一類抽象函數(shù)解析式求法的反思

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

抽象函數(shù)在現(xiàn)行教材中沒有介紹，但是有關(guān)抽象函數(shù)的題目在各類教輔資料中屢見不鮮，尤其是“已知f(ax+b)=g(x)，求f(x)”的試題在全國各地的高考卷中層出不窮.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍掌握得不好，存在生搬硬套的現(xiàn)象，難以達到舉一反三的水平.由此引發(fā)了我對此類問題的研究，通過探究這類問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)“已知f(ax+b)=g(x)，求f(x)”的問題至少有5種解法.

一、概念說明

所謂復(fù)合函數(shù)是指形如y=f(h(x))的函數(shù)，其中u=h(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(u)叫做外層函數(shù).復(fù)合函數(shù)的一個基本原理：內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域.

二、解法探究

解法1 (定義法)因為f作用的對象是ax+b，于是我們可以將條件左端g(x)等價變形為關(guān)于以“ax+b”為運算對象的關(guān)系式.進而求得f(x).

例1 已知f(x+1)=x2+x-1，求f(x).

解析由于f(x+1)=x2+x-1=(x+1)2-2x-1+x-1=(x+1)2-(x+1)+1-1-1=(x+1)2-(x+1)-1.

由于x與x+1的取值范圍相同，所以f(x)=x2-x-1.

評析這種解法要求學(xué)生思路清晰，運算目標明確，還要有一定的運算能力，否則難以實現(xiàn)目標，一般按照次數(shù)逐項拼湊，這種方法又稱拼湊法.

①

于是f(t)=(t-1)2.

②

所以f(x)=(x-1)2(x≥1).

③

評析在①處學(xué)生容易繞不清，每一個等號的來歷不理解；③處的定義域初學(xué)者容易忘記，也弄不清；③處的x與②處的t是同一個變量，只是記號與習(xí)慣而已，體現(xiàn)了內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域.

解法3 (賦值法)在集合思想的引導(dǎo)下，通過對復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)u=ax+b進行適當?shù)刭x值，使得內(nèi)層函數(shù)轉(zhuǎn)化為最簡形式u=x，從而求得f(x).

解法4 (待定系數(shù)法)若g(x)為一次函數(shù)，且內(nèi)層函數(shù)是u=f(x)，此時f(ax+b)=g(x)變形為f(f(x))=g(x)，可以推證f(x)為一次函數(shù)(*)，進而可以通過待定系數(shù)法確定f(x)的斜率和縱截距.下面證明(*).

設(shè)f(x)=kx+b，那么f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+(kb+b).

因此，當g(x)為一次函數(shù)時，f(x)一定為一次函數(shù).

比較系數(shù)可得關(guān)于k，b的方程組.

例4已知f(f(x))=4x+3，求f(x)的解析式.

評析這種解法適用于已知函數(shù)類型的題目.本質(zhì)是建立相關(guān)參數(shù)的方程組，通過解方程組完成解答.

解法5 (平移法)當u=ax+b中的a=1時，由于y=f(x+b)是由y=f(x)平移而得，所以可以通過平移法則求解f(x).

例5 已知f(x-1)=x2+x，求f(x).

解析y=f(x-1)是由y=f(x)向右平移1個單位而得，由逆向思維得y=f(x-1)向左平移1個單位就是y=f(x).

所以f(x)=f((x+1)-1)=(x+1)2+(x+1)=x2+3x+2.

評析這種解法適用于u=ax+b中的a=1的情形，將圖象平移與代數(shù)運算有機結(jié)合起來，從另外一種角度認識了抽象函數(shù)，有利于對抽象函數(shù)的理解.

三、教學(xué)反思

從以上幾例可以發(fā)現(xiàn)，這類問題學(xué)生之所以掌握得不太好，是因為解法因題而異，必須根據(jù)題設(shè)靈活選擇解題方法，尤其是定義域的處理變化多端，實質(zhì)是求內(nèi)層函數(shù)的值域.學(xué)生對此的理解是一個螺旋上升的過程，我們要遵循高一學(xué)生的認知規(guī)律，扎實有效地推進教學(xué).

1.適度拓展，單元整體設(shè)計，理順知識間的邏輯

《函數(shù)及其表示》一節(jié)主要介紹了函數(shù)概念和表示方法，其中還牽涉函數(shù)的定義域、值域、同一函數(shù)等概念.為了提高學(xué)生對函數(shù)概念的理解，我們有必要對定義域、值域、函數(shù)解析式求法進行拓展教學(xué)，否則學(xué)生難以適應(yīng)后續(xù)的教學(xué)，也達不到高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求.

對于定義域，一般常見的函數(shù)定義域問題學(xué)生均可以借助集合的知識完成，但是對于抽象(復(fù)合)函數(shù)的定義域?qū)W生非常迷茫，我們有必要介紹復(fù)合函數(shù).首先要理解復(fù)合函數(shù)的概念，其次要理清內(nèi)層函數(shù)、外層函數(shù)，再次要靈活應(yīng)用“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”解題.否則，學(xué)生難以應(yīng)對以下三類定義域問題：已知外層函數(shù)f(x)的定義域，求復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域；已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域，求外層函數(shù)f(x)的定義域；已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域，求另一復(fù)合函數(shù)f(h(x))的定義域.

對于值域，教材僅介紹了概念和簡單例題.事實上，值域是一個復(fù)雜問題，隨著學(xué)生知識面的擴大，難度越來越大.若處理不到位，抽象函數(shù)的定義域經(jīng)常出錯.

抽象函數(shù)解析式是本節(jié)的難點，解題方法多，諸如定義法、換元法、拼湊法，待定系數(shù)法、函數(shù)方程組法、特值法，并且應(yīng)用靈活.在教學(xué)中應(yīng)當做到單元整體設(shè)計、整體推進，知識融合，前后照應(yīng)才能產(chǎn)生良好的教學(xué)效果.

2.開展深度教學(xué)，使學(xué)生把握問題本質(zhì)

復(fù)合函數(shù)問題在教材上未有涉及，但是高考中時常出現(xiàn).因為這是一個拔高的要求，能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).眾所周知，把問題一般化才能深入理解問題.深度教學(xué)的發(fā)生離不開教學(xué)的組織與引導(dǎo),我們必須克服教學(xué)過程中表面、表層、表演的局限，引導(dǎo)學(xué)生深層、深刻、深度學(xué)習(xí).經(jīng)歷從理論到實踐的一整套思維過程和行為模式的轉(zhuǎn)化，深度教學(xué)才能促進深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生.

3.充分調(diào)動學(xué)生積極性，落實實踐教學(xué)

實踐教學(xué)尤為重要，講一講，做一做，變式訓(xùn)練及時跟上.抓住高一新生善于表現(xiàn)的特征，可以開展現(xiàn)場限時解題比賽，既能提高速度，又能增大課堂容量.學(xué)生現(xiàn)場板書必不可少，小組合作突破難點，同伴互助找到自己認識上的誤區(qū)，不能搞老師一言堂.讓學(xué)生點評是提高全體學(xué)生思維的好辦法，同齡人思維接近，看待問題相近，糾正一題就提升一片.何樂而不為呢？

4.遵循教學(xué)規(guī)律，遞進式推進教學(xué)

問題之所以困難，是因為有的學(xué)生理解不到位，老師推進太快.我們要遵循教學(xué)規(guī)律，先教會內(nèi)層函數(shù)值域為R的，再給出內(nèi)層函數(shù)值域非R的；最后再介紹幾何法(平移)；然后將內(nèi)層函數(shù)復(fù)雜化，值域非R，有一定計算量的.遞進式教學(xué)符合學(xué)生的認知特征，讓問題越來越深刻，學(xué)生就真正掌握問題了.