湯翼陽, 張 磊,2

(1.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080; 2.黑龍江大學(xué) 黑龍江省復(fù)雜系統(tǒng)理論與計(jì)算實(shí)驗(yàn)室, 哈爾濱 150080)

0 引 言

關(guān)于麥克斯韋方程刻畫的粗糙面電磁散射問題研究目前有很多結(jié)果。Li等使用完美匹配層(PML)方法研究了截?cái)嗟臒o界粗糙面電磁散射問題，證明了截?cái)郟ML問題存在唯一解，并給出了散射問題解與截?cái)郟ML問題解之間的顯式誤差估計(jì)[1]。Zhang等研究了點(diǎn)源入射情形下，由無界粗糙表面隔開的兩層有耗介質(zhì)中完美導(dǎo)體障礙物的電磁散射問題。給定入射點(diǎn)源以及障礙物和無界粗糙面，所謂的正問題是確定此時(shí)電磁波場的分布，相關(guān)的反問題是根據(jù)未知物體上方和粗糙表面下方的散射場和透射場觀測數(shù)據(jù)，重建障礙物和無界粗糙面。他們在論文中證明了正問題的適定性和反問題的唯一性[2]。Desanto采用了基于格林函數(shù)攝動(dòng)的方法，得到了相應(yīng)的卷積方程，并利用散射理論解釋了水平發(fā)射水平接收極化與垂直發(fā)射垂直接收極化比超過1的海尖峰現(xiàn)象[3]。Saillard等發(fā)現(xiàn)粗糙表面雷達(dá)散射截面在掠入射時(shí)變得非常小，隨后基于一種特殊的積分形式建立了一個(gè)適用于低掠入射角和散射角的方法[4]。Zhou把三維空間中散射問題轉(zhuǎn)化為研究二維表面場分布的問題并加以解決[5]。Asirim利用有限元方法分析了粗糙表面的電磁波散射問題和不同表面上的散射場分布[6]。Benali等研究了任意形狀導(dǎo)體及介質(zhì)粗糙表面的電磁散射問題，數(shù)值計(jì)算了任意形狀障礙體電磁散射的能量密度分布，得到了一類波場隨表面變化時(shí)的散射場分布規(guī)律[7]。Liu等提出了一種MPSTD算法，用于分析埋在粗糙表面下方的三維障礙物的電磁散射[8]。Haddar等在適當(dāng)?shù)腟obolev空間中，給出了無界區(qū)域中透射層狀結(jié)構(gòu)電磁散射問題的變分公式[9]。Nguyen提出了一種求解三維各向異性Maxwell方程周期散射問題的體積積分方程方法[10]。Bao等研究了無窮結(jié)構(gòu)中時(shí)諧聲波障礙散射問題，證明了問題的適定性和相應(yīng)反問題的唯一性[11]。Zhang等研究了障礙復(fù)合散射問題的數(shù)值解法，并給出了利用有限孔徑數(shù)據(jù)同時(shí)重建障礙物和無界粗糙面的直接成像方法[12]。

本文研究了電磁波入射無界粗糙表面與障礙體復(fù)合散射問題，結(jié)合完美匹配層技術(shù)，使用有限差分方法對帶有適當(dāng)邊界條件的時(shí)域Maxwell方程進(jìn)行數(shù)值求解，并進(jìn)一步分析粗糙表面和障礙體的形狀、參數(shù)對散射場的影響。

1 粗糙表面復(fù)合散射問題

1.1 散射問題數(shù)學(xué)模型

假設(shè)S是一個(gè)無界粗糙面：

S={x=(x,y)∈3:z=f(x,y)}

式中f∈C2(2)。因此，曲面S將整個(gè)空間3劃分為上半空間Ω1和下半空間Ω2。其中

Ω1={x∈3:z>f(x,y)}, Ω2={x∈3:z

假設(shè)Ωk域被均勻、各向同性介質(zhì)填充，其特征是介電常數(shù)εk>0, 磁導(dǎo)率μk>0,電導(dǎo)率σk>0，k=1,2。

用Γj={x∈3:z=hj},j=1,2分別表示粗糙面上方和粗糙面下方的平面，其中h1和h2滿足:

-∞

當(dāng)交界面可穿透時(shí)，透射邊界條件為：

當(dāng)表面不可穿透時(shí)，交界面邊界條件為：

電磁場在無窮遠(yuǎn)處滿足向外傳播輻射條件[1]。

2 時(shí)域有限差分格式

粗糙面下方電場與磁場情形可同理得到。

2.1 有限差分格式

對其進(jìn)行整理，可得：

?

同理，可得其余兩式的離散格式：

整理得：

同理可得：

使用同樣的方法，對粗糙面上方TM波在時(shí)間和空間上進(jìn)行差分離散，可得：

Ca(m)、Cb(m)、Cp(m)、Cq(m)分別為：

2.2 吸收邊界

圖1 UPML吸收邊界Fig.1 Absorbing boundary of UPML

為了計(jì)算無界區(qū)域的電磁散射問題，在區(qū)域的截?cái)噙吔缣幮枰o出合理的邊界條件，本文使用單軸完美匹配層(UPML)，如圖1所示。在單軸各向異性介質(zhì)中，電磁波仍滿足Maxwell方程，所以只要設(shè)置合適的單軸參數(shù)，UPML吸收介質(zhì)中的差分方程對整個(gè)FDTD計(jì)算區(qū)域都是適用的。二維情形中UPML的截?cái)噙吔绨?個(gè)棱邊區(qū)和4個(gè)平面區(qū)。棱邊區(qū)是兩條邊，這個(gè)交界面表示的是從一種單軸介質(zhì)到另一種單軸介質(zhì)。

式中σ1為幾何圖中粗糙面上方與UPML層相鄰的內(nèi)部介質(zhì)的電導(dǎo)率。sx=κx-σ1x/iωε0,sy=κy-σ1y/iωε0。將新的參數(shù)代入到TM波公式，可得：

為了保證算法的穩(wěn)定性，采用Courant穩(wěn)定性條件，即，對于二維情況空間和時(shí)間離散步長滿足:

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證PML邊界的有效性，同時(shí)模擬不同位置入射點(diǎn)源以及表面上方不同障礙體對散射波場分布的影響。取入射波頻率為5 GHz，交界面函數(shù)y=20Δy+sin(x-300Δx)Δx，其長度L=600Δx(Δx=Δy=λ/20)，表面上方圓形障礙物圓心位于(300Δx,60Δy)，半徑為r=10Δx，PML層厚度為8Δx，針對假設(shè)表面不可穿透情況，給出不同時(shí)刻的波場分布圖,如圖2所示。

圖2 時(shí)間步長T=200、400、600、800時(shí)電磁場分布

圖中Ex、Ey、Ez分別表示電場在空間中的分量，Hx、Hy、Hz分別表示磁場在空間中的分量?？梢钥吹?，波場在PML中沒有產(chǎn)生明顯的反射，故實(shí)驗(yàn)有效地實(shí)現(xiàn)了對波場的吸收，并模擬了電磁波粗糙面與障礙復(fù)合電磁散射。