張昕 于廣濱 亓士遠(yuǎn) 李建偉

摘 要：為研究擺線(xiàn)針輪齒形參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響，基于Hertz理論構(gòu)建了擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)副的嚙合剛度模型，對(duì)此模型進(jìn)行理論計(jì)算與嚙合仿真分析，從而得到嚙合剛度隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，明確此方法的正確性。并結(jié)合提出的可行方法以及改變擺線(xiàn)針輪的重要參數(shù)，利用Workbench瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析模塊仿真后導(dǎo)入到Matlab軟件中，得到針齒半徑等重要參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律。結(jié)果表明：針齒半徑對(duì)嚙合剛度影響較小，而針齒與擺線(xiàn)輪的嚙合偏心距對(duì)擺線(xiàn)針輪嚙合剛度影響較大，在實(shí)際工程應(yīng)用中需著重控制。

關(guān)鍵詞：RV減速器;Hertz理論;擺線(xiàn)針輪;偏心距;嚙合剛度

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.006

中圖分類(lèi)號(hào)： TH132

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2021）03-0038-07

Influence of Tooth Profile of Cycloidal Pin of RV Reducer

on Meshing Stiffness

ZHANG Xin， YU Guang-bin， QI Shi-yuan， LI Jian-wei

（School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：In order to study the influence of the tooth shape parameters of the cycloidal pin on the meshing stiffness， the meshing stiffness model of the cycloidal pinion drive pair is constructed based on Hertz theory. The theoretical calculation and meshing simulation analysis of the model are carried out to obtain the meshing stiffness versus time curve. To clarify the correctness of this method， combined with the proposed feasible method and changing the important parameters of the cycloidal pin wheel， the Workbench transient dynamics module is simulated and imported into Matlab software to obtain the influence of important parameters such as the needle tooth radius on the meshing stiffness. The results show that the pin tooth radius has little effect on the meshing stiffness， and the meshing eccentricity of the pin gear and the cycloidal wheel has a great influence on the meshing pin gear stiffness， which needs to be controlled in practical engineering applications.

Keywords：RV reducer;Hertz theory;cycloidal pin;eccentric distance;meshing stiffness

0 引 言

如今“工業(yè)4.0”概念的提出，就意味著人類(lèi)社會(huì)正在向智能化邁進(jìn)，而用機(jī)器人工作代替人工成為智能化社會(huì)的代表，所以大力發(fā)展機(jī)器人的研發(fā)與生產(chǎn)就變得尤為重要。在機(jī)器人所有的部件中，RV（Rotary Vector）減速器為其核心部件。此種減速器采用漸開(kāi)線(xiàn)齒輪傳動(dòng)與擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)相結(jié)合的2K—V型傳動(dòng)形式，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。此減速器的主要特點(diǎn)為體積小、結(jié)構(gòu)緊湊且傳動(dòng)較大，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于智能機(jī)器人、航空航天領(lǐng)域中，用以實(shí)現(xiàn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確傳遞，完成精密復(fù)雜的工作。

RV減速器具有兩級(jí)減速結(jié)構(gòu)，第一級(jí)是太陽(yáng)輪和行星輪之間的變速，稱(chēng)作正齒輪變速。第二級(jí)是擺線(xiàn)針輪擺動(dòng)產(chǎn)生的緩慢旋轉(zhuǎn)變速，稱(chēng)為差動(dòng)齒輪

變速。其中，起到主要作用，同時(shí)也較為復(fù)雜的部分是第二級(jí)擺線(xiàn)輪減速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)[1-2]，此部分對(duì)整體傳動(dòng)精度影響較大，所以對(duì)此傳動(dòng)部分進(jìn)行深入研究是非常有必要的。擺線(xiàn)針輪的嚙合傳動(dòng)作為一種多對(duì)齒傳動(dòng)，其受力分析異常復(fù)雜，其屬于靜不定問(wèn)題[3-5]。因此，如何精確得到輪齒對(duì)的嚙合剛度、進(jìn)而確定各嚙合輪齒間的載荷分配問(wèn)題成為了研究的關(guān)鍵，更是進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)。

有關(guān)于齒輪嚙合剛度計(jì)算方法，已發(fā)表文獻(xiàn)中所涉及到的方法有材料力學(xué)法、石川法、有限元法以及彈性力學(xué)法和試驗(yàn)法[6-7]，本文專(zhuān)門(mén)針對(duì)高重合度擺線(xiàn)針輪其齒形特點(diǎn)與傳動(dòng)特性，考慮到真實(shí)過(guò)渡曲線(xiàn)以及齒形曲線(xiàn)，采用一種Hertz公式法求得擺線(xiàn)齒輪時(shí)變嚙合剛度。

本文首先利用三維建模軟件建立擺線(xiàn)針輪實(shí)體模型，轉(zhuǎn)換為通用格式后導(dǎo)入ANSYS中進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真分析，驗(yàn)證了與嚙合齒數(shù)相關(guān)公式及模型的正確性，而后著重研究了擺線(xiàn)針輪基本齒形參數(shù)改變對(duì)嚙合力和嚙合剛度的影響，繪制了不同參數(shù)擺線(xiàn)輪的嚙合力及嚙合剛度曲線(xiàn)，得到了基本齒形參數(shù)與嚙合力以及嚙合剛度的關(guān)系。

1 擺線(xiàn)輪齒廓方程與受力分析

1.1 擺線(xiàn)輪輪廓生成

與標(biāo)準(zhǔn)針齒嚙合，并且和針齒共軛且無(wú)嚙合間隙的擺線(xiàn)輪齒形，稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)擺線(xiàn)輪齒形。選用擺線(xiàn)輪的幾何中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，通過(guò)原點(diǎn)并與擺線(xiàn)輪齒槽對(duì)稱(chēng)軸重合的軸線(xiàn)作為x軸，如圖2所示，得到擺線(xiàn)輪的標(biāo)準(zhǔn)齒形方程式為：

xe=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]cos（1-iH）φ-

[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]cosiHφ

ye=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]sin（1-iH）φ+

[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]siniHφ

式中：

rp為針齒分布圓半徑，mm;

rrp為針齒半徑，mm;

iH為擺線(xiàn)輪和針齒相對(duì)傳動(dòng)比，

iH=zpzc;

zp為針齒數(shù)，個(gè);

zc為擺線(xiàn)輪齒數(shù)，個(gè);

φ為轉(zhuǎn)臂相對(duì)某一針齒中心矢徑的轉(zhuǎn)角，即嚙合相位角;

e為偏心距;mm;

K1為短幅系數(shù)，K1=ezprp。

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)擺線(xiàn)輪與針齒嚙合傳動(dòng)時(shí)，為補(bǔ)償制造誤差，以及保持合理的側(cè)隙便于拆裝與保證潤(rùn)滑，擺線(xiàn)輪與針輪齒之間必須要留有嚙合間隙。因此，實(shí)際應(yīng)用的擺線(xiàn)輪不能采用標(biāo)準(zhǔn)齒形，必須進(jìn)行修形，修形后的實(shí)際擺線(xiàn)輪比理論輪廓稍小一些。擺線(xiàn)輪常見(jiàn)的修形方法有等距修形法、移距修形法兩種或其組合[8]。

以上提到的兩種修形方法只需用rrp+Δrrp，rp-Δrp，代替標(biāo)準(zhǔn)齒廓方程中的rrp、rp，即可得到修形之后的擺線(xiàn)輪齒廓方程[9]：

xe=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]

cos[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-

zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]cos（iHφ+δ）

ye=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]

sin[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-

zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]sin（iHφ+δ）

式中K′1為有移距修形時(shí)齒形短幅系數(shù)。

K′1=ezprp+Δrp

其余符號(hào)含義與單位同上，但應(yīng)當(dāng)注意的是Δrp與Δrrp的值有正負(fù)之分，當(dāng)以負(fù)值代入時(shí)，則為負(fù)移矩。修形之后的擺線(xiàn)輪三維輪廓曲面如圖3所示：

1.2 擺線(xiàn)針輪嚙合載荷分配模型

RV減速器中擺線(xiàn)針輪的運(yùn)動(dòng)狀況較為復(fù)雜：擺線(xiàn)輪安裝在曲柄軸上，當(dāng)曲柄軸輸入扭矩時(shí)，曲柄軸帶動(dòng)兩個(gè)擺線(xiàn)輪做圍繞針齒中心的運(yùn)動(dòng)，即為公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。針齒與針齒殼固定連接，擺線(xiàn)輪與針齒相互接觸從而發(fā)生自轉(zhuǎn)，擺線(xiàn)輪既有自轉(zhuǎn)又隨曲柄軸做公轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)角速度即為此RV減速器輸出角速度。針齒外殼由若干個(gè)針齒均勻分布在半徑為rp的圓周上，擺線(xiàn)輪齒的齒數(shù)比針齒數(shù)少一個(gè)，所以擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)為少齒差傳動(dòng)的一種形式[10]，由此可建立如圖3所示的運(yùn)動(dòng)受力分析模型[11-13]：

由圖可知，擺線(xiàn)輪公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中心為Op，自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中心為Of，e為偏心距并且針齒受力為Fi，文[2]可知第i個(gè)針齒接觸作用力臂長(zhǎng)為

li=OpP·sinφi1+K21-2K1cosφi（1）

2 擺線(xiàn)針輪嚙合接觸模型

2.1 HERTZ法求嚙合剛度原理

理論上，擺線(xiàn)針輪嚙合時(shí)是通過(guò)線(xiàn)接觸進(jìn)行傳遞的[14]?？紤]到彈性變形之后，其接觸位置的彈性變形實(shí)際是一個(gè)很小的面區(qū)域。對(duì)于擺線(xiàn)輪與針齒嚙合，可以假設(shè)接觸位置的兩彈性體變形為直線(xiàn)，如圖5所示，因此可以按Hertz公式進(jìn)行計(jì)算。

abi=rzS3/2Ti+ρr，S=1+K′1-2K1cosφi，

Ti=Ki（1+zp）cosφi-（1-K21zp）

其中：ai為綜合曲率半徑;L為接觸變形區(qū)域長(zhǎng)度的一半;F為接觸點(diǎn)所受的力;abi為擺線(xiàn)輪第i個(gè)接觸點(diǎn)處的當(dāng)量曲率半徑;φi為嚙合相位角;rz為針齒中心圓半徑;zz為針齒數(shù);ρz為針齒曲率半徑。由于擺線(xiàn)輪和針輪所用材料一致，故?。?/p>

μ1=μ2=μ=1=0.3

E1=E2=E=206Gpa

式中：μ1，μ2為擺線(xiàn)輪和針輪材料的泊松比;

E1，E2為擺線(xiàn)輪和針輪材料的彈性模量。

化簡(jiǎn)式（1）得：

L=8Fiai（1-μ2）πbE（2）

其中，F(xiàn)i為第i個(gè)接觸點(diǎn)所受的力。

由圖4可知接觸變形后，由勾股定理得針齒滿(mǎn)足：

（rz-tz）2+L2=r2z（3）

式中，tz為針齒的接觸變形量。

化簡(jiǎn)得：

tz=rz-r2z-L2=L2rz+r2z-L2（4）

利用泰勒公式，又因L的大小遠(yuǎn)小于tz，即忽略高階無(wú)窮小[15-16]，并把式（2）帶入，可得第i個(gè)針齒的徑向變形量tzi為：

tzi=4Fiai（1-μ2）πbErz（5）

由此得單個(gè)針齒的剛度

k1=Fitz=πbErz4ai（1-μ2）（6）

同理，第i個(gè)擺線(xiàn)輪齒的徑向變形量tbi為：

tbi=4Fiai（1-μ2）πbEabi（7）

則擺線(xiàn)輪齒的接觸剛度為：

k2=πbEabi4ai（1-μ2）（8）

當(dāng)擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)單對(duì)齒嚙合時(shí)，綜合剛度k為擺線(xiàn)針輪齒法向接觸剛度與針齒法向接觸剛度的串聯(lián)形式，模型如圖6所示，

所以單齒對(duì)嚙合剛度為：

k=k1k2k1+k2（9）

把k1、k2代入并化簡(jiǎn)：

k=πbERzS3/24（1-μ2）（RzS3/2+2rzT）（10）

2.2 擺線(xiàn)針輪嚙合剛度數(shù)學(xué)模型

擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的特征之一就是重合度比較大，理論上可以達(dá)到針齒數(shù)的一半[17]。并且，由以上對(duì)擺線(xiàn)針輪的受力分析可知，整輪的嚙合剛度與同時(shí)參與嚙合的齒數(shù)有關(guān)，并且為角度的函數(shù)關(guān)系，所以要想得到擺線(xiàn)針輪的綜合剛度，不能簡(jiǎn)單進(jìn)行每個(gè)齒剛度的疊加。

此外，在傳動(dòng)過(guò)程中考慮到各種誤差以及潤(rùn)滑需要，都需要對(duì)擺線(xiàn)針輪進(jìn)行等距修形或移距修形。因此，這也會(huì)引起初始嚙合側(cè)隙，使得同時(shí)嚙合的齒對(duì)數(shù)減少，達(dá)不到理論同時(shí)嚙合齒數(shù)[18]。初始的嚙合側(cè)隙為：

Δ（φ）=Δrrp1-sinφi1+K2-2Kcosφi-

Δrp（1-Kcosφi-1-K2sinφi）1+K2-2Kcosφi（11）

擺線(xiàn)針輪傳遞某一轉(zhuǎn)矩時(shí)，由于擺線(xiàn)輪與針齒發(fā)生接觸變形，當(dāng)擺線(xiàn)輪轉(zhuǎn)過(guò)β角，在嚙合點(diǎn)法線(xiàn)方向的位移為

δ=liβ（12）

當(dāng)擺線(xiàn)針輪被轉(zhuǎn)矩作用時(shí)，輪齒的變形曲線(xiàn)與初始間隙分布曲線(xiàn)交點(diǎn)之間的區(qū)間[φa，φb]就為實(shí)際參與嚙合的輪齒范圍，即同時(shí)嚙合的齒數(shù)為

z=lnt（Δφ/2πzp）（13）

式中

Δφ=φb-φa

與此同時(shí)還要考慮到齒輪加工誤差和裝配誤差等各種因素帶來(lái)的影響，所以在嚙合剛度公式中加入系數(shù)λ（λ一般取0.7），因此擺線(xiàn)針輪整輪等效扭轉(zhuǎn)剛度為

K=λ∑bi=akl2i（14）

式中，li為擺線(xiàn)輪第i點(diǎn)的力臂。

3 擺線(xiàn)針輪時(shí)變嚙合剛度有限元分析

3.1 擺線(xiàn)針輪三維模型建立

因擺線(xiàn)輪齒面是高階曲面，所以建立模型時(shí)必須應(yīng)用數(shù)值計(jì)算得到擺線(xiàn)輪輪廓曲線(xiàn)[19-20]。本文應(yīng)用SolidWorks三維建模軟件，根據(jù)擺線(xiàn)輪齒廓的標(biāo)準(zhǔn)齒形方程構(gòu)建參數(shù)化實(shí)體模型，其中零件包括擺線(xiàn)輪2片、針齒40個(gè)、針齒殼1個(gè)、偏心軸2個(gè)。具體參數(shù)：針齒數(shù)40mm;針齒半徑3mm;擺線(xiàn)輪齒數(shù)39個(gè);偏心距2.2mm;擺線(xiàn)輪齒寬16mm;短幅系數(shù)0.675。

此外，為了便于在后續(xù)ANSYS運(yùn)算中簡(jiǎn)便提高分析效率，使網(wǎng)格質(zhì)量更高，所以本文在建模時(shí)忽略一些非重要因素，如忽略軸承的影響，以及刪除模型中較小的圓角和倒角，三維實(shí)體模型如圖7所示。

3.2 有限元結(jié)果與分析

添加齒輪的材料，具體參數(shù)如表1所示。

將三維實(shí)體模型導(dǎo)入Workbench中，應(yīng)用Edge Sizing工具劃分網(wǎng)格，Method選擇Hex Dominant六面體優(yōu)先。由于直接在擺線(xiàn)輪齒面上生成的網(wǎng)格質(zhì)量不高，不利于結(jié)果分析，所以采用一種“點(diǎn)-線(xiàn)-面-體”的方法，建立輔助分割面，將實(shí)體劃分為六面體，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化六面體單元?jiǎng)澐?。為了使結(jié)果盡可能的準(zhǔn)確，在齒寬和齒厚方向上劃分較密集的網(wǎng)格，如圖8所示。

因此最后得到的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為765154，單元數(shù)為165658。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將輸入軸定義為剛體，在進(jìn)行分析時(shí)不考慮其變形情況。載荷為額定輸出載荷 3N·m，加載位置為針齒殼上，加載方式為將

轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)化為圓周方向的力，并均攤到針齒殼的所有節(jié)點(diǎn)上。

除此此外，還要對(duì)擺線(xiàn)輪和針齒殼進(jìn)行約束。把針齒殼和針齒看做一個(gè)整體，做軸向約束和徑向約束，擺線(xiàn)輪只做軸向約束，求解后的應(yīng)力云圖如圖9所示。

待仿真完成后，將Workbench仿真數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB中，得到嚙合位置與擺線(xiàn)針輪齒面受力及嚙合剛度關(guān)系曲線(xiàn)，如圖10、11所示。

由曲線(xiàn)趨勢(shì)可以看出，仿真所得的擺線(xiàn)輪嚙合剛度與在Matlab中編寫(xiě)計(jì)算程序得到的理論分析法嚙合剛度基本趨勢(shì)一致，偏差較小，所以可以證明我們所建立的擺線(xiàn)針輪模型準(zhǔn)確，仿真結(jié)果可信。

所以，為了更好的研究分析擺線(xiàn)針輪嚙合剛度問(wèn)題，確定其剛度與自身尺寸以及外部環(huán)境之間的關(guān)系，基于之前的建模理論，我們繼續(xù)進(jìn)行進(jìn)一步研究。因?yàn)獒橗X分布圓半徑對(duì)嚙合剛度的影響較小，所以，我們只對(duì)偏心距與針齒半徑進(jìn)行分析，其應(yīng)力云圖及參數(shù)變化與剛度關(guān)系如圖所示。

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)RV減速器第二級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的一系列分析，我們可以得到如下結(jié)論：

在實(shí)際嚙合過(guò)程中，擺線(xiàn)針輪機(jī)構(gòu)一定要進(jìn)行等距修形和移距修形，是擺線(xiàn)輪與針輪之間存在一定的間隙，并不是無(wú)縫嚙合，所以當(dāng)計(jì)算嚙合剛度是要充分考慮初始間隙的影響。對(duì)擺線(xiàn)針輪的受力情況進(jìn)行分析，并結(jié)合赫茲理論計(jì)算出所創(chuàng)建模型的嚙合剛度，再利用有限元仿真軟件求出其嚙合剛度與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了其理論與仿真方法的正確性。改變對(duì)擺線(xiàn)針輪嚙合剛度影響較大因素的參數(shù)值，進(jìn)行多次仿真分析并繪制剛度隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)圖?；跀[線(xiàn)針輪基本齒形參數(shù)及嚙合力與嚙合剛度的關(guān)系，并結(jié)合圖14與圖15，不難得知偏心距對(duì)嚙合剛度影響較大，即合理控制偏心距，對(duì)擺線(xiàn)針輪嚙合傳動(dòng)以及RV減速器整機(jī)的扭轉(zhuǎn)剛度起到關(guān)鍵作用。

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（編輯：王 萍）