探究

(一)方法分析

(二)典例剖析

(三)方法總結(jié)

三角換元法和數(shù)形結(jié)合法各有千秋,三角換元法需要對換元之后的式子再次變形,挖掘幾何意義或進行三角恒等變形后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解;而數(shù)形結(jié)合法思路簡單,最后產(chǎn)生的圖形都是高中生比較熟悉的圓,橢圓,雙曲線;用此種方法更加通用,更加適宜高中生接受和掌握.

由于導數(shù)法求最值和值域是我們在教學中強調(diào)比較多的并且掌握的比較好,也是求最值和值域的通性通法,我們這里也要加以說明.在例1 和例2 中由于函數(shù)的定義域分別為[?1,1]與[0,2],它們分別都是有界閉區(qū)間,而且導函數(shù)也不是太復雜且極點可以求得,根據(jù)“有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值必在極點處或區(qū)間端點處取得”即可以求得函數(shù)值域.而對于例3 和例4,由于函數(shù)定義域并非有界閉區(qū)間,在用導數(shù)法求值域中可能會出現(xiàn)需要求極限的情況.

三、教學思考

(1)滲透數(shù)與形對立與統(tǒng)一的思想

數(shù)與形是我們在討論一個數(shù)學對象必須同時考慮的兩個方面.華羅庚先生曾說過:數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.這是一個對數(shù)與形對立統(tǒng)一的精美概括.在上面討論值域的過程中,直接用導數(shù)法求值域,就是純粹用代數(shù),在解題中可能遇到困境.而三角換元與轉(zhuǎn)化為方程都很好的體會到了數(shù)形結(jié)合思想,非常容易理解,而且求解容易.一般而言,直觀的圖形容易找到突破口并且記憶方便,純代數(shù)的方法適用性廣,兩者結(jié)合起來就更好.

(2)通法與特法在教學中要并行滲透

在數(shù)學解題中沒有一種解法放之四海而皆準,常常我們把適用比較廣的方法稱為通用方法,比如導數(shù)法求值域適用性廣,當然要重點研究.但是碰到無理式后,求導比較復雜,極點難求,另外有時定義域非有界閉區(qū)間,可能需要求極限,直接求極值難以求得值域.這時用三角換元,數(shù)形結(jié)合相對比較簡單,就可以看作處理這類問題的特殊方法.特法與通法并行才能加深對知識的深層次理解.

(3)在教學中要注意將特例上升到一般模型來探究

將特例上升到一般探究符合深度學習中的“對學習對象進行深度加工”的特點,在前面的拓展中,將學生遇到的一個解題困境一般化,抽象出這類問題的一般模型,提出解決方法,并用典例來加深理解.提出了這樣一些“有挑戰(zhàn)性”的問題,能吸引學生的學習興趣,能提高學生的數(shù)學抽象,數(shù)學建模素養(yǎng).數(shù)學家波利亞曾指出:當你找到一個蘑菇時,用心觀察,就能找到一堆蘑菇.“抽象,推理,模型”是最重要的三個數(shù)學思想,在解題教學中尤其要強調(diào).

(4)大單元整體教學的思想

在解題教學中,學生常常面臨著“懂而不會”,“懂一題而不能通一類題”的困境,究其原因,是因為沒有看清問題的全局,只看到了一個問題的某一方面,當遷移到另一問題時不能應用.古人云:孔子登東山而小魯,登泰山而小天下.大詞人蘇軾在《題西林壁》中感慨“不識廬山真面目,只緣身在此山中”.這都強調(diào)了,站得高才能看的遠,把握整體才能更好的欣賞把握局部.以求函數(shù)值域為例,從整體來看,基本初等函數(shù)的性質(zhì)以及導數(shù)滲透到各個角落.但從局部來看,又有所不同,比如對于含有指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù)的函數(shù)求值域,由于求導簡單,而且往往具備很好的凸性,導數(shù)法必為首選;對于無理函數(shù),求導往往復雜,這時對式子進行三角換元或數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化效果會更佳.