陳德茂，沈志平，姜 鵬，付君宜，劉 慧

（1.貴州正業(yè)工程技術(shù)投資有限公司，貴州 貴陽 550012；2.中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100012）

山區(qū)工程建設(shè)不可避免地會遇到邊坡問題。邊坡穩(wěn)定性評價方法目前主要包括極限平衡法、極限分析法、數(shù)值分析法三類。瑞典圓弧法作為極限平衡法的一種最早由Fellenius于1927年提出，Bishop對瑞典圓弧法進(jìn)行了改進(jìn)并提出了滿足力矩平衡的簡化Bishop法[1?2]；針對Bishop法不滿足力平衡條件的問題，Janbu提出了滿足力平衡條件的Janbu法[3]；鄭穎人等[4]分析了幾種極限平衡法的精度問題；麻官亮等[5]將Spencer法應(yīng)用到三維邊坡模型的穩(wěn)定性評價中。極限分析法由Drucker和Prager于1952年提出，該方法考慮了靜力場和速度場，根據(jù)滿足的條件不同分為上限解法（能量法）和下限解法[6?8]，當(dāng)上限解和下限解相等時即為邊坡穩(wěn)定性的真實解[9]。數(shù)值分析法于20世紀(jì)60年代提出，目前主要包括有限元法、離散元法、有限差分法、邊界元法?；诓煌睦碚?，各數(shù)值分析法均有各自的優(yōu)勢和局限性[10?13]。工程中最常用的數(shù)值分析方法是有限元法，能夠較好地處理小變形問題，配合強(qiáng)度折減法[14?16]可以獲得邊坡安全系數(shù)。

目前極限平衡法依然是工程中常用的邊坡穩(wěn)定性分析方法，該類方法基于平面應(yīng)變假定而未考慮邊坡外形，在評價球冠型邊坡這類有明顯外形影響的邊坡穩(wěn)定性時有較大誤差，本文研究旨在消除該誤差問題。

1 FAST臺址區(qū)域概況

中國科學(xué)院國家天文臺500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope,FAST）位于貴州省平塘縣大窩凼洼地內(nèi)。大窩凼洼地發(fā)育在云貴高原向廣西丘陵過渡帶的大小井地下河系統(tǒng)中，為“U”字型巖溶洼地，地層巖性由黏土、溶塌混合體、三疊系中統(tǒng)涼水井組石灰?guī)r組成。黏土僅分布于洼地底部，厚度一般3～5 m；溶塌混合體分布于斜坡地帶及洼地底部黏土層之下，厚度一般5～50 m，平均30 m；淺表為未膠結(jié)的大塊石，中下部為半膠結(jié)、膠結(jié)的土石混合體，均勻性差；三疊系中統(tǒng)涼水井組白云質(zhì)灰?guī)r、含泥灰?guī)r出露于洼地上部陡坡地段，中至厚層狀，屬較軟至較硬巖，巖體較破碎至較完整。

為契合FAST主動反射面形狀，臺址開挖完成后在反射面圈梁以下范圍內(nèi)形成了大規(guī)模球冠型邊坡[17]，如圖1所示。由于淺表層未膠結(jié)的溶塌混合體極易發(fā)生破壞[18]，開挖時清除了大量該類土體，開挖完成后的球冠型邊坡主要由膠結(jié)的溶塌混合體和下伏基巖組成，局部穩(wěn)定性良好，但球冠型邊坡整體穩(wěn)定性評價缺少相關(guān)計算方法。

圖1 FAST臺址球冠型邊坡Fig.1 Spherical cap shape slope of FAST

考察邊坡在水平面內(nèi)的形狀，可將其分為凸形、凹形和直線形，邊坡的空間形狀對其穩(wěn)定性無疑會產(chǎn)生影響[19?21]，球冠型邊坡屬于軸對稱圓形凹坡，實際工程中通常不考慮邊坡外形，均按照直線形邊坡考慮，所得計算結(jié)果偏于保守[22?23]，需重新確定其穩(wěn)定性評價方法。

目前一般認(rèn)為軸對稱圓形凹形邊坡穩(wěn)定性優(yōu)于直線形邊坡，原因是軸對稱圓形凹坡的微單元扇形滑體側(cè)面較直線形邊坡多了一組側(cè)面力，Zhang[24]和Zhang等[25]都將該側(cè)面力按主動土壓力取值，從概念上分析軸對稱圓形凹坡的微單元扇形滑體在滑動時側(cè)面處于擠壓狀態(tài)，更接近于被動土壓力。黎莉等[26]對側(cè)面力分別按照主動土壓力、靜止土壓力、被動土壓力三種情況進(jìn)行分析，結(jié)果表明側(cè)面實際壓力狀態(tài)處于靜止土壓力和被動土壓力之間。

2 軸對稱圓形凹坡的微單元扇形滑體側(cè)面力

2.1 環(huán)形條塊軸向力與外荷載的關(guān)系

根據(jù)極限平衡法劃分條塊的思路，將軸對稱圓形凹坡滑體劃分為若干個“環(huán)形條塊”（圖2），環(huán)形條塊向下滑動時會受到一個水平分力均布荷載qx，荷載方向指向?qū)ΨQ軸（圖3）。

圖2 軸對稱圓形凹坡劃分環(huán)形條塊Fig.2 Dividing annulus slices of the axisymmetric circular concave slope

圖3 環(huán)形條塊水平下滑分力Fig.3 Horizontal sliding component of annulus slices

取圖3中環(huán)形條塊的一段微單元扇形滑體作為分析對象（圖4）。微單元扇形滑體的曲率半徑為環(huán)形條塊的半徑R，兩側(cè)面夾角為dφ，用r和s分別表示微單元扇形滑體的法線和切線方向，則微單元扇形滑體弧長ds=Rdφ。s和r方向的荷載集度分別為qs和qr。側(cè)面彎矩為M，側(cè)面剪力為FQ，側(cè)面軸向力為FN。

圖4 微單元扇形滑體受力圖Fig.4 Free-body diagram of the tiny element sector sliding body

由ΣFs=0得

由于dφ趨向于0，則cos（dφ/2）=1，sin（dφ/2）=dφ/2，忽略高階微量后由式（1）得

令ds=Rdφ，由式（2）整理得

由ΣFr=0同理可得

由ΣM=0得

即

由式（3）（4）（5）可知，當(dāng)R趨向于無窮時，環(huán)形條塊內(nèi)力公式轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€形條塊。

由于環(huán)形條塊滑動時受到的水平分力qx為均布荷載，故切線荷載qs=0，法向荷載qr=qx。

設(shè)環(huán)形條塊處于無彎矩狀態(tài)，即側(cè)面彎矩M=0，側(cè)面剪力FQ=0，由式（4）可得

2.2 微單元扇形滑體側(cè)面力與水平抗滑力的關(guān)系

由式（6）可知，當(dāng)環(huán)形條塊向下滑動時會在環(huán)形條塊內(nèi)產(chǎn)生一個軸向壓力FN，F(xiàn)N即為微單元扇形滑體的側(cè)面力，且FN為常數(shù)。如果可以確定環(huán)形條塊軸向抗壓能力FNmax，則可以得到一個水平荷載，該水平荷載方向背離對稱軸，起到抗滑作用，屬于抗滑力。

如圖4所示，假定極限平衡狀態(tài)時，微單元扇形滑體的大主應(yīng)力σ1方向為s切線方向，小主應(yīng)力σ3方向為重力方向（豎直方向），則有：

考慮到邊坡坡面臨空，假設(shè)小主應(yīng)力σ3=0，則有：

式中：h—微單元扇形滑體的高度；

l—微單元扇形滑體的底面寬度；

θ—微單元扇形滑體的底面與水平面夾角；

c1—微單元扇形滑體的滑體黏聚力；

φ1—微單元扇形滑體的滑體內(nèi)摩擦角。

對于一般土體，式（8）中的σ1介于靜止土壓力和被動土壓力之間，符合文獻(xiàn)[26]的結(jié)論。

取微單元扇形滑體（圖5），由式（6）可得FNmax產(chǎn)生的水平抗滑力（T）的計算公式：

圖5 微單元扇形滑體抗滑力分析Fig.5 Sliding resistance force of the tiny element sector sliding body

計算大主應(yīng)力σ1時由于假定σ3=0，對于坡面處的滑體部分較為合理，但對于深處的滑體部分其σ3不為0，故式（10）計算出的水平抗滑力偏小，使得最終穩(wěn)定性評價結(jié)果偏于保守。

3 基于極限平衡法的軸對稱圓形凹坡穩(wěn)定性評方法

3.1 改進(jìn)簡化Bishop法

將2.2節(jié)中介紹的水平抗滑力加入到任意極限平衡法中，均可以使其適用于軸對稱圓形凹坡穩(wěn)定性評價，這里以簡化Bishop法為例進(jìn)行公式推導(dǎo)。

取第i個環(huán)形條塊的微單元扇形滑體i，將水平抗滑力Ti引入到簡化Bishop法中，假定水平抗滑力Ti作用在微單元扇形滑體i的重心上，微單元扇形滑體i重心所在剖面的計算簡圖如圖6所示。

圖6 改進(jìn)簡化Bishop法計算簡圖Fig.6 Calculation diagram of the improved simplified Bishop method

由豎向合力ΣFz=0得

式中：γi—微單元扇形滑體i的土體容重；

Ti0、Ni—微單元扇形滑體i在滑面上的抗滑力和法向力；

ri—微單元扇形體重心到對稱軸的距離；

其余變量意義同前。

由力矩求和ΣMO=0得：

式中：Ri—微單元扇形滑體i的水平抗滑力Ti到圓弧滑面圓心O的力矩；

R—圓弧滑面半徑。

由摩爾庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則并引入安全系數(shù)Fs可得Ti0：

式中：c2i—微單元扇形滑體i的滑面黏聚力；

φ2i—微單元扇形滑體i的滑面內(nèi)摩擦角；

其余變量意義同前。

將式（11）代入式（13）整理得：

將式（14）代入式（12），約去dφ整理得：

3.2 改進(jìn)簡化Bishop法驗證

3.2.1 簡化Bishop法和強(qiáng)度折減法對比

首先對有限元強(qiáng)度折減法和簡化Bishop法在計算直線形邊坡時安全系數(shù)的差異進(jìn)行對比：簡化Bishop法采用Geostudio，自動搜索滑移面；有限元強(qiáng)度折減法采用Midas GTS NX。為控制有限元模型中滑移面為圓弧形，模型分為基巖和土體兩部分，邊坡高10 m，坡度42.5°，土體參數(shù)如表1所示，所有土體均采用摩爾庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則，安全系數(shù)及滑移面計算結(jié)果如圖7所示。

表1 10 m高度邊坡土體參數(shù)Table 1 Soil parameters of slope with a height of 10 m

圖7 簡化Bishop法與強(qiáng)度折減法安全系數(shù)計算結(jié)果Fig.7 Safety factor of the simplified Bishop method and strength reduction method

由圖7可以看出兩種方法的滑移面基本一致，但有限元強(qiáng)度折減法的安全系數(shù)計算結(jié)果略高于簡化Bishop法[27]，這主要是因為簡化Bishop法有諸多假定，如未考慮土條間切向力、未考慮單個土條的力矩平衡等，這些假定使得計算結(jié)果偏于保守。

3.2.2 改進(jìn)簡化Bishop法和強(qiáng)度折減法對比

建立圖7（b）模型的三維有限元模型（圖8），坡腳到對稱軸的距離Rbottom分別為5，10，20 m。計算得到安全系數(shù)和滑移面后，將滑移面提取并采用式（15）—（17）進(jìn)行安全系數(shù)計算，并將有限元強(qiáng)度折減法計算結(jié)果和式（15）—（17）的計算結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果見圖9（a）。圖中H為邊坡高度，H/Rbottom=0表示直線形邊坡；同時將表1土體參數(shù)的黏聚力改為10 kPa，其余參數(shù)不變，進(jìn)行安全系數(shù)計算對比，計算對比結(jié)果如圖9（b）所示。

圖8 三維有限元模型（Rbottom=20 m）Fig.8 Three-dimensional finite element model（Rbottom=20 m）

圖9 10 m高軸對稱圓形凹坡安全系數(shù)計算結(jié)果Fig.9 Safety factor of the axisymmetric circular concave slope with a height of 10 m

另建立兩組模型進(jìn)行對比驗證，邊坡模型高度為30 m，邊坡坡度60°，土體參數(shù)如表2所示，安全系數(shù)計算結(jié)果如圖10（a）所示。同時將表2土體參數(shù)的黏聚力改為35 kPa其余參數(shù)不變，進(jìn)行安全系數(shù)計算，計算結(jié)果如圖10（b）所示。

表2 30 m高度邊坡土體參數(shù)Table 2 Soil parameters of slope with a height of 30 m

由圖9和圖10可得，有限元強(qiáng)度折減法安全系數(shù)計算結(jié)果始終高于改進(jìn)簡化Bishop法且兩條計算結(jié)果線段接近平行，表明兩種計算方法的安全系數(shù)差值基本保持一致，改進(jìn)簡化Bishop法的計算公式較為可靠，同時可以看出軸對稱圓形凹坡的穩(wěn)定性優(yōu)于直線形邊坡。

圖10 30 m高軸對稱圓形凹坡安全系數(shù)計算結(jié)果Fig.10 Safety factor of the axisymmetric circular concave slope with a height of 30 m

4 軸對稱圓形凸坡的穩(wěn)定性評價

軸對稱圓形凸坡的安全系數(shù)計算公式可由式（15）—（17）變換得到，當(dāng)軸對稱圓形凸坡的環(huán)形條塊下滑時其軸向會產(chǎn)生一個拉力，一般不考慮土體的抗拉強(qiáng)度，則忽略式（17）得到適用于軸對稱圓形凸坡的安全系數(shù)計算公式：

對式（18）（19）進(jìn)行驗證，同樣采用有限元強(qiáng)度折減法和改進(jìn)簡化Bishop法計算得到的安全系數(shù)結(jié)果進(jìn)行對比。建立有限元模型，土體單元采用表2中的土體參數(shù)，邊坡高度20 m，坡度為70°，Rbottom=20，30，40 m三種情況（圖11），兩種方法計算結(jié)果如圖12所示。

圖11 軸對稱圓形凸坡三維有限元模型Fig.11 Three-dimensional finite element model of the axis ymmetric circular convex slope

圖12 軸對稱圓形凸坡安全系數(shù)計算結(jié)果Fig.12 Safety factor of the axisymmetric circular convex slope

圖12中兩種方法安全系數(shù)計算結(jié)果比較接近，式（18）（19）適用于軸對稱圓形凸坡安全系數(shù)計算，同時軸對稱圓形凸坡的安全系數(shù)隨半徑的增大沒有發(fā)生明顯變化，與傳統(tǒng)概念中凸坡的穩(wěn)定性差有所出入。這主要是因為上部環(huán)形條塊周長要小于下部環(huán)形條塊，即上部滑體的體積較小而下部滑體的體積大，這種情況對抗滑移是有利的，凸坡安全系數(shù)未必就比直線形邊坡小[22]。

5 結(jié)論

（1）軸對稱圓形凹坡側(cè)面力取值可以按照微單元扇形滑體小主應(yīng)力為零時的大主應(yīng)力進(jìn)行取值。

（2）考慮側(cè)面力取值后對極限平衡法進(jìn)行改進(jìn)，提出改進(jìn)后的簡化Bishop法安全系數(shù)計算公式，改進(jìn)后的公式計算結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果基本一致。

（3）假定土體抗拉強(qiáng)度為零，提出了圓形凸坡安全系數(shù)計算方法與公式，計算結(jié)果表明圓形凸坡安全系數(shù)與長直邊坡接近。