基于穩(wěn)健估計(jì)的CPⅢ高程網(wǎng)平差程序設(shè)計(jì)

王永鋒，林飛

(杭州市勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江 杭州 310012)

1 引 言

近年來隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，國內(nèi)大中型城市對軌道交通的重視和建設(shè)與日俱增。軌道施工的質(zhì)量好壞，關(guān)系到運(yùn)營時的安全、舒適以及平穩(wěn)。目前國內(nèi)城市的地鐵建設(shè)也在陸續(xù)引入高鐵無砟軌道施工中的CPⅢ測量技術(shù)，可以更加及高效、高精度地完成軌道鋪設(shè)任務(wù)。

CPⅢ高程網(wǎng)是一種精密的水準(zhǔn)網(wǎng)，通常用平差中經(jīng)典的最小二乘法來求取其計(jì)算結(jié)果。然而當(dāng)數(shù)據(jù)量龐大的時候，觀測值中難免就會存在粗差，考慮到最小二乘估計(jì)不具有抗粗差的能力，本文將穩(wěn)健估計(jì)(也被稱作抗差估計(jì))引入到CPⅢ高程網(wǎng)的平差程序設(shè)計(jì)中，運(yùn)用C++程序語言編寫了一個基于五種不同的穩(wěn)健估計(jì)選權(quán)迭代法的CPⅢ高程網(wǎng)平差程序，然后結(jié)合某軌道交通工程項(xiàng)目的一段數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析，以證明該程序的可靠性。

2 程序設(shè)計(jì)

vhjk=δHk-δHj+(Hk-Hj-hjk)

(1)

水準(zhǔn)測量以每公里的高差觀測值的中誤差為單位權(quán)中誤差，各個觀測高差的權(quán)為：

(2)

上式中的Sjk為j點(diǎn)到k點(diǎn)的水準(zhǔn)線路距離，單位為公里。

根據(jù)CPⅢ高程控制網(wǎng)各觀測值的誤差方程以及權(quán)陣，按間接平差法即可得出法方程，進(jìn)而計(jì)算出各個觀測點(diǎn)的高程平差值。

2.1 穩(wěn)健估計(jì)理論

穩(wěn)健估計(jì)，在測量中也被稱作抗差估計(jì)，本文程序中的穩(wěn)健估計(jì)的功能主要由選權(quán)迭代法來實(shí)現(xiàn)。選權(quán)迭代法的思路是，先使用最小二乘法進(jìn)行平差求出初始?xì)埐铌嘨(1)，然后進(jìn)行迭代，在迭代中，主要根據(jù)選好的權(quán)函數(shù)計(jì)算下一次迭代中觀測值的權(quán)，從而使得含有粗差的觀測值的權(quán)隨著迭代而越來越小，直到最終接近于零[1]，進(jìn)而達(dá)到消除觀測粗差的目標(biāo)[2]。

本文的5種選權(quán)迭代法(Huber法、IGG方案法、丹麥法、L1-L2法以及Fair法)即代表5種不同的權(quán)函數(shù)。他們的區(qū)別就是權(quán)函數(shù)的定義內(nèi)容不同。其各自的權(quán)函數(shù)如下所示：

(1)Huber法權(quán)函數(shù)：

(3)

式中的c為調(diào)和系數(shù)，u表示標(biāo)準(zhǔn)化的殘差指標(biāo)(ui=vi/σ)。

(2)L1-L2法權(quán)函數(shù)：

(4)

(3)丹麥法權(quán)函數(shù)：

(5)

其中調(diào)和系數(shù)c一般取為1.5。

(4)IGG方案法權(quán)函數(shù)：

(6)

其中調(diào)和系數(shù)b=1.5，c=2.5，k為很小的數(shù)。

(5)Fair法權(quán)函數(shù)：

(7)

上式中，調(diào)和系數(shù)c取值為1.3998。

選權(quán)迭代法可以歸結(jié)為以下模型：

(8)

估計(jì)準(zhǔn)則為：

VTP(V)V=min

(9)

選權(quán)迭代法進(jìn)行穩(wěn)健估計(jì)的計(jì)算程序主要分以下幾個步驟：

x(1)=(ATA)-1ATl

(5)通過以上的迭代計(jì)算，直到前后兩次解出的差值符合限差的要求，迭代結(jié)束，否則繼續(xù)。

最終的計(jì)算結(jié)果是：

經(jīng)過多次迭代之后，最終的殘差陣V中，含有粗差的觀測值所對應(yīng)的殘差值應(yīng)該是接近于粗差的大小，而其對應(yīng)的權(quán)值最終將趨向于零[3]。

2.2 程序的實(shí)現(xiàn)

本文主要利用C++語言中的MFC[4]來編寫程序[5～7]，程序設(shè)計(jì)的主要思想和流程如圖1所示：

圖1 程序設(shè)計(jì)的主要思想和流程圖

程序主要包括文件的讀取和輸出、矩陣的各種運(yùn)算、平差中的誤差方程系數(shù)陣的生成、誤差方程的解算以及穩(wěn)健估計(jì)的選權(quán)迭代法等等。穩(wěn)健估計(jì)的CPⅢ高程網(wǎng)平差程序的界面如圖2所示：

圖2 本程序的主界面

(1)首先是創(chuàng)建項(xiàng)目及確定存儲位置，如圖3所示：

圖3 創(chuàng)建項(xiàng)目

(2)然后讀入數(shù)據(jù)，如圖4所示：

圖4 導(dǎo)入數(shù)據(jù)的界面

讀取的數(shù)據(jù)是按照程序的要求進(jìn)行編輯的txt文本。

(3)選擇相應(yīng)的方法進(jìn)行解算，程序運(yùn)行后生成txt文本，運(yùn)用選權(quán)迭代法計(jì)算后的主要輸出內(nèi)容有最終所得的權(quán)矩陣P、改正數(shù)x、殘差陣V、選權(quán)迭代次數(shù)以及單位權(quán)中誤差等，輸出結(jié)果的窗口如圖5所示：

圖5 輸出結(jié)果的txt文本

3 算例分析

3.1 概況

選取某軌道交通項(xiàng)目的一段CPⅢ高程控制網(wǎng)的原始數(shù)據(jù)如表1所示，其中153H21點(diǎn)為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，起算高程為 18.289 6 m，選取 153 313～153 322共10個CPⅢ點(diǎn)，取 1 km為單位權(quán)觀測，以測段距離定權(quán)。

原始觀測數(shù)據(jù) 表1

由水準(zhǔn)觀測線路可先確定各CPⅢ點(diǎn)的初始高程值，將表1的數(shù)據(jù)編輯到程序可以讀取的文本中，然后用所編程序進(jìn)行解算。

3.2 未加粗差時不同方法平差比較

5種選權(quán)迭代法的計(jì)算結(jié)果與最小二乘法計(jì)算結(jié)果的差值如表2所示：

各選權(quán)迭代法平差結(jié)果與最小二乘法的差值(單位/mm) 表2

結(jié)合以上可以看出，當(dāng)不加入粗差時，穩(wěn)健估計(jì)的五種選權(quán)迭代法和最小二乘估計(jì)的平差結(jié)果的差值很小，基本一致。

由于原始觀測數(shù)據(jù)中沒有粗差，我們可以認(rèn)為最小二乘法的計(jì)算結(jié)果最為精確，所以取未加粗差時的最小二乘值作為最終平差結(jié)果(下文稱為正確結(jié)果)。

3.3 加入粗差后各方法平差比較

因?yàn)樵^測數(shù)據(jù)中沒有粗差，現(xiàn)在為了方便討論問題，在原觀測數(shù)據(jù)的水準(zhǔn)線路L4：H2-H1中加入 10 mm(遠(yuǎn)大于兩倍中誤差)的粗差，再使用同樣的五種方法進(jìn)行平差比較，為了看到差距，我們把加入粗差后各平差方法所計(jì)算出的結(jié)果與正確值進(jìn)行比較，各個差值如表3所示：

各平差結(jié)果與未加粗差時的最小二乘值之差(單位/mm) 表3

各方法平差后所得的殘差V如表4所示：

加入粗差后各方法平差后的殘差V(單位/mm) 表4

由表3和表4我們可以看出：

(1)當(dāng)在觀測數(shù)據(jù)里加入一個粗差時，最小二乘法平差所得的結(jié)果中，除了點(diǎn) 153 314外，其他的計(jì)算結(jié)果都與未加粗差時的正確結(jié)果差了 4 mm以上，這個誤差已經(jīng)遠(yuǎn)大于2倍中誤差。由此可知，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)里加入一個粗差時，最小二乘法的計(jì)算結(jié)果與正確值相差較大。

(2)選權(quán)迭代法平差所得到的結(jié)果與正確結(jié)果相比，差距都很小，最大的差值也未超過 0.4 mm，幾乎可以忽略不計(jì)，由此可以說明當(dāng)加入一個粗差時，選權(quán)迭代法能夠有效的剔除粗差。5種方法在所得的觀測值的殘差V方面沒有大的差異，都在線路L4處有著將近 10 mm的殘差，這與實(shí)際添加粗差的位置以及粗差的大小都十分吻合，很好地體現(xiàn)出了粗差的影響；而最小二乘估計(jì)所得的殘差陣無法看出實(shí)際添加的粗差的位置和大小，這充分說明該程序具有良好的粗差探測及定位能力。

4 結(jié) 論

該程序與穩(wěn)健估計(jì)理論相結(jié)合，通過算例證明了其具有以下特點(diǎn)：①在沒有粗差的情況下，其計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典最小二乘法平差結(jié)果差距很小，滿足要求。②在有粗差的情況下，該程序的選權(quán)迭代法可以有效剔除粗差的影響，計(jì)算結(jié)果明顯地達(dá)到了抗粗差的目標(biāo)。

和目前的具有抗差功能的平差軟件相比，該程序的平差結(jié)果可以有效定位出粗差的存在位置，這有助于在原始數(shù)據(jù)中找出存在粗差的測段以做進(jìn)一步的處理。

本文所編的程序只是對穩(wěn)健估計(jì)理論做一次粗淺的應(yīng)用，但是已經(jīng)顯示了穩(wěn)健估計(jì)在處理測量數(shù)據(jù)粗差問題時的有效性和實(shí)用性，相信在今后的發(fā)展中，穩(wěn)健估計(jì)理論在測繪領(lǐng)域必將得到更加廣泛的應(yīng)用。