賈文友，江 磊，曹紫陽，梁利東

安徽工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 人機(jī)自然交互和高效協(xié)同技術(shù)研究中心，安徽 蕪湖 241000

工業(yè)機(jī)器人作業(yè)過程中普遍需要較高能耗，故能耗策略研究成為許多工業(yè)機(jī)器人制造商和學(xué)術(shù)研究團(tuán)體的共同關(guān)注課題。降低工業(yè)機(jī)器人能耗的主要方法包括設(shè)計(jì)節(jié)能的作業(yè)規(guī)劃算法，優(yōu)化工業(yè)機(jī)器人運(yùn)行參數(shù)和運(yùn)行計(jì)劃等[1]；Llopis-Albert等人提出了一種解決機(jī)器人手臂軌跡規(guī)劃多目標(biāo)優(yōu)化問題的有效算法，研究了機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和避免與障礙物發(fā)生碰撞的問題[2]；Bailon 等人針對(duì)參數(shù)表示的給定路徑使用遺傳算法最大限度地減少了具有力矩限制的機(jī)器人所消耗的能量[3]；Serralheiro提出一種基于輪式移動(dòng)機(jī)器人時(shí)間能量優(yōu)化的軌跡規(guī)劃方法，通過自調(diào)整算法對(duì)引入懲罰系數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化[4]；Hansen以工業(yè)機(jī)器人能耗最小為指標(biāo)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，經(jīng)過對(duì)比研究表明所提出的方法優(yōu)于現(xiàn)有的基于扭矩的研究方法[5]；沈悅等人提出一種基于粒子群優(yōu)化算法的軌跡規(guī)劃方案[6]；唐佳提出了一種改進(jìn)差分進(jìn)化算法在關(guān)節(jié)空間中對(duì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化[7]；岳晴晴提出改進(jìn)遺傳算法對(duì)機(jī)器人軌跡時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，并在時(shí)間最優(yōu)的基礎(chǔ)上對(duì)沖擊進(jìn)行二次優(yōu)化[8]；張世杰運(yùn)用四級(jí)Runge-Kutta和多重打靶法求解基于能耗最優(yōu)的機(jī)器人軌跡規(guī)劃問題，提出了一種基于狀態(tài)反饋的模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9]。浦玉學(xué)研究工業(yè)機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)、能耗最優(yōu)的多目標(biāo)軌跡優(yōu)化問題，提出了一種基于改進(jìn)引力搜索算法的最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法[10]；丁小天提出了一種無序點(diǎn)排序算法，通過使用B 樣條曲線擬合復(fù)雜點(diǎn)云模型簡(jiǎn)化為的有序點(diǎn)，并利用包容盒算法完成軌跡規(guī)劃[11]；朱世強(qiáng)等人采用七次B樣條曲線構(gòu)造機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡，實(shí)現(xiàn)了對(duì)啟動(dòng)和停止時(shí)刻速度、加速度和二次加速度的控制[12]。

國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行多種方法的研究，但仍存在優(yōu)化算法容易陷入局部最小值和收斂速度較慢，能耗策略中機(jī)器人考慮動(dòng)力學(xué)影響欠充分等，為此提出了一種基于量子行為和差分進(jìn)化的改進(jìn)蜻蜓算法（Quantumbehaved and Differential Evolution Dragonfly Algorithm，QDEDA）[13]，基于QDEDA 算法對(duì)工業(yè)機(jī)器人能耗策略下綜合速度、加速度和二次加速度優(yōu)化工業(yè)機(jī)器人作業(yè)軌跡，最終獲得最優(yōu)軌跡。

1 工業(yè)機(jī)器人能耗約束模型構(gòu)建

1.1 基于五次B樣條函數(shù)的關(guān)節(jié)軌跡構(gòu)造

針對(duì)所求得工業(yè)機(jī)器人避障的n個(gè)離散路徑點(diǎn)，通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解得到一系列關(guān)鍵點(diǎn)P=(P1,P2,…,Pn)T，其中Pi=(Pi1,Pi2,Pi3,Pi4,Pi5,Pi6)，i=1,2,…,n，相應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)序列為T=(t1,t2,…,tn)。采用五次B樣條曲線來對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的關(guān)鍵點(diǎn)序列進(jìn)行連接構(gòu)造，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（1）所示：

式中，P(u)是關(guān)節(jié)位移，Nj,k(u)(j=i-k,i-k+1,…,i)為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，Cm,j為機(jī)器人第m關(guān)節(jié)第j個(gè)控制頂點(diǎn)，u∈[0,1]，Nj,k(u)表達(dá)式如式（2）所示：

控制頂點(diǎn)Cm,j可由連續(xù)條件和邊界條件求解出來，所以五次B樣條曲線可用式（3）的矩陣形式表示：

1.2 工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型分析

由拉格朗日方程推導(dǎo)出工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程：

1.3 約束條件能耗約束模型

通過對(duì)式（1）采用德布爾遞推公式后，得出五次B樣條曲線的r(r=1,2,3)階導(dǎo)數(shù)如式（10）所示：

由公式（10）的五次B 樣條曲線的r階導(dǎo)數(shù)可推導(dǎo)出機(jī)器人各關(guān)節(jié)的速度、加速度和二次加速度為：

機(jī)器人為了維持作業(yè)的平穩(wěn)性，其各關(guān)節(jié)還要滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，二次加速度的約束主要是為了降低沖擊，同時(shí)能夠防止機(jī)器人的過度損耗，延長其使用壽命。機(jī)器人各關(guān)節(jié)約束條件為：

式中，Vmax、Amax、Jmax、τmax分別為機(jī)器人各關(guān)節(jié)的速度、加速度、二次加速度和力矩的最大約束值。

由式（4）得出動(dòng)力學(xué)約束：

由機(jī)器人第i段軌跡的初始時(shí)刻ti和終止時(shí)刻ti+1求得機(jī)器人作業(yè)過程中的總運(yùn)行時(shí)間為：

通過所求得的五次B 樣條曲線的關(guān)節(jié)位移P(u)求出機(jī)器人各關(guān)節(jié)在hi時(shí)間段內(nèi)軌跡的能耗為：

以時(shí)間最優(yōu)，能量損耗最小作為優(yōu)化目標(biāo)，工業(yè)機(jī)器人能耗約束模型函數(shù)如下。

式中，ξ1、ξ2為優(yōu)化權(quán)重系數(shù)，且ξ1+ξ2=1，α是彈性系數(shù)，彈性系數(shù)用來平衡時(shí)間與能耗在數(shù)量級(jí)上的差別產(chǎn)生的影響。

2 基于改進(jìn)蜻蜓算法的軌跡優(yōu)化方法

原始蜻蜓算法（Dragonfly Algorithm，DA）是基于蜻蜓行為的一種新穎的元啟發(fā)式算法[14]。在蜻蜓種群中有分離度、對(duì)齊度、內(nèi)聚度、對(duì)食物的吸引和敵人的干擾5種行為，這些行為數(shù)學(xué)模型如下。

式中，X表示當(dāng)前蜻蜓個(gè)體的位置；Xj表示第j個(gè)相鄰蜻蜓個(gè)體的位置；N表示與第i個(gè)蜻蜓個(gè)體相鄰的個(gè)體數(shù)量；Ai表示第i個(gè)個(gè)體的對(duì)齊度；Vj表示第j個(gè)相鄰蜻蜓個(gè)體的速度；Ci表示第i個(gè)個(gè)體的內(nèi)聚度；Fi表示食物位置對(duì)第i個(gè)個(gè)體的吸引，X+表示食物源位置；Gi表示天敵位置對(duì)第i個(gè)個(gè)體的干擾，X-表示天敵位置。

蜻蜓根據(jù)式（19）更新其速度。

式中，t表示當(dāng)前迭代次數(shù)；i表示第i個(gè)蜻蜓個(gè)體；Xt表示當(dāng)前t代種群個(gè)體位置；s,a,c,f,e表示五種行為的權(quán)重，w表示慣性權(quán)重。

如果蜻蜓經(jīng)過幾次迭代后在其搜索半徑內(nèi)沒有鄰近個(gè)體，則其位置使用Le′vy飛行方程式（20）更新。

其中，t是當(dāng)前迭代的數(shù)量，d代表蜻蜓個(gè)體的尺寸。

原始DA算法和大多數(shù)群智能算法一樣，在算法尋優(yōu)過程中易陷入局部最小值，為此采用量子行為來改進(jìn)DA算法的位置更新機(jī)制來增強(qiáng)DA算法的全局探索能力；因DA算法在迭代后期種群缺乏多樣性并易發(fā)生早熟現(xiàn)象，導(dǎo)致DA 算法后期迭代速度過慢，為此將差分進(jìn)化尋優(yōu)策略引入到DA算法中，來增強(qiáng)蜻蜓個(gè)體之間的信息交流，提高DA算法的收斂速度和尋優(yōu)精度。為此本文研究團(tuán)隊(duì)提出了一種基于量子行為和差分進(jìn)化的改進(jìn)蜻蜓算法[13]，其中量子行為位置更新機(jī)制如式（21）和（22）；差分進(jìn)化尋優(yōu)策略包括變異、交叉、選擇3種操作，分別如式（23）至（25）。

QDEDA算法流程描述如下。

步驟1算法參數(shù)初始化：設(shè)置種群規(guī)模N，空間維數(shù)D，最大迭代次數(shù)MIT，慣性權(quán)重w，領(lǐng)域半徑r；隨機(jī)初始化蜻蜓位置X和步長向量ΔX。

步驟2計(jì)算所有蜻蜓個(gè)體的適應(yīng)度，適應(yīng)度函數(shù)由公式（17）給出，更新最優(yōu)個(gè)體為食物，最差個(gè)體為天敵；

步驟3更新權(quán)重五種行為因子s,a,c,f,e，用公式（18）計(jì)算S,A,C,F,E，然后用公式（19）更新速度矢量。

步驟4更新鄰域半徑后若蜻蜓個(gè)體周圍有臨近個(gè)體，調(diào)用QDEDA 算法融合的量子行為位置更新機(jī)制，使用式（22）更新個(gè)體的位置；若蜻蜓個(gè)體周圍沒有臨近個(gè)體，則調(diào)用萊維飛行式（20）更新個(gè)體位置。

步驟5調(diào)用QDEDA 算法融合的差分進(jìn)化尋優(yōu)策略，使用式（23）～（25）對(duì)蜻蜓個(gè)體進(jìn)行差分進(jìn)化運(yùn)算更新最優(yōu)解。

步驟6判斷是否滿足終止條件，若達(dá)到最大迭代次數(shù)MIT則進(jìn)入步驟7，否則返回至步驟2。

步驟7輸出最優(yōu)個(gè)體位置及最優(yōu)適應(yīng)度值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真條件

本文以ER7B-C10 型6 關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，求解工業(yè)機(jī)器人能耗約束模型函數(shù)。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束及個(gè)關(guān)節(jié)位置序列參數(shù)如表1和表2所示。

表1 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束參數(shù)Table 1 Parameters of constraints kinematics

表2 關(guān)節(jié)位置序列參數(shù)Table 2 Parameters of sequence joint positions

3.2 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的QDEDA算法的有效性，分別使用文獻(xiàn)[14]中的蜻蜓算法（DA）、文獻(xiàn)[15]中的基于指數(shù)函數(shù)步長的精英反向蜻蜓算法（EOEDA）和改進(jìn)蜻蜓算法（QDEDA）進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置包括：彈性系數(shù)α=0.003，ξ1=0.5、ξ2=0.5；種群規(guī)模N=40，最大迭代次數(shù)MIT=500 ；五種行為的權(quán)重w=0.2～0.9，s=0.1,a=0.1,c=0.7,f=1,e=1。為了降低實(shí)驗(yàn)隨機(jī)性的影響，分別在各算法上運(yùn)行10 次，并取平均值，三種算法的尋優(yōu)曲線如圖1所示，表3為三種算法的軌跡規(guī)劃結(jié)果。

圖1 尋優(yōu)曲線對(duì)比圖Fig.1 Comparison of optimization curves

表3 算法最優(yōu)軌跡規(guī)劃結(jié)果Table 3 Results of different trajectory planning algorithms

由圖1 可知，DA 在迭代到300 代左右時(shí)，算法出現(xiàn)了停滯并發(fā)生早熟現(xiàn)象，陷入了局部最小值，而QDEDA能夠搜索到更高質(zhì)量的解；由于QDEDA 融合了差分進(jìn)化尋優(yōu)策略，極大增強(qiáng)了算法中的信息交流，改善了算法后期種群多樣性缺失的問題，使得QDEDA 算法的收斂速度更快。由表3 可知，相比于DA 和EOEDA，QDEDA優(yōu)化軌跡的總能耗分別降低了8.33%和3.76%，作業(yè)時(shí)間分別減少了2.94%和1.42%，適應(yīng)度評(píng)價(jià)總體分別降低了5.94%和2.7%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了QDEDA的性能優(yōu)于DA和EOEDA。

為了驗(yàn)證工業(yè)機(jī)器人能耗約束模型有效性，使用QDEDA 優(yōu)化的最優(yōu)時(shí)間序列執(zhí)行作業(yè)任務(wù)，得到圖2至圖5各關(guān)節(jié)位置、速度、加速度和力矩的變化曲線。

由圖2 可看出，各關(guān)節(jié)的位置曲線光滑且連續(xù)，根據(jù)圖3至圖5的速度、加速度和力矩的變化曲線，參照表1可知，機(jī)器人整個(gè)作業(yè)過程中都滿足約束條件，滿足作業(yè)平穩(wěn)工作要求。為了進(jìn)一步驗(yàn)證QDEDA 算法求解能耗約束下工業(yè)機(jī)器人作業(yè)軌跡，如圖6 所示，基于Unity3D進(jìn)行虛擬現(xiàn)實(shí)可視化仿真，其中圖（a）表示求解出起點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)之間規(guī)劃軌跡，圖（b）表示求解出起點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)之間作業(yè)軌跡。

圖2 關(guān)節(jié)位置曲線Fig.2 Curve of joint positions

圖3 速度變化曲線Fig.3 Curve of speed change

圖4 加速度變化曲線Fig.4 Curve of acceleration change

圖5 關(guān)節(jié)力矩變化曲線Fig.5 Curve of joint torque change

圖6 虛擬現(xiàn)實(shí)可視化仿真Fig.6 Visual simulation of virtual reality

4 結(jié)束語

在綜合五次B 樣條曲線推導(dǎo)出機(jī)器人關(guān)節(jié)空間中關(guān)鍵點(diǎn)的作業(yè)軌跡，以及拉格朗日方程推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)方程基礎(chǔ)上，搭建了機(jī)器人軌跡能耗模型；用所設(shè)計(jì)的改進(jìn)算法求解能耗約束下工業(yè)機(jī)器人作業(yè)軌跡。仿真結(jié)果表明，相對(duì)原始蜻蜓算法和基于指數(shù)函數(shù)步長的精英反向蜻蜓算法，本文提出的改進(jìn)蜻蜓算法求解效率更高，且優(yōu)化后的機(jī)器人各關(guān)節(jié)位置、速度、加速度和力矩的變化曲線光滑、連續(xù)、平穩(wěn)。為進(jìn)一步研究基于機(jī)器視覺利用圖像信息進(jìn)行實(shí)時(shí)在線軌跡規(guī)劃來提升機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)行精度提供重要依據(jù)。