帶有吸引Hardy項(xiàng)的臨界橢圓方程組解的漸近同步

康東升，吳慧敏, 曹玉平

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074; 2 中南民族大學(xué) 圖書(shū)館，武漢 430074)

1 相關(guān)知識(shí)

本文主要研究下列方程組：

(1)

其中Δp·:=div(|·|p-2·)是p-Laplacian算子，D1,p(RN)為關(guān)于范數(shù)的完備化空間，是臨界Sobolev指數(shù)，并且參數(shù)滿足下列條件：

g(τ):=λaτp+(μ1-μ2)τa-λb,τ≥0.

一般地，總是假設(shè)A<Λ0,Λ0是下面函數(shù)的最小正零點(diǎn)：

與Hardy不等式[2]相關(guān)的臨界橢圓方程(組)已經(jīng)被一些數(shù)學(xué)工作者研究過(guò)(參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-8]).文獻(xiàn)[9]和[10]研究了一類擬線性奇異臨界橢圓方程解的漸近性質(zhì).但是方程組(1)在λ>0的情形很少被研究(文獻(xiàn)[6]初步研究了方程組(1)在p=2時(shí)的情形).本文主要研究方程組(1)的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減解在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近性質(zhì)，采用的是常微分方程中的分析方法.本文的主要結(jié)果如下：

定理1假設(shè)條件(H) 成立且A<Λ0,k(A)<0.設(shè)(u,v)是方程組(1) 關(guān)于原點(diǎn)徑向?qū)ΨQ和關(guān)于|x|嚴(yán)格遞減的解.令r=|x|，x∈RN{0}，則存在常數(shù)C1，C2>0，使得：

2 主要結(jié)果的證明

對(duì)?x∈RN,令r=|x|，設(shè)(u(r),v(r))是方程組(1)的徑向遞減解.令L(u):=(rN-1·

|u′(r)|p-2u′(r))′，則有(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1,11])：

(2)

由此可知rN-1|u′(r)|p-2u′(r)和rN-1|v′(r)|p-2v′(r)是遞減的.因?yàn)閡′(r)，v′(r)≤0，那么在(0,+∞)上，有u′(r),v′(r)<0.令：

(3)

于是有yi(t)>0,zi(t)<0,t∈R,i=1,3.結(jié)合(2)、(3) 式可得：

(4)

正如文獻(xiàn)[6]的討論，有：

(5)

li：=sup{l|gi(l)<+∞}=inf{l|gi(l)>-∞},i=1,2.

同理可以定義：

lj:=inf{l|gj(l)<+∞}=sup{l|gj(l)>-∞},j=3,4,

則有l(wèi)1=l2,l3=l4，并且

(6)

類似于文獻(xiàn)[6]和[7]的討論，可以得到下列引理，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)省略證明過(guò)程.

引理1假設(shè)條件(H) 成立，(u,v)>0是方程組(1)的徑向遞減解.令r=|x|,x∈RN{0},則：

(2) 假設(shè)A<Λ0，則：

并且上述上確界和下確界值均無(wú)法達(dá)到.

引理2假設(shè)(H) 成立，A<Λ0，則l1=l2=b(μ*),l3=l4=a(μ*).

引理3假設(shè)(H) 成立，A<Λ0，k(A)<0,則ra(μ*)u(r)和rb(μ*)u(r)在(0,+∞)有界.

Fρ(H2)=Fρ(H2)-Fρ(a(ρ))=Q(t)(H2-a(ρ)),

(7)

(8)

定義：

(9)

由(4) 和(5) 式，得：

(10)

從而f′(A)=Ap-β-1k(A)<0.又因?yàn)閥1,y2在(-∞,0)上遞增,f在A附近遞減，g在(0,+∞)遞增，a≤α,b≤β，則可以得到：

矛盾.故假設(shè)不成立，從而可知命題A成立.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以假設(shè)T1=T0,于是有ρ(t)、a(ρ(t))在(-∞,-T0)上遞減.

命題B 積分I1，I2有相同的收斂性.

事實(shí)上，如果H2(t)在(-∞,-T0)上遞增，則：

a(ρ(t))

(11)

H2(t)-a(ρ(t))>0,
Fρ(H2)<0,?t∈(-∞,-T0),

從(6)～(9) 式可知I1,I2有相同的收斂性，從而命題B成立.

通過(guò)計(jì)算有：

(12)

令ε→0+就有(p*-p)(δ-a(μ*)-ε)>0，再由引理2可以得到：

結(jié)合(10) 和(12) 式可得積分I2收斂.由(7)～(9) 式可得積分I1也收斂，又因?yàn)椋?/p>

所以下面的極限存在：

由引理1推出：

則有：

且ra(μ*)u(r)在(0,e-T0)有界.又由引理1可知(ra(μ*)u(r))′<0，所以ra(μ*)u(r)在(0,+∞)上嚴(yán)格遞減，從而ra(μ*)u(r)在(0,+∞)有界.同理，函數(shù)rb(μ*)u(r)在(0,+∞)也有界.

定理1的證明由引理1和引理3可知函數(shù)ra(μ*)u(r)在(0,+∞)嚴(yán)格遞減且有界，函數(shù)rb(μ*)u(r)在(0,+∞)嚴(yán)格遞增且有界，因此下列極限都存在：

(13)

其他結(jié)果可以從(4) 、(13) 式和引理1直接得出.定理1證畢.