黃子珊，林佳茂，翁佳炫，鄧軍燦，陳俊旭，彭 力, 2, 3

(1. 華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；2. 華南師大(清遠(yuǎn))科技創(chuàng)新研究院有限公司，廣東 清遠(yuǎn) 5115173；3. 華南師范大學(xué) 物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，廣東 廣州 510006)

液相擴(kuò)散系數(shù)在化工、煉油、生化、制藥環(huán)保等領(lǐng)域中有著重要的作用[1]，如何有效測(cè)量液相擴(kuò)散系數(shù)有著重要的意義. 目前，測(cè)量擴(kuò)散系數(shù)的方法有膜池法[2]、毛細(xì)管法[3]、Taylor分散法[4]與光干涉法[5]等. 但上述方法有操作時(shí)間長(zhǎng)、精度較低、較難讀取數(shù)據(jù)等不足之處. 由此，本文以光干涉法為基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)字全息技術(shù)來(lái)測(cè)量?jī)煞N不同溶液間的擴(kuò)散系數(shù)，使用CCD相機(jī)對(duì)得到的干涉條紋進(jìn)行記錄，并通過(guò)Matlab軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到所需的液相擴(kuò)散系數(shù). 此外，在原有的Mach-Zehnder干涉光路中，本文添加了與擴(kuò)散槽尺寸材質(zhì)等完全相同的補(bǔ)償槽，添加光路補(bǔ)償后的干涉條紋明暗襯比度顯著提高.

1 理論分析

1.1 擴(kuò)散原理

在各向同性材料中，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于擴(kuò)散方向的單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)(稱為擴(kuò)散通量Diffusion flux，用J表示)與該截面處的濃度梯度(Concentration gradient)成比例，即[1]

(1)

式中C為物質(zhì)的濃度，z代表擴(kuò)散方向，D為擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度梯度方向相反.

本文中的擴(kuò)散體系高度遠(yuǎn)大于長(zhǎng)寬，擴(kuò)散可看作僅在豎直方向中進(jìn)行，即擴(kuò)散為一維z方向擴(kuò)散.圖1中擴(kuò)散體系為一個(gè)長(zhǎng)方體體積元，其邊長(zhǎng)分別為2dx、2dy、2dz.

圖1 擴(kuò)散體系

設(shè)長(zhǎng)方體的中心P(x,y,z)，該點(diǎn)處的溶質(zhì)濃度為C，溶質(zhì)由下表面擴(kuò)散到體積元的速率為

(2)

溶質(zhì)由上表面擴(kuò)散到體積元的速率為

(3)

(4)

體積元中擴(kuò)散溶質(zhì)的增加速率還可以表示為

(5)

結(jié)合式(4)和(5)，可得

(6)

將式(1)代入式(6)中可得

(7)

當(dāng)擴(kuò)散可看做是一維時(shí)，在初始時(shí)有較為明顯的分界面. Turchiello R F等人求解式(7)后，可得擴(kuò)散槽中自由擴(kuò)散的濃度分布為[6]

(8)

其中C1、C2為兩個(gè)不同溶液的濃度.

1.2 水平條紋判讀法

溶液的濃度變化會(huì)改變其折射率，進(jìn)而改變其透射光的光程差(或相位差).在本實(shí)驗(yàn)中，物光波的相位差就是由于折射率變化引起的.相位差變化為

(9)

其中L是擴(kuò)散體系的厚度，λ是激光的波長(zhǎng)，而Δn(z,t1,t2)則是在擴(kuò)散體系z(mì)位置t1、t2時(shí)刻之間的折射率變化.

在較小的濃度變化范圍，折射率可視為線性變化的[7]，可得

(10)

其中(dn/dc)0是折射率對(duì)濃度的導(dǎo)數(shù)，在小濃度變化范圍內(nèi)可以視作常數(shù)，n0為常數(shù).

將式(10)代入到式(8)中，折射率之差的分布可以表示為

Δn(z,t1,t2)=

(11)

對(duì)式(9)求導(dǎo)并使其等于0，可得到濃度變化的極值點(diǎn).

(12)

在相位差分布曲線圖(如圖5)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)在z方向坐標(biāo)分別為zA和zB.

由式(11)和式(12)可得

(13)

由式(13)可推導(dǎo)出液相擴(kuò)散系數(shù)的表達(dá)式為

(14)

其中Δz=zA-zB.

在獲得不同時(shí)刻的干涉圖像后，將兩幅不同時(shí)刻再現(xiàn)的物光波前作點(diǎn)除運(yùn)算，利用郭盈等人的全息圖樣處理方法[8]得到濃度變化最大值之間的距離Δz后即可由式(14)計(jì)算出液相擴(kuò)散系數(shù).

1.4 數(shù)字全息的實(shí)驗(yàn)條件

全息圖的光強(qiáng)分布由4個(gè)分量所決定，對(duì)其做傅里葉變換，可得到全息圖的空間頻譜為

G(ξ,η)=C1(ξ,η)+C2(ξ,η)+C3(ξ,η)+C4(ξ,η)

(15)

若物光波分布為有限帶寬，其最高空間頻率為fmax，帶寬為2fmax.其中C1是在頻譜平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的一個(gè)δ函數(shù)，C2是物光波頻譜分布的自相關(guān)函數(shù)，帶寬擴(kuò)展到為4fmax，C3和C4分別表示物光波的±1級(jí)頻譜，其中心分別位于±f0處，帶寬為2fmax[1].為了提取物光場(chǎng)，應(yīng)使C2、C3、C4互相不重疊，即需要滿足條件

(16)

θmin=arcsin(3fmaxλ)

(17)

當(dāng)物參夾角大于θmin時(shí)，可以在頻譜面上濾掉C2、C3和C4分量，僅將C3提取出來(lái)，對(duì)該分量進(jìn)行傅里葉變換，可以重現(xiàn)全息圖平面上的物光波前.

物參夾角的確定除了需要滿足物光頻譜信息分離條件外，干涉條紋間距還需要滿足大于CCD的分辨率的條件. 根據(jù)奈奎斯特采樣定理，為了準(zhǔn)確恢復(fù)干涉強(qiáng)度分布函數(shù)，每一個(gè)干涉條紋周期必須大于兩個(gè)CCD像素周期，即

δx≥2ΔxH,δy≥2ΔyH

(18)

干涉條紋的空間頻率由物光和參考光之間夾角決定，最小條紋周期對(duì)應(yīng)的物光夾角為

(19)

其中，δmin為最小條紋周期，θmax為最大物參夾角.

由于物參夾角一般較小，所以sinθ≈θ，由此可得到物參夾角范圍為

(20)

綜合式(17)和式(20)，可以得到數(shù)字全息干涉的有效物參夾角需要滿足的條件為

(21)

物參夾角存在一個(gè)最佳值，在這個(gè)物參夾角的情況下，所能記錄的物波頻譜達(dá)到最大.其中fcx=1/(2ΔxH)為所能記錄的最大頻譜，當(dāng)f0=3dfcx/4，記錄下的物波頻譜達(dá)到最大，即

(22)

(23)

將實(shí)驗(yàn)中CCD照相機(jī)尺寸ΔxH=5 μm和λ=520 nm代入上式，得到最佳物光夾角為2.2351°.在實(shí)驗(yàn)中，可以通過(guò)調(diào)節(jié)圖2中的平面鏡角度來(lái)調(diào)節(jié)物參夾角使之達(dá)到最佳角度.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖2所示，實(shí)驗(yàn)裝置由左至右分別為520 nm固體激光器、擴(kuò)束鏡、擋光板、反射鏡與半透半反鏡、擴(kuò)散槽、補(bǔ)償槽和工業(yè)CCD相機(jī).

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

液相擴(kuò)散在擴(kuò)散槽中進(jìn)行，槽內(nèi)下半部分裝有錐形整流柵，可減湍流和返混對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的影響，使擴(kuò)散穩(wěn)定進(jìn)行.

為了提高明暗條紋的對(duì)比度，實(shí)驗(yàn)光路中添加了與擴(kuò)散槽完全相同的補(bǔ)償槽. 補(bǔ)償槽可以補(bǔ)償光程，使參考光和物光的光強(qiáng)大致相等，從而提高干涉條紋明暗對(duì)比度.

將CCD工業(yè)相機(jī)與計(jì)算機(jī)相連，將實(shí)驗(yàn)獲得的干涉條紋導(dǎo)入計(jì)算機(jī)后，經(jīng)處理便可得到相應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù).

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

本文采用的圖像處理方法思路如圖3所示.

圖3 圖像處理方法思路

采集不同時(shí)刻的干涉圖樣，對(duì)圖樣進(jìn)行小波去噪，濾除噪聲的同時(shí)保持干涉條紋細(xì)節(jié)，從信號(hào)中提取信息. 經(jīng)過(guò)矩形窗口頻域?yàn)V波，濾除掉參考光的直透部分、物體各點(diǎn)的自相關(guān)以及物體各點(diǎn)之間的互相關(guān)項(xiàng)和原始物光波前共軛像的頻譜，保留原始物光波前的頻譜，將該頻譜經(jīng)過(guò)逆傅里葉變換轉(zhuǎn)換到空間域，得到包含擴(kuò)散進(jìn)行程度信息的物光波[9].

利用不同時(shí)刻的兩幅物光波中的相位信息，求得包裹相位差. 對(duì)包裹的相位差進(jìn)行二維解包裹運(yùn)算后可得連續(xù)的相位差. 判讀出擴(kuò)散方向上濃度變化極值點(diǎn)間的垂直距離，代入式(14)后可計(jì)算得到質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)值.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

4.1 25℃時(shí)0.1 mol/L蔗糖水溶液擴(kuò)散系數(shù)

使用濃度為0.1 mol/L的蔗糖水溶液作為樣品，在25℃下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用CCD工業(yè)相機(jī)得到不同時(shí)刻干涉圖樣. 圖4為不同時(shí)刻的蔗糖水溶液干涉圖樣.

圖4 不同時(shí)刻蔗糖水溶液干涉圖樣

經(jīng)過(guò)最小二乘解包裹算法后得到連續(xù)的相位差(圖5)，進(jìn)一步可得到峰-峰值距離Δz.

圖5 連續(xù)相位差圖

表1 25℃時(shí)0.1 mol/L蔗糖水溶液擴(kuò)散系數(shù)

記錄多組不同時(shí)刻的干涉圖樣，利用Matlab對(duì)每組干涉圖樣進(jìn)行圖像處理，得到峰峰值距離Δz，再根據(jù)式(14)計(jì)算出每組干涉圖樣所對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，可得擴(kuò)散系數(shù)的平均值為5.815×10-5cm2s-1. 在25℃下0.1 mol/L的蔗糖水溶液擴(kuò)散系數(shù)理論值為5.694×10-5cm2s-1[10]，實(shí)驗(yàn)所得擴(kuò)散系數(shù)與理論值的百分誤差為2.121%.

4.2 光路補(bǔ)償對(duì)于實(shí)驗(yàn)的影響

如圖6所示，在未加入補(bǔ)償槽時(shí)，干涉圖樣明暗條紋對(duì)比度低，條紋模糊不清. 添加與擴(kuò)散槽尺寸相同的補(bǔ)償槽后，實(shí)驗(yàn)圖像明顯清晰了許多.

圖6 補(bǔ)償槽加入與否的干涉圖樣對(duì)比圖

在后期數(shù)據(jù)處理時(shí)，明暗條紋襯比度不夠會(huì)使Matlab識(shí)別產(chǎn)生偏差，干涉圖樣模糊的圖像在圖像處理后得到的連續(xù)相位差圖波動(dòng)較多，更難判別濃度變化極大值點(diǎn). 光路補(bǔ)償后的干涉圖樣襯比度高，提高了圖像處理的精度.

分析實(shí)驗(yàn)的各個(gè)影響因素，實(shí)驗(yàn)誤差主要來(lái)源于以下幾個(gè)方面：實(shí)驗(yàn)時(shí)，注液速度過(guò)快等會(huì)使擴(kuò)散體系內(nèi)有湍流產(chǎn)生，濃度變化過(guò)大時(shí)濃度與折射率關(guān)系不再呈線性，實(shí)驗(yàn)精度將受到影響；用CCD工業(yè)相機(jī)采集全息干涉條紋時(shí)，人員走動(dòng)和外界振動(dòng)等干擾因素會(huì)導(dǎo)致干涉條紋圖的微弱振動(dòng)，這將一定程度上影響干涉條紋的質(zhì)量；室內(nèi)、外雜光的影響會(huì)使條紋的調(diào)制度降低，對(duì)后續(xù)的處理帶來(lái)影響，降低數(shù)字圖像處理結(jié)果的準(zhǔn)確性；空氣的溫度、濕度和氣流的變化都可能會(huì)對(duì)干涉光路造成影響，從而使得實(shí)驗(yàn)精度下降.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于光路補(bǔ)償?shù)臄?shù)字全息干涉法測(cè)量液相擴(kuò)散系數(shù)，利用生活中易得的低功率激光器，搭建了操作簡(jiǎn)單、成本低、安全性高的裝置. 在對(duì)擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行測(cè)量的同時(shí)還定性分析了擴(kuò)散系數(shù)測(cè)量的影響因素，在接下來(lái)的工作中，可以建立數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行定量的分析，討論抖動(dòng)、注液速度快慢等對(duì)于擴(kuò)散系數(shù)測(cè)量的影響，從而提高擴(kuò)散系數(shù)的測(cè)量精度.