分類討論思想面面觀

楊 陽

(安徽省定遠(yuǎn)中學(xué) 233200)

分類討論是解決問題的一種基本邏輯與方法，更是一種數(shù)學(xué)思想，方便研究對(duì)象，合理發(fā)展人的思維.特別地，分類討論思想在高考數(shù)學(xué)命題中占有非常重要的位置，在數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)中存在大量分類討論的相關(guān)問題.分類討論思想的考查是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題之一.

一、函數(shù)中的分類討論思想

有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性.特別對(duì)于函數(shù)問題中，情形比較多或不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，則應(yīng)分類進(jìn)行研究，分類時(shí)要做到不重不漏.

A.(-∞，-1] B.(0，+∞) C.(-1，0) D.(-∞，0)

分析結(jié)合分段函數(shù)中的條件進(jìn)行分類討論，結(jié)合相應(yīng)的不等式加以轉(zhuǎn)化，確定自變量x的取值范圍.

解析當(dāng)x+1≤0，即2x≤-2時(shí)，函數(shù)f(x)=2-x是減函數(shù)，由f(x+1)2x，解得x<1，故x≤-1；

當(dāng)0

當(dāng)x≥0時(shí)，此時(shí)不等式f(x+1)

綜上分析，可知x<0，故選D.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查分段函數(shù)，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想等.

二、數(shù)列中的分類討論思想

在數(shù)列中，涉及數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中q=1與q≠1的區(qū)別，結(jié)合項(xiàng)數(shù)n的奇偶情況、整除性情況等進(jìn)行分類討論，結(jié)合不同情況下對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和等加以應(yīng)用.

例2已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，則( ).

A.a1a3，a2

C.a1a4D.a1>a3，a2>a4

分析根據(jù)等比數(shù)列中“奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))符號(hào)相同”的性質(zhì)，結(jié)合條件中首項(xiàng)為正，通過公比的不同取值情況加以分類討論，結(jié)合條件中的關(guān)系式成立，加以合理排除與驗(yàn)證.

解析根據(jù)等比數(shù)列“奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))符號(hào)相同”的性質(zhì)，由a1>1，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)q>0時(shí)，由等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)可知a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，顯然條件a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，則知a1a3，a2>a4不成立，排除選項(xiàng)A，D；

當(dāng)q=-1時(shí)，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)>0，顯然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，故q≠-1；

當(dāng)q<-1時(shí)，a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3)>0，顯然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立；

當(dāng)-1a3>0，a2

綜上，得a1>a3，a2

點(diǎn)評(píng)在解決數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和時(shí)，一定要結(jié)合相關(guān)的規(guī)律、參數(shù)值的不同取值等情況，結(jié)合題目條件加以分類討論，確定不同情況下對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其相關(guān)的應(yīng)用等.

三、圓錐曲線中的分類討論思想

圓錐曲線中許多問題都涉及到分類討論，如位置關(guān)系的討論、軌跡方程中軌跡類型的確定、最值問題、參數(shù)范圍問題等都可能遇到因變量范圍不同而結(jié)果就不同的情況，因而要對(duì)位置關(guān)系或變量進(jìn)行必要的討論，才能確定最后的結(jié)果.

分析在設(shè)直線方程時(shí)，要結(jié)合直線的斜率是否存在加以討論，在直線斜率存在的條件下，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，通過函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，結(jié)合向量關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，借助基本不等式來確定最值即可.

綜上分析，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值取得最大值為2時(shí)，m=5，故填答案5.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì)，平面向量，討論思想與數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，如果涉及直線方程的設(shè)置，一定要分析直線斜率的存在性問題，否則容易遺漏其中直線斜率不存在的情況而導(dǎo)致錯(cuò)誤；涉及圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一定要分析對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)與其方程之間的關(guān)系等.

四、導(dǎo)數(shù)中的分類討論思想

在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題中，分類討論主要用來求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)范圍、極值、最值以及恒成立問題等.通過分類討論，針對(duì)相應(yīng)的參數(shù)問題，解決對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)問題.

例4若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0，+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在[-1，1]上的最大值與最小值的和為____.

分析通過求導(dǎo)，結(jié)合參數(shù)a的不同情況進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)應(yīng)的最值問題，進(jìn)而確定函數(shù)在給定區(qū)間的最大值與最小值的和問題.

解析由f(x)=2x3-ax2+1，可得f′(x)=6x2-2ax.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，+∞)上恒成立，則f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，而f(0)=1>0，故f(x)在(0，+∞)內(nèi)沒有零點(diǎn)；

x-1(-1,0)0(0,1)1f′(x)+0-0f(x)-4↗極大↘0

從上表可知，在[-1，1]上，f(x)max=f(0)=1，f(x)min=f(-1)=-4，所以f(x)在[-1，1]上的最大值與最小值的和為f(x)max+f(x)min=1-4=-3.

點(diǎn)評(píng)在利用導(dǎo)數(shù)求含字母的函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值時(shí)，一般都要涉及到對(duì)字母的討論，而反過來用函數(shù)在某已知區(qū)間上的單調(diào)性來求字母的取值范圍時(shí)，也通常會(huì)蘊(yùn)涵分類討論這一思想，這也是高考熱點(diǎn)內(nèi)容.

當(dāng)對(duì)應(yīng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一分析與研究時(shí)，可以借助研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類，對(duì)每一類別分別分析得出結(jié)論，最后綜合各類別的結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.分類討論思想的基本策略實(shí)質(zhì)上就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”.