科學(xué)玩具“記憶合金發(fā)動機(jī)”的動力學(xué)分析

李 燦 熊舉峰

(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，長沙410000)

一種名為“記憶合金發(fā)動機(jī)”的科學(xué)玩具最近火了起來，這種“發(fā)動機(jī)”能在熱水中以較快的速度轉(zhuǎn)動，其裝置結(jié)構(gòu)簡單，操作方便，且具有很好的觀賞性，通常用來做趣味性物理實(shí)驗(yàn)給觀眾帶來視覺沖擊和激發(fā)他們的無限遐想。如圖1所示。

圖1 “記憶合金發(fā)動機(jī)”展示

但是，為什么這種結(jié)構(gòu)極其簡單的裝置，可以在水中飛快轉(zhuǎn)動呢？難道真的是有什么超自然的魔力在趨使它轉(zhuǎn)動嗎？有人認(rèn)為，可能是這兩個(gè)輪子存在蹊蹺；也有人認(rèn)為可能是圈在兩個(gè)輪子上的“絲”在發(fā)揮作用。當(dāng)知道是“絲”在發(fā)生作用之后，多數(shù)人的理解是這根“絲”放在水中因?yàn)闊崦浝淇s而發(fā)生轉(zhuǎn)動，這種解釋似乎頗有道理，但是卻僅僅停留在很淺顯的表面現(xiàn)象上。為了揭開“發(fā)動機(jī)”轉(zhuǎn)動的奧秘，本文從物理學(xué)的角度來定量分析到底有哪些因素影響了“發(fā)動機(jī)”的轉(zhuǎn)動。

1 裝置結(jié)構(gòu)及演示方法

“記憶合金發(fā)動機(jī)”是由兩個(gè)大小不同的鋁制輪子以及一根由鎳鈦材料做成的記憶合金絲組成，如圖2所示是將其拆開之后的結(jié)構(gòu)，圖3是其安裝好之后的樣子。

圖2 “發(fā)動機(jī)”部件

圖3 “發(fā)動機(jī)”模型

當(dāng)把這種科學(xué)玩具向觀眾進(jìn)行演示時(shí)，只需將玩具傾斜一定角度讓小輪的部分浸入一定溫度的熱水中，就可以驚奇地看到小輪帶動大輪轉(zhuǎn)動起來；如果玩具是垂直放入熱水中，則需要用手輕輕撥動一下輪子才會使其轉(zhuǎn)動。其他情況如大輪浸入，則無論如何傾斜與撥動都無法使其轉(zhuǎn)動。

2 “發(fā)動機(jī)”的動力學(xué)分析

2.1 “發(fā)動機(jī)”的動力來源

該玩具所采用的記憶合金絲是由鎳和鈦組成的二元合金，這種合金受溫度和機(jī)械壓力的改變存在兩種不同的晶體結(jié)構(gòu)相，即奧氏體相和馬氏體相。當(dāng)高于一定溫度時(shí)(本裝置中的轉(zhuǎn)變溫度為60°C)，鎳鈦合金處于母相奧氏體結(jié)構(gòu)狀態(tài)，其立方晶體的各個(gè)陣點(diǎn)和中心各有一個(gè)原子，鈦原子任意分布在某一陣點(diǎn)上，其他陣點(diǎn)則為鎳原子，這是一種無序的晶體結(jié)構(gòu)，如圖4所示。但當(dāng)溫度逐漸冷卻至60°C以下時(shí)，晶體結(jié)構(gòu)中的鈦原子將回到立方體的中心，從而轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N有序的晶體結(jié)構(gòu)，即為馬氏體結(jié)構(gòu)，如圖5所示。這種從奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變的過程即為馬氏體相變。

圖4 奧氏體晶體結(jié)構(gòu)

圖5 馬氏體晶體結(jié)構(gòu)

在馬氏體相變及其逆相變過程中會出現(xiàn)類似彈性似的擴(kuò)大和縮小[1]，這在宏觀上就表現(xiàn)為記憶合金絲的伸長與收縮。正是合金絲的這種伸長與收縮為轉(zhuǎn)軸提供了動力矩才使得“發(fā)動機(jī)”轉(zhuǎn)動起來。下面，從物理學(xué)的角度分別對“記憶合金發(fā)動機(jī)”小輪垂直放入和傾斜放入熱水中時(shí)的動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行定量分析，并定性說明大輪放入熱水中不動的原因。

2.2 小輪垂直放入

分析“記憶合金發(fā)動機(jī)”的動力學(xué)特征時(shí)，把鎳鈦型形狀記憶合金當(dāng)做彈性材料處理，轉(zhuǎn)動過程視為理想的帶傳動來構(gòu)建物理模型。當(dāng)主動輪部分垂直置于熱水中時(shí)，沒入熱水中的記憶合金由馬氏體相轉(zhuǎn)變?yōu)閵W氏體相，從而產(chǎn)生拉力而拉伸合金絲，這個(gè)拉力將為主動輪提供動力矩，但是由于輪的左右兩邊受力F1=F2(F1為主動力，F(xiàn)2為阻力)，合外力矩為零，如圖6所示，“發(fā)動機(jī)”將保持平衡。如果記憶合金絲不處在一個(gè)“發(fā)動機(jī)”的循環(huán)中時(shí)，記憶合金絲將被拉直如圖7所示。

圖6 垂直放入熱水中的受力

圖7 合金絲不構(gòu)成一個(gè)循環(huán)時(shí)受力

當(dāng)沿順時(shí)針輕輕撥動傳動帶時(shí)，被拉伸的一部分合金絲dl將離開熱水且被拉開一些，而另一邊則會有長度同為dl的一段合金進(jìn)入熱水中，但由于傳熱過程有一定時(shí)間間隔，所以，處于奧氏體相的總長度未變，而主動輪的受力不再對稱。如圖8所示。

圖8 輕微撥動之后的受力

A1B1為初始時(shí)刻的受熱部分，A2B2為被撥動之后的受熱部分。將B1B2拿出來單獨(dú)分析。設(shè)主動輪的半徑為R，記憶合金絲的半徑為r，B1B2的長度為dl，該段弧長所對應(yīng)的角度為θ，這一段被彎曲的圓弧中存在力偶，如圖9(a)所示，現(xiàn)選取DD′和EE′為上下兩個(gè)橫斷面，CC′為中性層，當(dāng)兩個(gè)橫斷面比整個(gè)dl短很多且形變微小時(shí)，記憶合金絲的橫截面依然可以看成是平面，只是相對轉(zhuǎn)過dθ，DD′和EE′分別發(fā)生拉伸形變和壓縮形變，由于彈性體是連續(xù)的，其形變也是連續(xù)的，故中性層CC′既不拉伸也不壓縮。為計(jì)算dθ這一段的力矩，我們選取該段合金絲的一個(gè)橫截面如圖9(b)所示。

圖9 彈性體

建立yOz坐標(biāo)系，Oy軸在中性層內(nèi)，用σ表示作用于與Oy軸相距z處狹條形面積上的應(yīng)力[2]，則作用于彈性體上的力矩為

形變前后中性層的長度相同，因?yàn)閞?R,設(shè)R為中性層的曲率半徑，則形變之后，EE′層伸長量為Rzdθ，中性層CC′的長度仍為Rdθ，EE′的絕對伸長量為(R+z)dθ?Rdθ=zdθ[2]，則其拉伸應(yīng)變?yōu)?/p>

由胡克定律，相距中性層為z處的應(yīng)力σ=Eε=Ez/R(其中E為彈性材料的楊氏模量)將其代入到式(1)得

此即為記憶合金絲因受熱而發(fā)生馬氏體相變之后所產(chǎn)生的動力矩，再由力矩公式M=RF得

此F即為帶傳動中的動力，亦即緊邊拉力，則F=F1為緊邊拉力，現(xiàn)在我們將“發(fā)動機(jī)”的轉(zhuǎn)動過程視為理想的帶傳動，如圖10所示，主動輪半徑為R，主被動輪軸之間的距離為O1O2=a，緊邊和松邊拉力分別為F1和F2，主動輪沿順時(shí)針方向以ω的角速度轉(zhuǎn)動。單獨(dú)分析主動輪的受力情況如圖11所示。

圖10 “發(fā)動機(jī)”帶傳動示意圖

圖11 主動輪的受力情況

在主動輪上取一小段dl，由牛頓第二定律，該dl所受各力的平衡條件為

式中，F(xiàn)為有效拉力；dα為dl對應(yīng)的中心角，rad；dF為緊邊拉力增量，N；dFN為主動輪給傳送帶的正壓力，N；q為傳送帶單位長度的質(zhì)量，kg/m；μ為傳送帶與輪之間的摩擦因數(shù)。僅保留一階小量可得

對式(6)從0到α積分可得

此即緊邊拉力F1與松邊拉力F2之間的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)關(guān)系可以求出松邊拉力

又因?yàn)橛行Ю=F1?F2，所以可得

其中μ由材料本身決定，α=π?(dd1?dd2)/a，dd1和dd2為主動輪和從動輪的直徑，a為主動輪和從動輪軸之間的距離，因此包角α由“發(fā)動機(jī)”本身的構(gòu)造決定，于是可以令1?1/eμα=k，則有效拉力為

有效力矩則為

所以該有效力矩對主動輪轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動所做的功為

由圖8可知?θ=2θ，又由剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能定理可得

將主動輪近似視為是圓盤，其質(zhì)量為m，則轉(zhuǎn)動慣量J=mR2w2/4，由此可得主動輪轉(zhuǎn)動的角速度為

由此可見，“記憶合金發(fā)動機(jī)”轉(zhuǎn)動的角速度與記憶合金絲的截面半徑的二次方成正比，與主動輪半徑的二分之三次方成反比，與合金絲因?yàn)槭軣岫焕斓拈L度所對應(yīng)的圓心角的二分之一次方成正比。此外，由v=wR可得主動輪轉(zhuǎn)動的線速度為

進(jìn)而根據(jù)公式p=Fv可以求得主動轉(zhuǎn)動的功率為

因此“發(fā)動機(jī)”的功率p1與記憶合金半徑r6成正比，和主動輪半徑R5/2成反比。

2.3 小輪傾斜放入

將“記憶合金發(fā)動機(jī)”傾斜一定角度放入熱水中，“發(fā)動機(jī)”可以立即轉(zhuǎn)動，同樣以前面的思路進(jìn)行分析，其受力分析如圖12所示。

圖12 傾斜放入熱水時(shí)的受力

弧AB是與熱水接觸的部分,其對應(yīng)的圓心角為θ，OC為對稱軸。當(dāng)把主動輪與豎直方向成β角放入熱水中時(shí)，對稱軸的兩邊明顯不對稱，對稱軸兩邊角度的差值為θ/2+β?(θ/2?β)=2β。由式(10)可知，記憶合金為主動輪所提供的有效轉(zhuǎn)動力矩只與材料本身的楊氏模量E、半徑r以及主動輪的半徑R有關(guān)，故傾斜放入熱水中時(shí)，其有效轉(zhuǎn)動力矩與垂直放入相等，即

所以根據(jù)剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理可得

由此可以得到其角速度、線速度和功率分別為

所以，由此可以看出，傾斜放入熱水中與垂直放入熱水中相比，影響其動力參數(shù)的是其傾斜角度。

2.4 大輪放入

通過前面對小輪作為主動輪的動力學(xué)分析，已經(jīng)知道了記憶合金對“發(fā)動機(jī)”所提供的有效動力矩為M有=FR=kEπr4/(4R)，即“發(fā)動機(jī)”的有效力矩與發(fā)動機(jī)主動輪的半徑R成反比。因此當(dāng)使用大輪作為主動輪時(shí)，有效力矩將減小，摩擦力矩M摩=Rf增大，記憶合金絲所提供的動力矩將無法超過阻力矩，故而將大輪作為主動輪放入熱水中時(shí)，“發(fā)動機(jī)”總是無法轉(zhuǎn)動。

3 總結(jié)

本文定量分析了科學(xué)玩具“記憶合金發(fā)動機(jī)”的動力學(xué)參數(shù)。通過彈性體的彎曲原理構(gòu)建物理模型，計(jì)算出了“記憶合金發(fā)動機(jī)”的有效轉(zhuǎn)動力矩大小；由帶傳動原理得出了其工作時(shí)的角速度、線速度、功率與記憶合金絲的半徑r、撥動角度θ以及傾斜角度β成正相關(guān)，與主動輪半徑R成負(fù)相關(guān)。并分析了一定的有效轉(zhuǎn)動力矩是“發(fā)動機(jī)”轉(zhuǎn)動的首要條件。