多重Dirichlet級數(shù)的線性型及線性準確型

陳覃膻，霍穎瑩

（廣東工業(yè)大學 應用數(shù)學學院，廣東 廣州 510520）

n重Dirichlet級數(shù)是具有下列形式的級數(shù)：

特別地，當1n=時，式（1）為一重Dirichlet級數(shù). Valiron[1]研究了其收斂性并給出了其收斂坐標公式；Ritt[2]定義了一重Dirichlet級數(shù)所確定的整函數(shù)的級；余家榮等[3]在此基礎(chǔ)上研究了一重Dirichlet級數(shù)的有限級與其系數(shù)、指數(shù)間的關(guān)系；許全華[4]則在此基礎(chǔ)上研究了它的型及其準確型并得到了這些型與其系數(shù)、指數(shù)間的關(guān)系. 關(guān)于一重Dirichlet級數(shù)的更多理論成果可參考文獻[3,5]. 對于式（1），梁美麗等[6]定義了它的線性級并得到了其與系數(shù)、指數(shù)間的關(guān)系，而本文將研究式（1）的線性級所確定的線性型與其系數(shù)、指數(shù)間的關(guān)系.

為了簡化級數(shù)（1）的表示，記：s=（s1,s2,…,sn）∈Cn，m=（m1,m2,…,mn）∈Nn，λm=（λm1,λm2,…,λmn）∈Rn，并且約定內(nèi)積λms=（λm1,λm2,…,λmn）（s1,s2,…,sn）=λm1s1+λm2s2+…+λmnsn，則級數(shù)（1）就可以簡寫為：

若記k=（k1,k2,…,kn），那么級數(shù)（1）的前m項和為：

一個自然的問題是文獻[4]許全華關(guān)于一重Dirichlet級數(shù)的型的結(jié)果是否能推廣到多重Dirichlet級數(shù)？這里先給出級數(shù)（1）的線性型和線性準確型的定義.

定義1當級數(shù)（1）的線性級ρ滿足0＜ρ＜∞，它的線性型τ定義為

接下來考慮級數(shù)（1）的線性準確級. 當0＜ρ＜∞時，文獻[8-9]證明存在一個單調(diào)遞減函數(shù)ρ（r）滿足

則稱ρ（r）為f（s）的線性準確級. 由ρ（r）定義級數(shù)（1）的線性準確型.

定義2f（s）關(guān)于其線性準確級ρ（r ）的線性準確型τ′定義如下：

本文將許全華關(guān)于一重Dirichlet級數(shù)的型的結(jié)果推廣到多重Dirichlet級數(shù)，得到了以下結(jié)果.

定理2若級數(shù)（1）的橫坐標分布在Rn中的某一直線Φ，滿足條件（2）和（3）且其確定的整函數(shù)f（s）具有線性準確級ρ（r） (0＜ρ＜∞)，則其關(guān)于ρ的線性準確型τ′滿足β≤τ′≤eDφρβ，其中

1 引理

2 定理證明

2.1 定理1的證明

2.2 定理2的證明

令0ε→ 即可證明第2個不等式.

注意到當β有限時τ也有限，結(jié)合第一部分證明可知β和τ同時有限或無限，從而定理得證.