不完整緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算方法的探討

尚濤

（中交二公局第四工程有限公司，河南 洛陽(yáng) 471013）

1 概述

在高速公路建設(shè)過(guò)程中，不完整曲線在匝道線路設(shè)計(jì)時(shí)中極為常見(jiàn)，很多測(cè)量工作者在進(jìn)行坐標(biāo)計(jì)算時(shí)，一般采用交點(diǎn)法或線元法兩種計(jì)算方式進(jìn)行電算，線元法根據(jù)曲線元素的起點(diǎn)坐標(biāo)、切線方位角、曲率半徑以及待求點(diǎn)曲率半徑為基礎(chǔ)，計(jì)算待求點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，可適用于任意曲線的計(jì)算。因?yàn)榫€元法是將每段線元分開(kāi)進(jìn)行計(jì)算，故輸入數(shù)據(jù)量較大，同時(shí)如果不完整端處于線路首段或尾段時(shí)，其曲率半徑設(shè)計(jì)不予提供，需要自己進(jìn)行計(jì)算。交點(diǎn)法通過(guò)交點(diǎn)坐標(biāo)、里程以及起終點(diǎn)里程、切線方位角（或起點(diǎn)切線方位角及轉(zhuǎn)角）、緩和曲線長(zhǎng)度以及圓曲線半徑進(jìn)行計(jì)算，僅適用于完整緩和曲線的計(jì)算。因交點(diǎn)法可以計(jì)算每個(gè)交點(diǎn)控制范圍內(nèi)的線元統(tǒng)一計(jì)算，故輸入數(shù)據(jù)量相對(duì)較少，但對(duì)曲線的完整性提出了要求。兩種算法各有利弊，在不同計(jì)算類(lèi)型中可擇優(yōu)選取。

2 緩和曲線計(jì)算原理

直線以及圓曲線計(jì)算都相對(duì)簡(jiǎn)單，這里不再贅述，重點(diǎn)討論曲線的計(jì)算過(guò)程。

考慮到線路設(shè)計(jì)時(shí)緩和曲線的產(chǎn)生原理，其曲率半徑一般從∞過(guò)渡到圓半徑R，曲線上各點(diǎn)需滿足緩和曲線參數(shù)方程：A2=RS，其中A 為緩和曲線參數(shù)，R 為待求點(diǎn)的曲率半徑，S 為待求點(diǎn)至起點(diǎn)ZH（HZ）點(diǎn)的長(zhǎng)度。當(dāng)S 趨近于0 時(shí)，R 趨近于∞，參考曲線設(shè)計(jì)原理，即當(dāng)滿足半徑從∞過(guò)渡到圓半徑時(shí)即認(rèn)為曲線完整，未從∞過(guò)渡到圓半徑時(shí)認(rèn)為不完整。

2.1 常規(guī)完整緩和曲線計(jì)算

針對(duì)完整緩和曲線的計(jì)算，相關(guān)教材中均給出了曲線計(jì)算公式，現(xiàn)以圖1 所示的曲線中進(jìn)行分析。

完整緩和曲線計(jì)算過(guò)程中，ZH（HZ）點(diǎn)至JD 的切線方位角已知，設(shè)為α1；ZH（HZ）點(diǎn)坐標(biāo)已知，設(shè)為（X0、Y0）；ZH（HZ）里程已知，設(shè)為K1，需要求取曲線上任一點(diǎn)P（KP）點(diǎn)的坐標(biāo)。

根據(jù)教材內(nèi)容并結(jié)合圖1，過(guò)P 點(diǎn)（圖1 中P 點(diǎn)=HY（YH）點(diǎn)）處切線角β0 的計(jì)算公式如式（1）所示：

式（1）中，L′為待求點(diǎn)P 至起點(diǎn)曲線起點(diǎn)ZH（HZ）長(zhǎng)度，R為圓曲線長(zhǎng)度，Ls 為曲線起點(diǎn)ZH（HZ）至終點(diǎn)HY（YH）完整長(zhǎng)度，且β0 以弧度為單位。

P 點(diǎn)在圖1 坐標(biāo)系下的坐標(biāo)計(jì)算公式如式（3）所示：

式（3）中x、y 分別代表P 點(diǎn)在圖1 中數(shù)學(xué)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值，其他參數(shù)與式（1）中相同。

由上式可以計(jì)算得出起點(diǎn)待求點(diǎn)P 至ZH（HZ）之間的弦長(zhǎng)L，如式（4）所示：

綜合式（1）、（2）可計(jì)算起點(diǎn)待求點(diǎn)P 至ZH（HZ）之間的坐標(biāo)方位角β=α1-δ0，結(jié)合式（4）可計(jì)算待求點(diǎn)P 點(diǎn)坐標(biāo)，如下式（5）所示：

2.2 不完整緩和曲線的計(jì)算

不完整緩和曲線在小半徑匝道線路設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)，其半徑從圓半徑R 大過(guò)渡到R 小，設(shè)置形式如圖2 所示。

圖2 不完整緩和曲線示意圖

針對(duì)不完整緩和曲線，假設(shè)理論上存在一個(gè)ZH（HZ）點(diǎn),如圖2 所示。假設(shè)已知條件：交點(diǎn)里程、交點(diǎn)坐標(biāo)、與前后交點(diǎn)之間的坐標(biāo)方位角、R 小值、R 大處或R 小處坐標(biāo)、R 大處或R 小處里程，以此為基礎(chǔ)求取曲線上任一點(diǎn)P（KP）點(diǎn)的坐標(biāo)。

假設(shè)假定ZH（HZ）點(diǎn)至實(shí)際緩和曲線起點(diǎn)之間緩和曲線長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，實(shí)際緩和曲線長(zhǎng)度為L(zhǎng)2、ZH（HZ）點(diǎn)至HY（YH）點(diǎn)完整緩和曲線長(zhǎng)度為L(zhǎng)S，根據(jù)緩和曲線參數(shù)方程：

依據(jù)式（6）可計(jì)算得出LS，繼而LS-L2 求得L1 值，再代入緩和曲線參數(shù)方程：

依據(jù)式（7）可計(jì)算得出R 大，依據(jù)L1 可計(jì)算R 大處里程，至此即可利用線元法套入Gauss-Legendre 公式直接計(jì)算曲線上任一待求點(diǎn)的坐標(biāo)。

結(jié)合式（1）、（2）可計(jì)算R 大處切線角βR 大以及緩和曲線偏角δR 大的值，同時(shí)可以計(jì)算R 大處bR 大的值，如式（8）所示：

結(jié)合已知條件中該交點(diǎn)與前后交點(diǎn)之間的坐標(biāo)方位角以及求得的bR 大值，可以計(jì)算R 大處至假定ZH（HZ）點(diǎn)之間的坐標(biāo)方位角，再結(jié)合求得的δR 大的值即可計(jì)算假定ZH（HZ）點(diǎn)至JD 之間的坐標(biāo)方位角。

結(jié)合式（3）、（4）可計(jì)算R 大處至假定ZH（HZ）點(diǎn)之間弦長(zhǎng)；結(jié)合式（5）即可計(jì)算得到假定ZH（HZ）點(diǎn)的坐標(biāo)值。

至此已將不完整曲線進(jìn)行了還原，求取了假定ZH（HZ）點(diǎn)處里程、坐標(biāo)、以及切線方位角等數(shù)據(jù)，此時(shí)即可利用交點(diǎn)法進(jìn)行曲線上任一待求點(diǎn)的坐標(biāo)。

3 工程實(shí)例

以作者參建的某高速公路項(xiàng)目一小半徑A 匝道設(shè)計(jì)曲線要素為例進(jìn)行理論運(yùn)用。設(shè)計(jì)曲線要素如表1 所示。

根據(jù)曲線要素表分析可知，該匝道設(shè)計(jì)線形為：JD1：起點(diǎn)（BP 點(diǎn)=HY 點(diǎn)）右轉(zhuǎn)至YH 點(diǎn)、再右轉(zhuǎn)至HZ 點(diǎn)；JD2：ZH（同上一曲線HZ 點(diǎn)）、左轉(zhuǎn)至HY 點(diǎn)、再左轉(zhuǎn)至YH 點(diǎn)；JD3:在R=240m與R=100m 兩個(gè)不同半徑的圓之間加設(shè)緩和曲線左轉(zhuǎn)過(guò)渡至HY 點(diǎn)、再左轉(zhuǎn)至YH 點(diǎn)、最后左轉(zhuǎn)至HZ 點(diǎn)；JD4：ZH（同上一曲線HZ 點(diǎn)）、右轉(zhuǎn)至HY 點(diǎn)、最后右轉(zhuǎn)至YH 點(diǎn)。其中EP 點(diǎn)既為A匝道終點(diǎn)同時(shí)也為JD4 控制范圍內(nèi)最后一段曲線YH 點(diǎn)。

根據(jù)曲線計(jì)算原理部分中的敘述：JD3 控制曲線范圍以內(nèi)在R=240m 與R=100m 兩個(gè)不同半徑的圓之間加設(shè)緩和曲線為不完整曲線。

為驗(yàn)證不完整曲線還原理論方法，以下僅利用JD3 中提供的數(shù)據(jù)計(jì)算：

將A=145、R=100 代入A2=RS 可計(jì)算完整緩和曲線長(zhǎng)度Ls=210.250m，實(shí)際緩和曲線段為122.646m，故假定ZH（HZ）點(diǎn)至實(shí)際緩和曲線起點(diǎn)處有210.250-122.646=87.604m 的理論長(zhǎng)度，代入式（7），可求得此處緩和曲線的曲率半徑R′=240.000，與設(shè)計(jì)JD2 提供的曲線半徑完全相同。至此利用線元法進(jìn)行電算時(shí)已具備完整輸入條件。

同時(shí)可結(jié)合曲線計(jì)算原理部分對(duì)不完整緩和曲線進(jìn)行還原，還原出假定ZH（HZ）點(diǎn)的里程、坐標(biāo)及切線方位角。

依據(jù)JD3、JD2 坐標(biāo)可計(jì)算JD3 至JD2 之間的坐標(biāo)方位角：247°11′04″。依據(jù)JD3 坐標(biāo)、里程及切線長(zhǎng)，可計(jì)算實(shí)際曲線起點(diǎn)處坐標(biāo)（8754.715，652.558）、里程：AK0+152.110。依據(jù)式（1）、（8）可計(jì)算b0=6°58′16.65″，故實(shí)際緩和曲線起點(diǎn)處至假定ZH 點(diǎn)之間的坐標(biāo)方位角為：254°09′20.65″、假定ZH（HZ）點(diǎn)處切線方位角為：77°38′28.98″。依據(jù)式（3）、（4）、（5）即可得到假定ZH（HZ）點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)（8730.834，568.413）。至此利用交點(diǎn)法進(jìn)行電算時(shí)已具備完整輸入條件。

為驗(yàn)證曲線還原方法的正確性，以上文中求得的假定ZH（HZ）點(diǎn)的里程、坐標(biāo)、切線方位角作為起算數(shù)據(jù)，以線元法進(jìn)行電算驗(yàn)證，以假定ZH（HZ）點(diǎn)推算BP 點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)果如表2 所示。

結(jié)合表1、表2 中BP 點(diǎn)坐標(biāo)值可以看出，ΔX=-1mm，ΔY=-6mm，誤差產(chǎn)生的原因主要由計(jì)算過(guò)程中取位精度導(dǎo)致，而非計(jì)算方法錯(cuò)誤；同時(shí)對(duì)于高速公路匝道施工測(cè)量而言，數(shù)據(jù)精度也在可控范圍以內(nèi)。

表1 A 匝道設(shè)計(jì)曲線要素表（考慮布局問(wèn)題，刪去前幾位坐標(biāo)）

表2 以假定ZH（HZ）點(diǎn)為起算數(shù)據(jù)推算BP 點(diǎn)坐標(biāo)成果統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)論

本文結(jié)合曲線計(jì)算原理，對(duì)完整緩和曲線的計(jì)算進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明，對(duì)不完整曲線的計(jì)算也提出了兩種方法：一是利用既有數(shù)據(jù)計(jì)算曲線不完整端的曲率半徑，為線元法電算提供已知數(shù)據(jù)；二是通過(guò)曲線還原，將假定ZH（HZ）點(diǎn)進(jìn)行還原，求取其理論里程、坐標(biāo)以及切線方位角，并結(jié)合作者參建的某高速公路一小半徑匝道設(shè)計(jì)曲線要素進(jìn)行了驗(yàn)證，通過(guò)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，充分說(shuō)明了計(jì)算方法的合理性，可為同類(lèi)型曲線計(jì)算提供參考。