余明 王乾平 朱勝利

摘要：對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)典型元件或部件開(kāi)展等比例靜力試驗(yàn)，是飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度研發(fā)的必要手段，對(duì)探索結(jié)構(gòu)傳載規(guī)律及驗(yàn)證結(jié)構(gòu)承載能力具有不可替代的作用。飛機(jī)大型化促使結(jié)構(gòu)靜力試驗(yàn)代價(jià)急劇增加，如果能在靜力試驗(yàn)領(lǐng)域引入縮比試驗(yàn)，對(duì)節(jié)約飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期具有重要意義。本文以相似三定律為基礎(chǔ)，結(jié)合量綱分析和方程分析，從理論層面對(duì)結(jié)構(gòu)靜力相似開(kāi)展了研究，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)靜力相似準(zhǔn)則，對(duì)不同層級(jí)結(jié)構(gòu)靜力相似的現(xiàn)象及聯(lián)系進(jìn)行了說(shuō)明，最后通過(guò)算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：相似律；靜力相似；結(jié)構(gòu)靜力特性；縮比試驗(yàn)；靜力學(xué)

中圖分類號(hào)：TB121文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2021.06.007

在工程實(shí)踐中通過(guò)建立自然對(duì)象的縮比模型，對(duì)其內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行分析研究是人類認(rèn)知自然的基本方法之一。1686年，牛頓已經(jīng)用運(yùn)動(dòng)相似來(lái)表述其三定理，后來(lái)又提出被稱為牛頓數(shù)的相似準(zhǔn)數(shù)F/（ρV2l2）。雷諾（Reynolds）對(duì)通過(guò)不同直徑圓管中氣流進(jìn)行層流試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)試驗(yàn)數(shù)vL/γ超過(guò)某臨界值時(shí)，氣流會(huì)出現(xiàn)湍流現(xiàn)象，該表達(dá)式便是著名的雷諾數(shù)Re的前身。

直到相似三定理的提出，對(duì)相似現(xiàn)象的性質(zhì)、相似準(zhǔn)則、相似判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)地描述，使得相似理論逐漸成為科學(xué)的理論。相似三定理用相似準(zhǔn)則描述了現(xiàn)象相似，相似準(zhǔn)則成為指導(dǎo)縮比模型設(shè)計(jì)的主要依據(jù)。1965年，Kline對(duì)通過(guò)量綱分析和方程分析兩種建立相似準(zhǔn)則的方法進(jìn)行了全面闡述[1-2]。從此通過(guò)相似準(zhǔn)則建立研究對(duì)象的相似模型，逐漸演變發(fā)展為相似論的科學(xué)方法。徐挺編著的《相似方法及其應(yīng)用》對(duì)相似三定理、相似準(zhǔn)則的推導(dǎo)和模型修正等理論知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)整理和綜述[3]。

1994年，黃維平等對(duì)動(dòng)力學(xué)模型試驗(yàn)進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)相似準(zhǔn)則并建立模型相似關(guān)系[4]。林皋等對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型試驗(yàn)中的物理量的處理技巧，開(kāi)展了細(xì)致的探討[5]。學(xué)者們?cè)趧?dòng)力學(xué)相似理論方面的研究推動(dòng)了動(dòng)力學(xué)縮比模型的工程應(yīng)用[6-7]。在土木建筑、航空航天等領(lǐng)域，通過(guò)縮比模型對(duì)橋梁大壩抗震特性和飛機(jī)、火箭振動(dòng)特性研究，在我國(guó)乃至世界早已成為成熟的技術(shù)途徑得到廣泛推廣應(yīng)用[8-14]。

得益于流體力學(xué)相似準(zhǔn)則的建立及完善，縮比模型試驗(yàn)在航空領(lǐng)域的應(yīng)用，目前基本上集中于飛機(jī)空氣動(dòng)力學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)領(lǐng)域。近些年，隨著隱身技術(shù)的興起，電磁系統(tǒng)相似準(zhǔn)則的建立[15-16]，采用縮比模型對(duì)目標(biāo)飛行器進(jìn)行電磁隱身測(cè)試逐漸成為主流研究方法，并促使飛行器隱身技術(shù)以及微波暗室試驗(yàn)技術(shù)進(jìn)步。任青梅[17]以結(jié)構(gòu)熱彈性理論和相似理論為基礎(chǔ)，建立了均勻溫度/力載荷聯(lián)合作用下壁板結(jié)構(gòu)的相似準(zhǔn)則，對(duì)開(kāi)展高速飛行器結(jié)構(gòu)地面熱/力聯(lián)合試驗(yàn)有一定指導(dǎo)意義。

飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)主要研究飛機(jī)結(jié)構(gòu)在氣動(dòng)、慣性等各種載荷作用下，結(jié)構(gòu)上力的分布、力的平衡以及結(jié)構(gòu)極限承載能力的規(guī)律，確保飛機(jī)服役過(guò)程中結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生有害變形乃至破壞。

傳統(tǒng)的飛機(jī)結(jié)構(gòu)研發(fā)，需要開(kāi)展大量組件級(jí)、典型件級(jí)、部件級(jí)甚至全機(jī)級(jí)等比例靜力試驗(yàn)，這些等比例靜力試驗(yàn)對(duì)探索結(jié)構(gòu)傳載規(guī)律及驗(yàn)證結(jié)構(gòu)承載能力具有不可替代作用。飛機(jī)的大型化促使結(jié)構(gòu)靜力試驗(yàn)代價(jià)急劇增加和周期急劇拉長(zhǎng)，如果能在靜力試驗(yàn)領(lǐng)域引入縮比試驗(yàn)，對(duì)節(jié)約飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期具有重要意義。而目前在飛機(jī)結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，迄今尚無(wú)比較全面的飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜力相似研究論述。

本文從理論層面出發(fā)，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)基本靜力相似準(zhǔn)則和兩種不同層級(jí)的變態(tài)相似準(zhǔn)則，對(duì)其相似的特征量及其可能的誤差進(jìn)行了論述，建立了飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜力相似理論，采用算例進(jìn)了驗(yàn)證。

1結(jié)構(gòu)靜力基本相似準(zhǔn)則

1.1基本相似準(zhǔn)則

模型與原型之間滿足嚴(yán)格相似律時(shí)，模型與原型除變形相似外，可以論證結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度之間的比例等于載荷比例。關(guān)于此點(diǎn)我們略作說(shuō)明：（1）嚴(yán)格相似的兩個(gè)靜力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力完全一致；（2）幾何相似與材料相同，同時(shí)保證了結(jié)構(gòu)幾何非線性與材料非線性行為一致；（3）嚴(yán)格相似的模型，在無(wú)量綱系統(tǒng)里完全一致。事實(shí)上兩個(gè)嚴(yán)格相似的典型結(jié)構(gòu)元件，通過(guò)飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊(cè)[18]計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)失穩(wěn)應(yīng)力、承載極限等靜力性能完全一致，此處不再贅述。

2變態(tài)相似準(zhǔn)則

2.1問(wèn)題的引入

基本相似要求模型與原型幾何相似。對(duì)于飛機(jī)常見(jiàn)的薄壁結(jié)構(gòu)，如果縮放比例過(guò)大，按照等比例縮放后的模型結(jié)構(gòu)厚度小，因最小加工尺寸、裝配工藝或選材限制，會(huì)使得模型無(wú)法制造。因此我們考慮適當(dāng)放寬對(duì)模型的要求，而使其在靜力學(xué)表征上達(dá)到現(xiàn)象相似。

2.2靜力方程及相似準(zhǔn)則

對(duì)一個(gè)結(jié)構(gòu)靜力系統(tǒng)而言，外載對(duì)結(jié)構(gòu)可能引起的效應(yīng)有以下幾種：拉壓、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)。根據(jù)其力學(xué)微分方程寫出對(duì)應(yīng)的力學(xué)相似準(zhǔn)則。

λEA、λGA、λGJ、λEI的定義見(jiàn)3.2節(jié)。式（18）便是模型結(jié)構(gòu)形式與原型不同的靜力相似準(zhǔn)則——II級(jí)變態(tài)相似準(zhǔn)則。模型與原型結(jié)構(gòu)II級(jí)變態(tài)相似時(shí)，模型與原型變形相似。與前兩種相似不同，II級(jí)變態(tài)相似更多關(guān)注結(jié)構(gòu)的宏觀表征。在實(shí)際中，對(duì)靜力系統(tǒng)關(guān)注方向的剛度或變形，可根據(jù)原型實(shí)際受載情況對(duì)連等式（18）進(jìn)行裁剪而放松對(duì)模型的部分要求。如對(duì)飛機(jī)機(jī)身、機(jī)翼等大部件而言，則僅須考慮模型整體彎剪扭剛度與載荷的匹配性。

II級(jí)變態(tài)相似模型與原型幾何之間沒(méi)有聯(lián)系，這時(shí)通過(guò)任意調(diào)整模型內(nèi)部布置使其滿足式（18）要求。事實(shí)上，隨著3D打印等技術(shù)的興起和發(fā)展，通過(guò)精準(zhǔn)定量堆積材料的方式，設(shè)計(jì)制造出嚴(yán)格滿足式（18）所要求剛度的縮比模型是很有可能的。

基本靜力相似模型保留了原型大部分結(jié)構(gòu)信息，能夠在結(jié)構(gòu)線性和非線性階段，于宏觀（如結(jié)構(gòu)剛度、變形等）和微觀（如應(yīng)力、應(yīng)變響應(yīng)）兩個(gè)層面與原型建立聯(lián)系。模型與原型材料相同時(shí)的嚴(yán)格相似模型，保留了結(jié)構(gòu)原型全部信息，甚至能夠做到與原型極限強(qiáng)度相似。

I級(jí)變態(tài)相似模型保留了薄壁結(jié)構(gòu)原型的面內(nèi)剛度信息，能夠在線彈性階段，于宏觀（如結(jié)構(gòu)剛度、變形等）和微觀（如應(yīng)力、應(yīng)變響應(yīng)）兩個(gè)層面與原型建立聯(lián)系，且與基本相似相比，具有更好的工藝特性。

II級(jí)變態(tài)相似模型保留了結(jié)構(gòu)原型的宏觀剛度信息，能夠在線彈性階段在宏觀（如結(jié)構(gòu)剛度、變形等）層面與原型建立聯(lián)系。其對(duì)模型結(jié)構(gòu)形式?jīng)]有任何要求，但是在宏觀層面對(duì)原結(jié)構(gòu)的表征，對(duì)簡(jiǎn)化模型構(gòu)造等方面具有重要意義。不同相似準(zhǔn)則均保證了結(jié)構(gòu)宏觀剛度的相似，這樣也可在同一模型中，對(duì)不同部件采用不同的相似準(zhǔn)則，甚至不相似來(lái)組合建模（建立這種混雜的縮比模型時(shí)，需以相同的載荷比例作為不同部件設(shè)計(jì)依據(jù)）。

3算例驗(yàn)證

典型機(jī)翼盒段，建立1/2對(duì)稱模型，在每個(gè)肋站位壓心位置采用RBE3單元施加氣動(dòng)載荷，第3個(gè)肋位前后梁上模擬翼身連接。分別建立基本相似、I級(jí)變態(tài)相似模型并開(kāi)展有限元分析（見(jiàn)圖2）。分析軟件采用有限元工具NASTRAN。

兩類相似模型采取的縮放比例見(jiàn)表4，由靜力相似準(zhǔn)則預(yù)測(cè)得到的模型位移比例及應(yīng)力比例同時(shí)列在表4中。

原型及兩類相似模型計(jì)算分別得到的位移云圖及應(yīng)力云圖如圖3、圖4所示。從有限元分析結(jié)果可看出，結(jié)構(gòu)原型解得的最大位移為48.66mm，最大應(yīng)力為247.1MPa。通過(guò)縮比模型解得的位移、應(yīng)力量值及其與原型的比例，見(jiàn)表5。

從表5可看出，通過(guò)縮比模型解得的位移、應(yīng)力量值及其與原型的比例，符合表4中預(yù)測(cè)值。從圖3和圖4可看出，其應(yīng)力位移分布與原型完全一致。

以1/10的比例建立其II級(jí)變態(tài)相似模型（縮放為梁，為方便與原結(jié)構(gòu)開(kāi)展對(duì)比，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)創(chuàng)建2個(gè)剛體單元）。根據(jù)式（18）可知縮比模型需滿足：載荷比λP=λ2=1/100；剪切面積比λEA=λP=1/100；抗彎剛度比λEI=λ4=1/104；抗扭剛度比λGJ=λ4=1/104。

按上述比例，設(shè)定梁截面屬性和載荷提交分析，計(jì)算得到的位移云圖如圖5所示，可發(fā)現(xiàn)縮比模型得到的位移為4.8mm，與原型量值比例約為1/10.13，與原型位移分布完全一致，滿足相似比例。

三類縮比模型前后梁的約束反力與原型相比滿足載荷比例，此處不再展示。

4結(jié)論

在飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜力試驗(yàn)領(lǐng)域引入縮比試驗(yàn)，有助于在飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度研發(fā)中減小試驗(yàn)規(guī)模，對(duì)降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期有重要意義。本文主要從結(jié)構(gòu)靜力平衡方程出發(fā)，結(jié)合量綱分析和方程分析：（1）針對(duì)幾何相似情況，建立了基本相似準(zhǔn)則；（2）針對(duì)參數(shù)比例變化的情況，建立了I級(jí)變態(tài)相似準(zhǔn)則；（3）針對(duì)布置變化的情況，建立了II級(jí)變態(tài)相似準(zhǔn)則，三者共同構(gòu)成了結(jié)構(gòu)靜力相似理論。

靜力相似理論構(gòu)成了模型與原型結(jié)構(gòu)滿足靜力相似的充要條件，可以此為基礎(chǔ)開(kāi)展飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜力縮比試驗(yàn)。

縮比試驗(yàn)比較適合于評(píng)估宏觀變形、應(yīng)力分布、載荷傳遞等規(guī)律，但是在工程實(shí)踐中：（1）很難在縮比模型中，采用特定的縮放比例再現(xiàn)原結(jié)構(gòu)連接細(xì)節(jié)；（2）存在結(jié)構(gòu)非線性、邊界非線性等因素也難以在縮比模型再現(xiàn)。這也是縮比模型的局限所在。

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（責(zé)任編輯陳東曉）

Theoretical and Numerical Studies of Static Similarity Criteria for Aircraft Structures

Yu Ming，Wang Qianping，Zhu Shengli

AVIC The First Aircraft Institute，Xian 710089，China

Abstract： Equivalent proportional static test of typical components or components of aircraft structure has always been a necessary means for aircraft structural strength research and development. It plays an irreplaceable role in exploring structural load distribution law， and exploring structural strength. Large aircraft increase the costs of structural static test. Introducing scale model to static test will be of great significance to save the cost and shorten the cycle of aircraft structural strength research and development. Based on the three laws of similarity， this paper studies the structural static similarity from the theoretical level by using dimensional analysis and equation analysis， and establishes the theory of structural static similarity. The phenomena and relations of static similarity of different hierarchical structures are explained. Finally， the theory is verified by numerical examples.

Key Words： similarity law； static similarity； structures static characteristics； scale test； statics