問題巧轉(zhuǎn)化 導(dǎo)數(shù)妙破解
——一道含參不等式恒成立問題的探究

李彥彥

(甘肅省酒泉市瓜州縣第一中學(xué) 736100)

不等式中的恒成立問題能夠很好地考查函數(shù)、不等式等知識以及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，一直備受命題者青睞，是各級各類考試中的熱點問題之一.特別是涉及多個參數(shù)的不等式恒成立問題時，往往難度較大，讓人無從下手，而且此類問題有時表現(xiàn)比較隱蔽，不易分辨，切入點不易發(fā)現(xiàn).而導(dǎo)數(shù)作為解決不等式恒成立問題的有效工具之一，可以很好地破解不等式中的恒成立問題.

一、問題呈現(xiàn)

本題題目看似簡單，但參數(shù)較多，綜合含參數(shù)的一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)問題，不等式的恒成立以及代數(shù)關(guān)系式的最值問題等，內(nèi)容豐富.如何通過含參不等式在定義域內(nèi)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，進而得以確定兩相應(yīng)參數(shù)k與b的比值的最值是解決問題的關(guān)鍵，而正確構(gòu)造或轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)方法來求解相應(yīng)函數(shù)的最值是解決問題的突破口.

二、多解思維

思維角度1(構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化法1)根據(jù)題目條件，通過移項得到kx+b-ln(x+2)≥0，兩次把相應(yīng)的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)的最值問題，通過求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來確定其相應(yīng)的最值，進而得到對應(yīng)參數(shù)的比值的最小值.

思維角度4(特殊值法)根據(jù)題目條件，由于kx+b≥ln(x+2)對于x>-2恒成立，通過選取特殊值x=-1代入對應(yīng)的不等式，通過不等式的恒等變換得以確定k≤b，進而得到對應(yīng)參數(shù)的比值的最小值.此類方法可以達到“秒殺”的功效，但方法不具有科學(xué)性，有一定的投機取巧之嫌.

導(dǎo)數(shù)作為一種基本數(shù)學(xué)工具，可以用來處理與函數(shù)、不等式以及其他與之有關(guān)的很多問題，其中不等式的恒成立問題是其中最具有創(chuàng)新應(yīng)用的一種.利用導(dǎo)數(shù)解決問題的實質(zhì)是抓住用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用來處理對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問題，從而再轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式成立問題，巧妙轉(zhuǎn)化，綜合應(yīng)用.