劉 燁 ,楊朋舉,張 緒

(1.上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院,上海 201620;2.北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)

1 引言

近幾十年來,多智能體協(xié)調(diào)控制技術(shù)因其在集群控制,如無人機(jī)群控制、水下協(xié)同作業(yè)、機(jī)器人群編隊(duì)以及衛(wèi)星集群控制等相關(guān)領(lǐng)域的成功應(yīng)用,使多智能體協(xié)調(diào)控制問題逐漸成為學(xué)者們廣泛關(guān)注的重點(diǎn)[1–3].多智能體間的協(xié)同控制主要包括一致性、蜂擁、聚集、群集等,其中一致性問題在協(xié)同控制領(lǐng)域顯示出巨大的工程應(yīng)用潛力,是研究多智能體協(xié)調(diào)控制問題的關(guān)鍵[4–6].此外,在多智能體的協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)中,所設(shè)計(jì)的控制器不僅需要當(dāng)前智能體的信息,還需要鄰接多智能體的信息,這使得分布式控制器的設(shè)計(jì)更加具有挑戰(zhàn)性.最近,文獻(xiàn)[7]通過著名的內(nèi)模原理研究了具有擾動的不確定線性多智能系統(tǒng)的漸近協(xié)作輸出調(diào)節(jié)問題,并設(shè)計(jì)了兩種基于自適應(yīng)控制策略和事件觸發(fā)機(jī)制的新型分布式控制器,該控制器能大大減少數(shù)據(jù)傳輸?shù)念l率并能避免Zeno行為.在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]假設(shè)僅少數(shù)智能體外部系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣已知而各智能體的拓?fù)湫畔⑽粗?進(jìn)一步設(shè)計(jì)了一種新穎的分布式觀測器以估計(jì)與拓?fù)湎嚓P(guān)的信息,實(shí)現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的漸近協(xié)同控制.然而,實(shí)際的物理系統(tǒng)往往存在非線性特性,研究具有非線性動態(tài)的多智能體系統(tǒng)有助于更好地描述系統(tǒng)特性,進(jìn)而改善系統(tǒng)的控制性能.針對含輸入死區(qū)的多智能體二階非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[9]提出了一種基于一致性的分布式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制策略.文獻(xiàn)[10]針對非線性的隨機(jī)多智能體死區(qū)輸入系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種分布式的一致性控制器,其在狀態(tài)已知的情況下得到了良好的實(shí)際跟蹤控制效果.文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步擴(kuò)展系統(tǒng)的應(yīng)用范圍,考慮了執(zhí)行器故障的情況,并且其所設(shè)計(jì)的控制器能確保系統(tǒng)跟蹤誤差在預(yù)設(shè)性能界限范圍內(nèi).實(shí)際上,存在大量物理系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)信息是未知的,通常需要構(gòu)造狀態(tài)觀測器以估計(jì)其內(nèi)部狀態(tài)信息,并通過構(gòu)造基于輸出反饋的自適應(yīng)控制器以達(dá)到控制目的.在系統(tǒng)模型含有未知狀態(tài)信息的情況下,文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了一種針對非線性高階多智能體系統(tǒng)的一致性量化控制器,其能有效地抵消智能體系統(tǒng)間存在的由未知動態(tài)非線性所造成的相互影響.在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[13]在控制增益未知的情況下,進(jìn)一步研究基于分布式的高階多智能體隨機(jī)系統(tǒng)的一致性問題,提出一種有效的輸出反饋模糊控制方案.

然而,不難發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[12–13]所提出的多智能體系統(tǒng)一致性控制方案采用傳統(tǒng)反推法設(shè)計(jì)控制器,其在設(shè)計(jì)的過程中需要對虛擬控制率進(jìn)行重復(fù)微分而出現(xiàn)“微分爆炸”現(xiàn)象.為克服這種不足,文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步研究了一類同時(shí)具有非線性項(xiàng)與未知參數(shù)的多智能體高階系統(tǒng)的分布式一致性輸出反饋問題,其所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)動態(tài)面控制器能避免“微分爆炸”問題并降低系統(tǒng)的計(jì)算負(fù)擔(dān),但是該控制器僅能使跟蹤誤差收斂至任意小的零的鄰域范圍內(nèi),而無法令跟蹤誤差達(dá)到漸近收斂至零的程度.最近,在傳統(tǒng)動態(tài)面控制方案[14–19]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[20]針對一類具有磁滯輸入的不確定非線性系統(tǒng),進(jìn)一步研究動態(tài)面漸近跟蹤控制問題,其設(shè)計(jì)了帶有正時(shí)變積分函數(shù)的新型非線性濾波器,該濾波器能補(bǔ)償傳統(tǒng)一階線性低通濾波器的邊界層誤差,并能令跟蹤誤差達(dá)到漸近收斂至零的程度.受此啟示,本文以含非線性項(xiàng)的多智能體高階系統(tǒng)為對象,在現(xiàn)存文獻(xiàn)[7–20]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究基于分布式的動態(tài)面輸出反饋漸近一致控制問題.

另一方面,多智能體系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)在實(shí)際的工程應(yīng)用中往往因智能材料的使用而產(chǎn)生磁滯現(xiàn)象,其嚴(yán)重影響系統(tǒng)的跟蹤控制性能.因此,消除多智能體系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磁滯效應(yīng)以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)而實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤控制性能成為研究熱點(diǎn).在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中,常用兩種方法來處理磁滯現(xiàn)象,其中一種是設(shè)計(jì)平滑的自適應(yīng)磁滯逆以減輕磁滯效應(yīng)的影響[21],另一種是將磁滯效應(yīng)視為磁滯的有界擾動和詳細(xì)特性[22].最近,文獻(xiàn)[23]提出了一種針對隨機(jī)非線性多智能體磁滯系統(tǒng)的事件觸發(fā)模糊反演控制方案,該方案給出的控制器僅在采樣時(shí)刻有條件地進(jìn)行更新.針對一類非線性的多智能體磁滯系統(tǒng),文獻(xiàn)[24]在系統(tǒng)狀態(tài)不可測的情況下,進(jìn)一步構(gòu)造了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分布式輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制器.該控制器能夠同時(shí)有效地消除磁滯輸入和外部擾動對該控制系統(tǒng)的不良影響.除了穩(wěn)態(tài)跟蹤性能,文獻(xiàn)[25]還進(jìn)一步考慮多智能體系統(tǒng)的瞬態(tài)跟蹤性能,其利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并結(jié)合特定的Nussbaum型函數(shù)以解決未知控制方向的問題,且所提出的反演控制方案不僅能消除系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磁滯現(xiàn)象,而且還能確保各跟隨者一致性誤差均能被約束在預(yù)先設(shè)定的性能邊界范圍內(nèi).然而,雖對于含未知磁滯輸入的多智能體高階系統(tǒng)一致控制的研究已取得很多成果,但是對該類系統(tǒng)動態(tài)面漸近控制的研究卻仍然較少,其難點(diǎn)在于新型濾波器的構(gòu)造,以及能補(bǔ)償磁滯影響的控制器的設(shè)計(jì).

本文考慮磁滯輸入的影響,研究了一類狀態(tài)未知的多智能體非線性系統(tǒng)的分布式輸出反饋領(lǐng)導(dǎo)者–跟隨者自適應(yīng)漸近一致控制問題.其研究動機(jī)是對于具有智能材料執(zhí)行器的多智能體工業(yè)系統(tǒng),其大多數(shù)情況只有輸入輸出狀態(tài)可測,此種情況下仍然保持高精度的跟蹤控制.本文通過構(gòu)造具有動態(tài)增益的K-濾波器去估計(jì)多智能體系統(tǒng)的未知狀態(tài),并對系統(tǒng)以及磁滯模型中的未知參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì).在此基礎(chǔ)上,利用非線性濾波器進(jìn)行新型動態(tài)面控制器的設(shè)計(jì).所設(shè)計(jì)的控制器能有效地消除未知磁滯給控制系統(tǒng)所造成的不良影響,確保整個(gè)多智能體閉環(huán)控制系統(tǒng)的所有信號均能達(dá)到半全局一致最終有界,并使所有跟隨者輸出均能漸近跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者輸出,且跟蹤誤差能在理論上收斂至零.本文的主要貢獻(xiàn)如下:

2) 構(gòu)造了改進(jìn)的動態(tài)高增益K-濾波器以估計(jì)非線性多智能體系統(tǒng)的未知狀態(tài),與傳統(tǒng)的K-濾波器相比,其能夠處理系統(tǒng)中與未知狀態(tài)線性相關(guān)的非線性項(xiàng),并且其是漸近穩(wěn)定的.

3) 設(shè)計(jì)了帶有正時(shí)變積分函數(shù)的新型非線性濾波器,該濾波器不僅能解決“微分爆炸”問題、降低計(jì)算負(fù)擔(dān),而且還能補(bǔ)償傳統(tǒng)動態(tài)面控制方案[14–19]中存在的邊界層誤差,使跟蹤誤差漸近收斂到零.

2 預(yù)備知識與問題描述

2.1 圖論

2.2 問題描述

考慮一系列具有磁滯輸入、未知參數(shù)和非線性項(xiàng)的高階多智能體系統(tǒng).該系統(tǒng)包含N個(gè)n階的跟隨者子系統(tǒng),其如下所示:

其中:0<εi<1是剛度比;?i是與非線性偽自然頻率有關(guān)的正參數(shù);ξi是輔助變量,其導(dǎo)數(shù)為

其中:?i和|φi|分別是描述磁滯形狀和振幅的常數(shù),且?i >|φi|;λi≥1能夠控制磁滯曲線由初始斜率向臨界斜率過渡的光滑性.

上述Bouc-Wen磁滯模型輸入輸出關(guān)系如圖1所示,其中:ξi(0)=0,ui(t)=5 sin(2t),εi=0.33,?i=10,?i=1,λi=2,φi=0.5.

在總結(jié)東江流域水資源分配工作經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，廣東將根據(jù)十八屆三中全會提出的改革方向，探索流域治理新措施。

圖1 Bouc-Wen磁滯Fig.1 Bouc-Wen hysteresis

為了實(shí)現(xiàn)對非線性多智能體系統(tǒng)(1)的控制目標(biāo),現(xiàn)提出如下一系列的假設(shè)和引理:

引理3[20]對于任意分段連續(xù)信號ui和,微分方程(5)的解集滿足

其中:ξi(0)是其初值條件;max{·}表示最大值.

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種基于新型動態(tài)面的分布式自適應(yīng)控制器,保證所有跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的輸出均能漸近趨于一致,并使跟蹤誤差收斂到零.同時(shí),確保閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均為半全局一致最終有界的.

注1本文考慮的系統(tǒng)模型更為廣泛,更具一般性.根據(jù)式(1)和式(4),所研究的非線性系統(tǒng)不僅涉及未知參數(shù),而且考慮了與未知狀態(tài)線性相關(guān)的非線性項(xiàng)

從式(11)可知:非線性項(xiàng)Fi(yi)xi表示未知狀態(tài)xi與非線性函數(shù)Fi(yi)的乘積,然而現(xiàn)有的輸出反饋控制方案僅僅考慮了輸出yi和非線性函數(shù)φi,k(yi).因此,現(xiàn)有的輸出反饋控制方案[12–13]不能用于處理本文的系統(tǒng),那么設(shè)計(jì)能夠處理與未知狀態(tài)線性相關(guān)的非線性項(xiàng)的狀態(tài)觀測器是更加困難且更加具有挑戰(zhàn)性的.

注2與現(xiàn)有的多智能體控制方案[11–13]相比,本文所提出的控制方案采用動態(tài)面反推技術(shù)設(shè)計(jì)控制器,該控制器僅需要知道各跟隨者輸出yi、領(lǐng)導(dǎo)者輸出yr和其一階導(dǎo)數(shù).此外,本文所考慮的非線性多智能體系統(tǒng)(1)可以是異構(gòu)的.

注3假設(shè)4中的正時(shí)變積分函數(shù)σi(t)對于分析動態(tài)面控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性起著至關(guān)重要的作用,可選取為?e?νt,1/(t?+1),其中:?>0,ν >0,? ≥1.

注4由于Pi是對稱正定矩陣,那么只需選取足夠大的ai,即可使式(9)成立.

3 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

3.1 狀態(tài)估計(jì)

為估計(jì)非線性多智能體系統(tǒng)(1)的未知狀態(tài),筆者設(shè)計(jì)如下一系列動態(tài)高增益K-濾波器:

注5這里已省略引理4的證明,其相關(guān)證明過程可參考文獻(xiàn)[12–14].此外,根據(jù)式(20)可知,本文所設(shè)計(jì)的動態(tài)高增益K-濾波器(12)是漸近穩(wěn)定的,且經(jīng)該濾波器所測得的狀態(tài)估計(jì)值與真實(shí)狀態(tài)之間的誤差可收斂至零.

3.2 新型動態(tài)面控制設(shè)計(jì)

在這一部分,將給出采用新型非線性濾波器的動態(tài)面控制器設(shè)計(jì)步驟.首先,為便于展開設(shè)計(jì),要進(jìn)行如下坐標(biāo)變換:

其中:q=1,···,N;δi,1,1,δi,1,2,δi,1,3,δi,1,4和δi,1,5均已在式(25)中給出.然后,可進(jìn)一步根據(jù)式(22)–(29)(31)–(33)對式(30)求導(dǎo),得

步驟j(j=2,···,ρi ?1,i=1,···,N) 根據(jù)式(1)和式(21),可將zi,j的導(dǎo)數(shù)表示為

當(dāng)j=2時(shí),選取該步驟的虛擬控制率αi,2為

當(dāng)3 ≤j≤ρi ?1時(shí),選取步驟j的虛擬控制率αi,j為

其中ci,j是正設(shè)計(jì)參數(shù).然后,使αi,j通過如下新型的

4 穩(wěn)定性分析

定理1考慮具有磁滯輸入(4)、的高階非線性多智能體系統(tǒng)(1)、狀態(tài)觀測器(12)、新型的非線性濾波器(27)和(38)、虛擬控制率(25)(36)(37)、控制器(45)與自適應(yīng)率(26)(28)(39)(46)(47)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng).在滿足假設(shè)1–4的條件下,對于有界的初始條件,若有V(0)≤R1,則通過選取合適的設(shè)計(jì)參數(shù)便可使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有的信號全部達(dá)到半全局一致最終有界,且跟蹤誤差可以漸近地收斂至零.

即實(shí)現(xiàn)了一致性誤差的漸近收斂.然后,按照圖論知識并根據(jù)該系統(tǒng)的通信網(wǎng)絡(luò)去選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)和,可使所有跟隨者與其領(lǐng)導(dǎo)者的輸出均趨于漸近一致,且跟蹤誤差在理論上能漸近地收斂至零.

注6與現(xiàn)有的漸近跟蹤控制方案[26–28]采用的反推法設(shè)計(jì)自適應(yīng)漸近跟蹤控制器相比,本文所提出的動態(tài)面控制方案克服了傳統(tǒng)反推法無法避免的因虛擬控制率重復(fù)微分所導(dǎo)致的“微分爆炸”問題,大大降低了控制器的設(shè)計(jì)難度和計(jì)算負(fù)擔(dān),從而使本文所提出的漸近跟蹤控制方案更加簡單,且更加實(shí)用.

注7在設(shè)計(jì)自適應(yīng)動態(tài)面控制器的過程中,文獻(xiàn)[14–19]采用一階低通濾波器以克服“微分爆炸”問題,但是這種傳統(tǒng)的一階低通濾波器存在邊界層誤差,故只能實(shí)現(xiàn)有界的誤差軌跡跟蹤,而不能保證其具有零誤差的漸近跟蹤.本文通過設(shè)計(jì)一種新型非線性濾波器完全補(bǔ)償了傳統(tǒng)動態(tài)面控制方案中存在的由邊界層誤差所產(chǎn)生的未知非線性函數(shù)Bi,j(·)的影響,從而實(shí)現(xiàn)了對該多智能體控制系統(tǒng)的漸近跟蹤.

5 仿真結(jié)果

在這一部分,考慮如下一系列同時(shí)具有磁滯輸入、非線性項(xiàng)和未知參數(shù)的多智能體系統(tǒng):

控制目標(biāo)是基于本文所提出的分布式輸出反饋漸近一致控制方案設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制率ui,使各跟隨者輸出yi均與其領(lǐng)導(dǎo)者輸出yr=0.5 sint趨于漸近一致.為了達(dá)到該控制目標(biāo),筆者根據(jù)式(12)–(13)設(shè)計(jì)了如下一系列動態(tài)高增益K-濾波器:

其中:i=1,2,3,qi=[2 1]T,動態(tài)增益li由如下微分方程給出:

圖2 通信網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Communication network

在此基礎(chǔ)上,根據(jù)本文所提出的控制方案選取虛擬控制率和實(shí)際控制率分別為

然后,選取該控制系統(tǒng)中的所有參數(shù)估計(jì)初值均為0.仿真結(jié)果如圖3–6所示,分別給出了該非線性多智能體系統(tǒng)在本文所提出的新型動態(tài)面一致性控制方案下的輸出信號、一致性誤差信號、實(shí)際控制信號以及各跟隨者狀態(tài)信號的響應(yīng)曲線圖.

圖3 新型動態(tài)面控制方案下的多智能體系統(tǒng)輸出信號Fig.3 The output signals of multi-agent systems under new dynamic surface control scheme in this paper

然后,在領(lǐng)導(dǎo)者輸出軌跡、控制器設(shè)計(jì)參數(shù)和狀態(tài)初值等不變的條件下,進(jìn)一步利用現(xiàn)存的傳統(tǒng)動態(tài)面一致控制方案[14]去控制該非線性多智能體系統(tǒng).仿真結(jié)果如圖7–8所示,分別給出該多智能體系統(tǒng)在傳統(tǒng)動態(tài)面一致控制方案下的系統(tǒng)輸出和一致性誤差的變化曲線.

圖4 新型動態(tài)面控制方案下的一致性誤差信號Fig.4 The consensus error signals under new dynamic surface control scheme in this paper

圖5 新型動態(tài)面控制方案下的實(shí)際控制信號Fig.5 The actual control signals under new dynamic surface control scheme in this paper

圖6 新型動態(tài)面控制方案下的狀態(tài)信號Fig.6 The state signals under new dynamic surface control scheme in this paper

圖7 傳統(tǒng)動態(tài)面控制方案下的多智能體系統(tǒng)輸出信號Fig.7 The output signals of multi-agent systems under the traditional dynamic surface control scheme

從上述仿真結(jié)果可看出,與現(xiàn)有的傳統(tǒng)動態(tài)面一致性控制方案[14]相比,本文所提出的帶有新型非線性濾波器的動態(tài)面一致性控制方案具有更加良好的跟蹤性能,其可以解決傳統(tǒng)動態(tài)面一致性控制方案無法令跟蹤誤差收斂至零的難題.因此,仿真結(jié)果進(jìn)一步證明了該方案的正確性和優(yōu)越性.

圖8 傳統(tǒng)動態(tài)面控制方案下的一致性誤差信號Fig.8 The consensus error signals under the traditional dynamic surface control scheme

6 結(jié)論

本文研究了一類具有磁滯輸入且狀態(tài)未知的多智能體非線性系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)者–跟隨者一致性漸近控制問題.首先,設(shè)計(jì)了漸近穩(wěn)定的動態(tài)高增益K-濾波器去估計(jì)系統(tǒng)的未知狀態(tài),其能夠解決系統(tǒng)中與未知狀態(tài)線性相關(guān)的非線性項(xiàng).然后,設(shè)計(jì)了具有正時(shí)變積分函數(shù)的新型非線性濾波器,該濾波器不僅可以避免傳統(tǒng)反推法[11–13]無法避免的“微分爆炸”問題,而且還能補(bǔ)償傳統(tǒng)動態(tài)面[14–19]的邊界層誤差.理論分析表明該方案能有效地消除未知磁滯輸入對系統(tǒng)跟蹤控制性能的影響,確保多智能體閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差的漸近收斂.仿真結(jié)果也驗(yàn)證了該方案的有效性.未來的研究應(yīng)考慮對未知控制方向和更具一般性系統(tǒng)案例的擴(kuò)展.