蒲玉蓉 王丹丹 席曉莉 劉江凡
(1. 西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,西安 710048;2. 山東科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院,青島 266590)
近年來,拋物方程(parabolic equation,PE)方法作為一種有效的數(shù)值計(jì)算方法,被廣泛地應(yīng)用于電波傳播[1-8]和水聲傳播[9-10]等領(lǐng)域. PE是根據(jù)波的單向傳播過程,對(duì)亥姆赫茲方程作近軸近似得到的一種拋物型偏微分方程形式,因此不同的近軸近似方式就得到不同的PE形式. 盡管相較于亥姆赫茲方程,PE的求解更為方便,但由于近軸近似的引入,使得PE存在自身固有的相位誤差[10]. 該固有相位誤差會(huì)導(dǎo)致PE方法所模擬的電/聲波波數(shù)與傳播方向相關(guān),呈現(xiàn)出空間各向異性特性. 通常,電/聲波傳播仰角越小,仿真波數(shù)與真實(shí)波數(shù)越接近,即表現(xiàn)為近軸傳播特性[1]. 多年來,為了減小PE的固有相位誤差,以增加PE的計(jì)算仰角范圍,學(xué)者們提出了一系列的PE形式,從早期的標(biāo)準(zhǔn)PE(standard PE, SPE)[11]和Tappert型PE[12]到后來的Feit-Fleck型PE[13]、Claerbout型PE[14]、Greene型PE[15]和Lin-Duda型PE[16]. 1978年,F(xiàn)eit等人提出近似誤差限的思想[13],用于比較SPE和Feit-Fleck型PE的精度,并表明Feit-Fleck型PE的精度明顯優(yōu)于SPE. 1983年,Thomson等人采用該近似誤差限方法評(píng)估了水下聲波傳播環(huán)境中SPE、Tappert型PE和Feit-Fleck型PE的精度[17],進(jìn)一步驗(yàn)證了Feit-Fleck型PE的優(yōu)越性,并表明Tappert型PE并沒有明顯改善SPE的精度. 隨后,Clearbout提出了一種更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳⒎治龇椒╗18],用于研究水下聲波傳播環(huán)境中PE的精度,但是該方法并沒有引起學(xué)者們的關(guān)注. 直到2020年,我們將該色散分析方法推廣到起伏地形移位映像PE(shiftmap PE, SMPE)的相位誤差分析中[19],并得出與傳統(tǒng)認(rèn)知不同的結(jié)論,即Feit-Fleck型SMPE精度并非總是優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)SMPE.
本文將進(jìn)一步采用色散分析方法,評(píng)估現(xiàn)有的六種PE形式在對(duì)流層電波傳播、水下聲波傳播和森林電波傳播三種典型應(yīng)用場(chǎng)景中的相位誤差特性.首先,推導(dǎo)了各PE形式的色散關(guān)系;然后,基于色散關(guān)系,評(píng)估出三種典型場(chǎng)景中折射率與傳播仰角對(duì)各PE形式相位誤差特性的影響;最后,通過相位誤差分析,得出各PE形式的精度,并給出固定相位誤差限下各PE形式的適用仰角范圍.
由于水下聲波傳播和電波傳播所滿足的PE形式完全相同,為了簡(jiǎn)化,這里僅從電波滿足的二維標(biāo)量波動(dòng)方程出發(fā)推導(dǎo)幾種典型PE的形式. 在直角坐標(biāo)系中,設(shè)ψ表示矢量場(chǎng)的任一直角坐標(biāo)分量,且滿足ψ與y無關(guān),則ψ滿足二維標(biāo)量波動(dòng)方程
式中:k0為真空中的波數(shù);n為媒質(zhì)的折射率.
根據(jù)文獻(xiàn)[20],假設(shè)在電磁場(chǎng)傳播過程中,折射率n幾乎不隨x變換,則可將式(1)分解為
定義沿x軸正向傳播的波函數(shù)為[20]
將式(4)代入式(3)中,可得前向傍軸波動(dòng)方程為[1,20]
為方便數(shù)值計(jì)算,需對(duì)Q作近似處理. 對(duì)Q作不同形式的近似,使式(5)簡(jiǎn)化為不同形式的PE. 但同時(shí),近似處理的引入會(huì)導(dǎo)致PE存在自身固有的相位誤差,即表現(xiàn)出明顯的近軸傳播特性. 下面,介紹六種典型的PE形式:
1)SPE(也稱Taylor型PE)[11],其通過對(duì)Q取一階Taylor展開得到.
2)Tappert型PE[12],由Tappert提出不久后又放棄的一種PE形式.
3)Feit-Fleck型PE[13],由Feit和Fleck提出,并用于研究光纖中的電波傳播問題.
4)Padé型PE[14],最早由Claerbout在研究地球物理問題時(shí)提出.
5)Greene型PE[15],是Greene在研究水下聲波、電波傳播問題時(shí),通過對(duì)Padé型PE優(yōu)化系數(shù)而得到的.
6)Lin-Duda型PE[16],由Lin和Duda提出用于水聲學(xué)傳播問題的一種高階PE.
色散分析方法的基本思想是將任意單位平面波解代入到PE中推導(dǎo)出色散關(guān)系,然后量化評(píng)估色散關(guān)系中每個(gè)因素與傳播波數(shù)之間的關(guān)系. 忽略初始條件和邊界條件的影響,式(1)所描述的齊次波動(dòng)方程的單色平面波解可表示為
式中,θ為平面波的傳播方向角. 將式(12)代入式(4)中,可得
接著,將式(13)代入式(5)中,可得
式(14)對(duì)應(yīng)于均勻媒質(zhì)中解析方法的色散關(guān)系,其表明,對(duì)于均勻媒質(zhì),前向傍軸波動(dòng)方程不存在相位誤差. 使得PE表現(xiàn)出近軸傳播特性的原因是源于對(duì)偽微分算子Q的近似處理,下面將通過PE的色散特性來具體說明. 為此,首先推導(dǎo)PE所滿足的色散關(guān)系.
根據(jù)式(13)形式,可假設(shè)PE所描述的平面波解為
式中,knum為數(shù)值波數(shù). 將式(15)分別代入式(6)~(11),可依次得到:
1)SPE的色散關(guān)系
2)Tappert型PE的色散關(guān)系
3)Feit-Fleck型PE的色散關(guān)系
4)Padé型PE的色散關(guān)系
5)Greene型PE的色散關(guān)系
6)Lin-Duda型PE的色散關(guān)系
式(16) ~(21)表明,在各PE形式的色散關(guān)系中,數(shù)值波數(shù)knum同時(shí)與折射率n和傳播方向θ相關(guān). 這種非物理的色散現(xiàn)象必然會(huì)使得PE存在自身固有的相位誤差,從而導(dǎo)致PE方法所模擬的電磁波波數(shù)與傳播方向相關(guān),呈現(xiàn)出空間各向異性特性. 并且,通常電磁波傳播仰角越小,仿真波數(shù)與真實(shí)波數(shù)越接近,即表現(xiàn)為近軸傳播特性.
PE的色散關(guān)系給出了平面波的數(shù)值波數(shù)knum與折射率n和傳播方向θ之間的關(guān)系,由此關(guān)系出發(fā),可定量評(píng)估出這些因素對(duì)相位誤差的影響,從而分析出各PE形式的精度. 定義相位誤差函數(shù)為[19]
在常用的對(duì)流層電波傳播、水下聲波傳播和森林電波傳播場(chǎng)景中,三者折射率n的取值范圍存在較大差異,并且水下聲波傳播中的波速度c也與其他兩個(gè)電波傳播場(chǎng)景不同,因此會(huì)使得三種場(chǎng)景中PE形式的相位誤差特性存在差異. 目前在說明PE形式的精度時(shí),經(jīng)常會(huì)將多種應(yīng)用場(chǎng)景中不同PE形式的分析結(jié)果放在一起討論,這種做法缺乏合理性. 因此,下面將系統(tǒng)分析三種典型應(yīng)用場(chǎng)景中,各PE形式的相位誤差特性,以及各PE形式的計(jì)算仰角范圍.
對(duì)于對(duì)流層電波傳播環(huán)境,真空中的波速為2.997 924 58×108m/s,折射率n的上限取為1.001,其已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過地表觀測(cè)到的大氣折射率最大值,可以充分描述折射率的大小變化情況[1]. 圖1給出了折射率n=1.0、1.000 1和1.001時(shí),各PE形式的相位誤差隨傳播仰角θ的變化曲線.
圖1 對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景中不同折射率n時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角的變化曲線Fig. 1 Phase error as a function of the propagation angle for different refractive index n in tropospheric electromagnetic wave propagation scenario
由圖1可以看出,SPE(即Taylor型PE)和Padé型PE的相位誤差均隨著傳播仰角θ的增大而增大,且?guī)缀醪浑S折射率n變化;Greene型PE優(yōu)化了Padé型PE中的系數(shù),使得其相位誤差約在40°以內(nèi)的傳播仰角都保持在較低的水平,且同樣不受折射率n變化影響;Feit-Fleck型PE、Tappert型PE和Lin-Duda型PE均在n=1.0時(shí),不存在偽微分算子Q的近似,即沒有相位誤差,而隨著折射率n的增大,相位誤差逐漸增大,并隨傳播仰角θ呈現(xiàn)出明顯的空間各向異性特性. 進(jìn)一步地由圖1可得,對(duì)于均勻大氣環(huán)境,Lin-Duda型PE是六種PE形式中精度最高的,而SPE是精度最低的;Feit-Fleck型PE和Tappert型PE的精度幾乎完全相同,且高于Padé型PE,這與傳統(tǒng)的近似誤差限方法分析結(jié)論不同;通過對(duì)Padé型PE系數(shù)的優(yōu)化,Greene型PE的全局誤差明顯低于Padé型PE. 此外,需說明的是Greene型PE的提出,為研究高傳播仰角PE提供了新思路,其通過優(yōu)化現(xiàn)有PE的系數(shù),使得一定仰角范圍內(nèi)的全局相位誤差最優(yōu),并且針對(duì)某些特定的電波傳播問題,可使得目標(biāo)傳播角度范圍內(nèi)的相位誤差最小.
為了更為直觀地給出各PE的適用性,圖2給出了各PE形式的相位誤差與折射率n和傳播仰角θ關(guān)系的等值線圖. 由圖2可知,各PE形式的適用仰角范圍與其相位誤差密切相關(guān). 對(duì)于任意的折射率n,當(dāng)相位誤差限固定為0.02%時(shí),SPE、Feit-Fleck型PE、Tappert型PE、Padé型PE和Greene型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)12°、37°、37°、25°和41°左右,而Lin-Duda型PE的適用傳播仰角可大于50°.
圖2 對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差隨傳播仰角/折射率變化的等值線圖Fig. 2 The phase error as a function of the propagation angle/ terrain slope as a contour map for each PE form in tropospheric electromagnetic wave propagation scenario
對(duì)于水下聲波傳播場(chǎng)景,通常將折射率n上限取為1.1,其遠(yuǎn)大于海洋環(huán)境中觀測(cè)到的典型折射率值,水中聲速取參考值1 500 m/s[17]. 圖3給出了折射率n=1.0、1.01和1.1時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角θ的變化曲線. 由圖3可以看出,水下聲波傳播場(chǎng)景中PE的相位誤差特性比對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景中的更為復(fù)雜. 此時(shí),各PE形式的相位誤差特性同時(shí)與折射率n和傳播仰角θ密切相關(guān),其中:SPE、Tappert型PE和Greene型PE隨著折射率n的增加,其相位誤差極小值點(diǎn)由低傳播仰角向高傳播仰角偏移;Feit-Fleck型PE和Lin-Duda型PE在n=1.0時(shí)為解析形式,而在n大于1.0時(shí),其相位誤差同時(shí)隨著傳播仰角和折射率的增加而增加;Padé型PE的相位誤差特性較為特殊,隨著折射率n的增大,其相位誤差總體減小. 進(jìn)一步從圖3可得:總的來說,對(duì)于水下聲波傳播場(chǎng)景,Padé型PE和Lin-Duda型PE的適用性是最好的;盡管Greene型PE全局誤差總體較低,但是在折射率較大時(shí),其目標(biāo)仰角范圍發(fā)生了偏移,這與其優(yōu)化時(shí)所選取的折射率和仰角范圍需求相關(guān);由于SPE、Tappert型PE及Feit-Fleck型PE的精度對(duì)折射率的依賴性很強(qiáng),致使其在水下聲波傳播場(chǎng)景的適用性受限,尤其是SPE和Tappert型PE,當(dāng)折射率增大時(shí),整體相位誤差明顯變大,且目標(biāo)傳播仰角范圍向較高的傳播仰角偏移.
圖3 水下聲波傳播場(chǎng)景中不同折射率n時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角的變化曲線Fig. 3 Phase error as a function of the propagation angle for different refractive index n in underwater acoustic propagation scenario
同樣地,為了更直觀描述各PE的相位誤差與傳播仰角θ和折射率n的關(guān)系,圖4給出了三者之間關(guān)系的等值線圖. 由圖4可見,各PE形式的相位誤差隨傳播仰角和折射率呈現(xiàn)出更為復(fù)雜的空間各向異性特性. 對(duì)于任意的折射率n,若相位誤差限同樣固定為0.02%時(shí),由于目標(biāo)傳播仰角范圍的偏移,SPE、Tappert型PE以 及Greene型PE均 不 適 用;Feit-Fleck型PE、Padé型PE以及Lin-Duda型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)3°、25°和23°左右.
圖4 水下聲波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差隨傳播仰角/折射率變化的等值線圖Fig. 4 The phase error as a function of the propagation angle/ terrain slope as a contour map for each PE form in underwater acoustic propagation scenario
需要指出的是,目前各PE形式的精度比較結(jié)論多來自于水聲學(xué)研究,且假定近似誤差一定是隨著折射率n的增大而增大,因此,一般取在n=1.1時(shí)分析各PE形式的精度,并得出:Padé型PE精度最高[1],F(xiàn)eit-Fleck型PE精度高于SPE和Tappert型PE,且Tappert型PE沒有明顯改善SPE的精度[17]. 然而,由于PE的相位誤差隨著折射率n的增加并非單調(diào)遞增變化,因此該分析結(jié)論存在自身局限性.
相較于對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景和水下聲波傳播場(chǎng)景,森林電波傳播場(chǎng)景往往更為復(fù)雜. 通常,PE方法在森林環(huán)境中應(yīng)用時(shí),是將森林植被對(duì)電波傳播的影響等效到折射率n中考慮的,且不同于其他兩種典型應(yīng)用場(chǎng)景,森林場(chǎng)景中等效折射率n2變化范圍往往更大,從1.01+0.01i到1.5+0.6i[8],且通常為復(fù)數(shù)形式. 圖5給出了等效折射率n2=1.01+0.01i、1.25+0.3i和1.5+0.6i時(shí),各PE形式的相位誤差隨傳播仰角θ的變化曲線.
圖5 森林電波傳播場(chǎng)景中不同等效折射率n2時(shí)各PE形式的相位誤差隨傳播仰角的變化曲線Fig. 5 Phase error as a function of the propagation angle for different effective refractive index n2 in forest electromagnetic wave propagation scenario
由圖5可以看出:Feit-Fleck型PE和Lin-Duda型PE的相位誤差同時(shí)隨著傳播仰角和折射率的增加而增加,即對(duì)于任意的等效折射率n,這兩種PE形式適用于低仰角問題;SPE、Tappert型PE、Padé型PE和Greene型PE均隨著折射率n的增加,出現(xiàn)相位誤差極小值點(diǎn)向高傳播仰角偏移現(xiàn)象,即適用目標(biāo)傳播仰角偏移問題. 進(jìn)一步由圖5可得,對(duì)于森林電波傳播環(huán)境,Lin-Duda型PE的精度相對(duì)來說是最高的,但該P(yáng)E形式也僅僅對(duì)于等效折射率較小的情況有效,而在等效折射率較大的情況下,適用性明顯受限.
同樣地,為了更為直觀地分析各PE的適用性,圖6給出了各PE形式的相位誤差與折射率n和傳播仰角θ關(guān)系的等值線圖. 這里對(duì)等效折射率n2從1.01+0.01i到1.5+0.6i均勻采用,由于復(fù)數(shù)n2是一個(gè)二維概念,無法在單一坐標(biāo)軸呈現(xiàn)復(fù)折射率,因此圖6中采用折射率n的實(shí)部來表示復(fù)折射率n. 由圖6可見,與前兩種電波傳播場(chǎng)景相比,森林電波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差明顯更大,適用角度范圍明顯減小. 這是由于森林場(chǎng)景中等效折射率n的取值通常比其他兩種場(chǎng)景更大,且存在虛部導(dǎo)致的. 對(duì)于任意的等效折射率n,若相位誤差限同樣固定為0.02%時(shí),SPE、Tappert型PE以及Padé型PE及Greene型PE均不適用;Feit-Fleck型PE和Lin-Duda型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)2°和4°左右.
圖6 森林電波傳播場(chǎng)景中各PE形式的相位誤差隨傳播仰角/折射率變化的等值線圖Fig. 6 The phase error as a function of the propagation angle/ terrain slope as a contour map for each PE form in forest electromagnetic wave propagation scenario
本文采用色散分析方法,通過研究現(xiàn)有六種PE的相位誤差特性,分析出對(duì)流層電波傳播、水下聲波傳播和森林電波傳播三種典型場(chǎng)景中各PE形式的精度. 研究表明:對(duì)于對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景,Lin-Duda型PE的精度最高,而SPE的精度最低;Feit-Fleck型PE和Tappert型PE的精度幾乎完全相同,且高于Padé型PE;系數(shù)優(yōu)化的Greene型PE全局誤差明顯低于Padé型PE. 對(duì)于水下聲波傳播場(chǎng)景,Padé型PE和Lin-Duda型PE最 為 準(zhǔn) 確;Greene型PE全局誤差較低,但在較大折射率時(shí),存在目標(biāo)傳播仰角偏移現(xiàn)象;Feit-Fleck型PE、Tappert型PE和SPE型PE在此場(chǎng)景的精度都很有限. 對(duì)于森林電波傳播場(chǎng)景,Lin-Duda型PE的精度依舊是最高的,但也僅對(duì)折射率較小的情況有效.
進(jìn)一步地,通過固定相位誤差限給出了三種場(chǎng)景中各PE形式的適用仰角范圍. 對(duì)于對(duì)流層電波傳播場(chǎng)景,SPE、Feit-Fleck型PE、Tappert型PE、Padé型PE和Greene型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)12°、37°、37°、25°和41°左右,而Lin-Duda型PE的適用傳播仰角可大于50°. 對(duì)于水下聲波應(yīng)用場(chǎng)景,F(xiàn)eit-Fleck型PE、Padé型PE及Lin-Duda型PE的適用傳播仰角分別可達(dá)3°、25°和23°左右,而SPE型PE、Tappert型PE以及Greene型PE均不太適用. 對(duì)于森林電波應(yīng)用場(chǎng)景,各PE形式的適用性均受限,最高精度的Lin-Duda型PE的適用傳播仰角僅為4°左右. 本文的研究可為選取適合目標(biāo)場(chǎng)景中的最優(yōu)PE形式提供理論依據(jù).