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      q分量三階混料中心多項式模型R-最優(yōu)設(shè)計

      2021-08-16 02:21:24
      關(guān)鍵詞:單純形混料三階

      鄭 婷

      (蘭州財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730030)

      0 引 言

      混料試驗設(shè)計與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科學(xué)實驗密切相關(guān),發(fā)展十分迅速[1].在q分量混料系統(tǒng)中,所度量的響應(yīng)只是出現(xiàn)在混料中各種成份比例x1,x2,…xq的函數(shù),而與混料的總量無關(guān),混料問題中的各成份比例,即每種成份在混料總量中所占的百分比是不能任意變化的,要受到約束條件

      的限制,從而構(gòu)成了混料系統(tǒng)中的q-1維正規(guī)單純形

      (1)

      在混料試驗設(shè)計中,關(guān)于D-最優(yōu)設(shè)計的研究已趨于完備.D-最優(yōu)準(zhǔn)則的幾何意義是最小化模型參數(shù)向量的置信橢球體的體積,但當(dāng)模型參數(shù)的維數(shù)較大時,該置信橢球體的體積不易計算且解釋也不夠簡潔明了,對此,Holger[2]基于Bonferroni-t區(qū)間法

      (2)

      (3)

      其中,(M-1(ξ))ii表示信息矩陣的逆矩陣的主對角線元素,R-最優(yōu)設(shè)計的統(tǒng)計意義是將信息矩陣的逆矩陣的主對角線元素的乘積最小化,從而使得其矩形置信區(qū)域的體積最小.

      Holger根據(jù)線性回歸模型參數(shù)聯(lián)合估計的Bonferroni-t區(qū)間法,構(gòu)造了矩形置信區(qū)域,于1997年提出了一類基于該置信區(qū)域的新型最優(yōu)準(zhǔn)則——R-最優(yōu)準(zhǔn)則.關(guān)于R-最優(yōu)準(zhǔn)則的研究相對于其它最優(yōu)準(zhǔn)則,如A-最優(yōu)準(zhǔn)則、D-最優(yōu)準(zhǔn)則、E-最優(yōu)準(zhǔn)則和I-最優(yōu)準(zhǔn)則來說相對較少,僅趙洪雅等[3-4]介紹了二階Scheffé正則多項式模型參數(shù)估計的R-最優(yōu),二階可加混料模型參數(shù)估計的R-最優(yōu)設(shè)計問題.李俊鵬等[5]討論了q分量二階混料K模型的R-最優(yōu)設(shè)計.胡小玲[6]研究了二階塌落模型的R-最優(yōu).而關(guān)于單純形-中心多項式的研究,關(guān)穎男等[7]討論了q-1階多重線性多項式模型參數(shù)估計的A-最優(yōu)設(shè)計,給出了一種A最優(yōu)設(shè)計的算法,佟毅等[8]討論了最優(yōu)的單純形-中心設(shè)計.基于此,本文將R-最優(yōu)準(zhǔn)則與單純形-中心多項式結(jié)合起來,主要介紹q分量三階中心多項式混料模型的R-最優(yōu)設(shè)計,并給出設(shè)計柱點以及相應(yīng)的測度.

      1 q分量三階中心多項式模型

      對于q分量混料系統(tǒng)來說,q-1維正規(guī)單純形Sq-1上的q階單純形中心多項式模型為

      (4)

      對于模型(4),試驗點安排在單純形Sq-1上所有各類中心上的設(shè)計就是單純形-中心設(shè)計,單純形-中心設(shè)計是Scheffé在1963年提出的,在q分量單純形-中心設(shè)計中,共有2q-1個不同的試驗點,分別為q個純混料、Cq2個二分量等比例混料和Cq3個三分量等比例混料,…,全部分量的等比例混料.

      特別地,當(dāng)m=3時,正規(guī)單純形Sq-1上的q分量三階中心多項式模型為

      (5)

      2 q分量三階中心多項式模型R-最優(yōu)設(shè)計

      本文考察的是在混料系統(tǒng)正規(guī)單純形Sq-1上模型(5)的R-最優(yōu)設(shè)計,通過計算給出了該模型在Sq-1內(nèi)的R-最優(yōu)設(shè)計柱點及其測度.

      引理1[9]對于混料區(qū)域Sq-1上的三階中心多項式模型(5),參數(shù)估計的最優(yōu)設(shè)計柱點只能是Sq-1上的各類中心點.

      設(shè)r1,r2,r3分別表示Sq-1上的每個頂點、兩頂點中心及三頂點中心的測度,滿足

      則模型(5)所對應(yīng)的設(shè)計矩陣X為

      記測度矩陣為

      則該模型所對應(yīng)的信息矩陣M(ξ)為

      M(ξ)=XTΛX=

      利用文獻(xiàn)[10]求3×3分塊矩陣的逆矩陣的方法,求得信息矩陣M(ξ)的逆為

      其中

      由R-最優(yōu)準(zhǔn)則(3)可得如下約束極小值問題

      利用拉格朗日乘子法,令

      H(r1,r2,r3,λ)=

      對r1,r2,r3,λ求偏導(dǎo),得

      (6)

      由于式(6)較復(fù)雜,不易求出r1、r2、r3的表達(dá)式,但當(dāng)q為具體數(shù)值時,通過將q的值帶入式(6)并結(jié)合軟件mathematica可得到具體分量的三階中心多項式模型的R-最優(yōu)配置的數(shù)值解.

      3 實 例

      下面考察當(dāng)q=3時模型(5)的R-最優(yōu)設(shè)計.可直接將q=3帶入式(6),通過軟件mathematica計算得到三分量三階中心多項式模型的R-最優(yōu)配置.也可通過該模型的信息矩陣,利用拉格朗日乘子法得到其R-最優(yōu)配置.

      設(shè)r1,r2,r3分別表示混料系統(tǒng)正規(guī)單純形S3-1上的每個頂點、兩頂點中心及三頂點中心的測度,滿足

      則該模型所對應(yīng)的設(shè)計矩陣X為

      記測度矩陣為

      則該模型所對應(yīng)的信息矩陣M(ξ)為

      M(ξ)=

      其中,J3為元素均為1的三階方陣.

      易求得信息矩陣M(ξ)的逆為

      其中

      由R-最優(yōu)準(zhǔn)則(3)可得如下約束極小值問題

      利用拉格朗日乘子法解該條件極小值問題,結(jié)合軟件mathematica可得到如下結(jié)果:

      r1→0.179 635 000 502 688 07,

      r2→0.121 685 461 418 078 89,

      r3→0.096 038 614 237 699 16.

      因此,三分量三階中心多項式模型的R-最優(yōu)配置為

      4 結(jié) 論

      由于實際中需保持預(yù)測值的精度,需要適當(dāng)提高模型的階數(shù),因此,對三階中心多項式混料模型及其R-最優(yōu)設(shè)計的研究是有必要的.本文從R-最優(yōu)設(shè)計的理論出發(fā),討論了q分量三階中心多項式模型的R-最優(yōu)設(shè)計,并結(jié)合軟件mathematica,得到了具體分量的三階中心多項式模型的R-最優(yōu)配置的數(shù)值解.為了求得模型的R-最優(yōu)設(shè)計,需要得到模型的信息矩陣,通過最小化信息矩陣的逆矩陣的主對角線元素的乘積,利用拉格朗日乘子法解條件極小值問題,得到模型的R-最優(yōu)設(shè)計.在這個過程中,由于R-最優(yōu)設(shè)計的信息矩陣計算的復(fù)雜性,對于q分量的該中心多項式模型,不易求得其R-最優(yōu)配置的數(shù)值表達(dá)式,但當(dāng)q為具體數(shù)值時,通過軟件mathematica較易得到具體分量的三階中心多項式模型的R-最優(yōu)配置.因此,隨著計算機的不斷發(fā)展,利用算法及相應(yīng)的軟件,使得對于模型的R-最優(yōu)設(shè)計問題變得相對容易,從而可以按照需求解決更為復(fù)雜的R-最優(yōu)設(shè)計問題.

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