基于時空轉(zhuǎn)換原理的光柵莫爾信號數(shù)字細分

鄭 罡，朱維斌，黃 垚，薛 梓

(1．中國計量大學(xué)計量測試工程學(xué)院，浙江杭州 310018；2.浙江大學(xué)現(xiàn)代光學(xué)儀器國家重點實驗室，浙江杭州 310027；3.中國計量科學(xué)研究院，北京 100029)

0 引言

光柵作為一種常用的線角位移測量傳感器件，廣泛應(yīng)用于精密工程、航空航天、光學(xué)、位移測量等領(lǐng)域，同時在計量標準裝置研究領(lǐng)域也有著重要的地位。但受限于光柵刻線制作技術(shù)的限制，光柵本身分辨率有限，隨著分辨率要求及動態(tài)測量性能的需求提高，傳統(tǒng)光柵結(jié)構(gòu)很難滿足測量精度和速度的需求[1-2]。

在不改變光柵空間刻劃線的前提下，想要獲得更高的分辨率，需要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上對光柵莫爾信號進行區(qū)間分割來實現(xiàn)莫爾信號的細分[3]。光柵莫爾信號的電子學(xué)細分方法具有細分倍數(shù)大、易于實現(xiàn)數(shù)字集成和動態(tài)測量的優(yōu)點，得到了廣泛的應(yīng)用。近年來，隨著單片機、DSP和FPGA在光柵處理上的應(yīng)用，出現(xiàn)了許多高速快捷的電子細分方法，包括幅值細分、鎖相倍頻等細分方法都已實現(xiàn)了工程化，但這些方法大多數(shù)都是從空間的角度去測莫爾條紋的位移量[4]?；谀獱栃盘柨臻g信息的細分方法比較容易受到原始信號中直流量偏差、幅度偏差、正交偏差以及高次諧波和高斯白噪聲的干擾而產(chǎn)生細分誤差，因此對光柵莫爾信號質(zhì)量要求較高。國內(nèi)一些學(xué)者提出了基于時空轉(zhuǎn)換原理的測量方法，借助一個勻速運動載體，把空間位置差(位移)表征為時間差再進行測量[5-7]。

本文基于時空轉(zhuǎn)換原理開展莫爾信號數(shù)字細分方法研究，在FPGA平臺上利用載波調(diào)制的方法將與位移相關(guān)的莫爾信號相位信息加載到時間信號上，通過時間信號頻率的變化計算其周期變化值，從而得到包含位移信息的細分數(shù)，實現(xiàn)光柵莫爾信號的時空轉(zhuǎn)換細分。

1 光柵系統(tǒng)測量原理

本文針對反射式圓光柵進行討論，其光柵測量系統(tǒng)主要由主光柵、指示光柵、光源和光電元件組成，在測量過程中，主光柵與指示光柵相對移動形成莫爾條紋，由光電元件轉(zhuǎn)換輸出兩路相差90°的正余弦電信號。測量系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 光柵測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

兩光柵相對運動產(chǎn)生的莫爾條紋被光電接收器接收后輸出兩路差分信號，稱為莫爾信號。光柵每移動一個柵距W，產(chǎn)生一個周期的莫爾信號，因此可以通過對莫爾信號周期數(shù)的計量來判斷光柵的實際位移。理想的光柵傳感器輸出的兩路莫爾信號可以看作是正交的正、余弦信號：

(1)

式中：θ為光柵莫爾信號的相位值，θ=2πx/W；W為柵距；x為光柵位移；U為莫爾信號的電壓幅值。

因此在一個柵距的范圍內(nèi)，莫爾信號相位θ是光柵位移的映射，可以根據(jù)莫爾信號的相位對輸出進行數(shù)字細分，來提高光柵測量系統(tǒng)測量的分辨率，保證測量精度。

2 時空轉(zhuǎn)換原理

在經(jīng)典運動學(xué)中，物體空間位移Δx為其瞬時速度v(t)在時間上的積分：

(2)

在大多數(shù)的應(yīng)用中無法獲得所有時刻的瞬時速度，因此瞬時速度對于時間的積分并不能有效獲得。借助時空域轉(zhuǎn)換原理，將光柵莫爾信號位移量的測量轉(zhuǎn)換為對時間的有效測量，可獲得非恒定速度運動下光柵莫爾信號的位移量。

建立如圖2所示的一對坐標系，靜止坐標系s和運動坐標系s′，s相對s′以速度v0勻速移動，兩者在初始狀態(tài)下重合。假設(shè)質(zhì)點P從運動坐標系s′ 的橫坐標上的原點開始運動，其相對s運動的瞬時速度為v。如圖2(a)所示，無論質(zhì)點運動速度與方向如何，其經(jīng)過靜止坐標系上某一固定考察點的時間為T，此時質(zhì)點相對于s′原點O′的位移為Δx′。

圖2 雙坐標系位移圖

由于s′相對于靜止坐標系s在做勻速運動，運動質(zhì)點相對于s原點O的位移：

Δx=Δx′+v0T

(3)

如圖2(b)所示，當(dāng)s′坐標系繼續(xù)移動到考察點處的時間為T′，可以得到O′相對于O的位移與Δx相等，結(jié)合式(2)可得T時刻質(zhì)點P相對于s′原點O′的位移:

Δx′=v0(T′-T)=v0ΔT

(4)

由于v0是恒值，質(zhì)點P相對于s′的位移可以轉(zhuǎn)換為對時間差值ΔT的求取。

為了求取一段時間內(nèi)P點的位移，在靜止坐標系s上設(shè)立多個相同間隔L的考察點，如圖3所示。

圖3 設(shè)立多個考察點的雙坐標系

記錄P點通過第i個考察點的時間Ti，O′通過各個考察點的時間恒為T0，在P點經(jīng)過第N個考察點后，其相對于O′的總位移x為各個考察點位移之和：

(5)

由于v0是恒值，因此對各參考點的P點與運動坐標系的時間測量即相當(dāng)于對P點實際位移的測量。通過建立一對靜止和運動的坐標系，可以將空間域上位移量的測量轉(zhuǎn)換為對時間域上時間差值ΔT的測量，這是時空轉(zhuǎn)換原理中通過時間測位移的思路。

3 光柵時空轉(zhuǎn)換細分原理

本文采用一種載波相位調(diào)制的方法，產(chǎn)生周期為T0，正交的兩路方波信號Es(t)和Ec(t)：

(6)

式中ω0為方波信號角頻率。

通過兩路方波信號與兩路莫爾信號分別相乘并相加，調(diào)制后的信號表示為

S=us(x)Ec(t)+uc(x)Es(t)

(7)

通過帶通濾波濾除基波以及高次諧波成分，得到含有空間位移信號θ(x)的時間信號：

(8)

Up信號將光柵莫爾信號的相位轉(zhuǎn)換為Up與載波信號Es(t)的相位差，因此將載波信號Es(t)作為運動坐標系，每經(jīng)過Es(t)的一個周期設(shè)立考察點，則光柵莫爾信號就相當(dāng)于在Es(t)坐標系上運動的質(zhì)點P，根據(jù)時空轉(zhuǎn)換原理，第i個考察點處莫爾信號的相位差為

Δθi=ω0(T0-Ti)

(9)

經(jīng)過N個考察點后光柵莫爾信號的相位θ(x)為

(10)

由于θ=2πx/W，所以光柵的總位移為

(11)

通過上述時空轉(zhuǎn)換方法，將光柵位移的測量轉(zhuǎn)換為對調(diào)制信號周期的測量。只需測量一定周期數(shù)內(nèi)調(diào)制信號的各個周期T1～TN，即可得到光柵的空間位移，測量分辨力取決于時間量測量的分辨力，因此該時空轉(zhuǎn)換細分方法的細分數(shù)不是確定值，而取決于一個載波周期通過的時間計數(shù)脈沖的最大值。細分辨向的原理如圖4所示。

圖4 細分辨向原理

由式(11)可知，光柵的辨向功能可以通過Ti的大小判斷。當(dāng)TiT0時，光柵產(chǎn)生反向位移；當(dāng)Ti=T0時，光柵靜止。

4 光柵時空轉(zhuǎn)換細分原理

本文的數(shù)字電路在FPGA平臺設(shè)計完成。整個細分電路的原理框圖如圖5所示。

圖5 細分電路原理框圖

光柵輸出莫爾信號的形式為差分正弦信號，頻率范圍為0～20 kHz。因此在電路的前端信號調(diào)理部分采用差分運放放大微弱莫爾電信號，經(jīng)過40 MSPS采樣率的高速差分ADC接收，在盡可能保留模擬信號信息的前提下轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，供后續(xù)細分電路使用。

4.1 載波調(diào)制模塊

載波調(diào)制模塊通過正交信號的運算得到調(diào)制后信號，其在FPGA數(shù)字電路中包含乘法器、加法器、PLL與載波模塊部分，其結(jié)構(gòu)框圖如圖6所示。

圖6 調(diào)制模塊

為了實現(xiàn)光柵莫爾信號的載波調(diào)制，需要生成兩路相位差90°的方波作為載波。PLL根據(jù)FPGA的系統(tǒng)時鐘分頻出一個頻率2 MHz的時鐘信號，然后通過上升沿和下降沿來轉(zhuǎn)換成兩路頻率為1 MHz相位差90°的方波信號，如圖7所示。

圖7 載波生成過程

將采集到的光柵莫爾信號與載波信號相乘相加得到調(diào)制后的信號。

4.2 帶通濾波模塊

為了有效從載波調(diào)制后的信號中提取出含有空間位移信號θ(x)的一次諧波信號Up，需要濾除調(diào)制信號S中的基波成分和高次諧波成分，因此采用FIR數(shù)字帶通濾波器進行濾波。

考慮到本文調(diào)制后Up信號的頻率范圍在1 MHz附近，ADC采樣率為40 MSPS，設(shè)計一個采樣率40 MHz，通帶范圍在800～1 200 kHz的數(shù)字帶通濾波器，以消除基波成分和高次諧波成分。

為了使實際數(shù)字濾波器更接近理想濾波器，需要提高濾波器的階數(shù)，各階數(shù)下的濾波器幅頻響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖8 各階數(shù)下的濾波器幅頻響應(yīng)曲線

隨著階數(shù)的增加，數(shù)字濾波器的特性會更加接近理想濾波器，但過大的階數(shù)會帶來較大的信號延時以及大量的資源占用，因此綜合考慮采用256階的FIR帶通數(shù)字濾波來濾除基波和高次諧波成分。

通過與ADC采樣率對應(yīng)的40 MHz系統(tǒng)時鐘對Up和載波信號周期計數(shù)并做差后得到當(dāng)前莫爾信號周期的細分倍數(shù)M，M等于系統(tǒng)時鐘與載波信號的比值，即M=40 MHz/1 MHz，即40倍細分。

5 光柵時空轉(zhuǎn)換細分原理

本文提出的時空轉(zhuǎn)換細分方法針對16384刻線的高精度圓光柵實現(xiàn)40倍細分，細分分辨率為1.977″。為了驗證本文所提的時空轉(zhuǎn)換細分的有效性，開展兩組實驗：仿真方法評估細分結(jié)果的線性度；電路測試方法驗證細分結(jié)果穩(wěn)定性。

5.1 細分功能驗證

在本實驗中，通過MATLAB生成兩路10 kHz的正交信號來模擬理想光柵莫爾信號，將生成的兩路正弦信號進行時空轉(zhuǎn)換細分，以實現(xiàn)信號相位的40倍細分，采用Modelsim觀測其仿真結(jié)果如圖9 所示。對于10個周期的理想正弦莫爾信號，得到細分數(shù)為400，實現(xiàn)了莫爾信號周期的40倍細分。

圖9 莫爾信號細分仿真結(jié)果

對細分結(jié)果進行評估，計算其在一個理想莫爾信號周期內(nèi)的誤差如圖10所示。細分誤差小于±1.3″，即細分數(shù)的偏差不會超過一個細分值，確保細分功能的正常。

圖10 理想細分角度誤差

5.2 細分結(jié)果比對

在機械轉(zhuǎn)臺上進行實驗測試，轉(zhuǎn)臺內(nèi)圓光柵總共16384刻線，平均每刻線表示角度為79.1″。實驗所用基準裝置為M3000系列光電讀數(shù)頭，該讀數(shù)頭可以實現(xiàn)光柵莫爾信號的1 024倍細分，細分分辨率達到0.077″。

在自制電路板中實現(xiàn)本文提出的細分方法。自制電路采用Altera Cyclone IV系列(EP4CE115F29C7)芯片，配置12 bit 40 MSPS的并行A/D用于采集轉(zhuǎn)臺輸出的光柵莫爾信號用于數(shù)字細分。整個實驗過程中實驗裝置的搭建如圖11所示。

圖11 實驗裝置圖

首先驗證細分結(jié)果的封閉性，通過圓光柵自帶的零位信號作為標志記錄下經(jīng)過轉(zhuǎn)臺正周期的細分數(shù)結(jié)果，見表1。

表1 轉(zhuǎn)臺正周期細分結(jié)果

可以看到，轉(zhuǎn)臺每旋轉(zhuǎn)1圈，時空轉(zhuǎn)換細分電路輸出655 360個細分脈沖，與M3000讀數(shù)頭的1 024細分結(jié)果比值恒為25.6，實現(xiàn)了光柵莫爾信號的40倍細分。

在轉(zhuǎn)臺光柵莫爾信號的2個周期內(nèi)對時空轉(zhuǎn)換細分進行標定，結(jié)果如圖12所示。

圖12 細分誤差標定結(jié)果

可以看到基于時空轉(zhuǎn)換的細分方法對莫爾信號的細分誤差在±1.5″以內(nèi)，與圖10的結(jié)果基本一致。

基于時空轉(zhuǎn)換原理的細分方法在16384刻線的圓光柵轉(zhuǎn)臺應(yīng)用中可以實現(xiàn)莫爾信號的40倍細分，其細分的誤差在±1.5″內(nèi)。

6 結(jié)論

本文借助時空轉(zhuǎn)換原理，將其用于光柵莫爾信號細分方法，通過載波調(diào)制將莫爾信號的空間位移信息轉(zhuǎn)移到時間調(diào)制信號上，通過周期測量來實現(xiàn)莫爾信號的相位細分，并通過數(shù)字電路實現(xiàn)該細分功能，具有可靠性高、易于集成以及成本低等特點。在動、靜態(tài)測量中實現(xiàn)了光柵莫爾信號的40倍細分，并通過仿真驗證了細分電路的功能，在16384刻線的圓光柵進行實驗，細分的分辨率為1.977″，細分誤差在±1.5″以內(nèi)。