基于凸優(yōu)化的傅里葉疊層成像技術(shù)研究

胡躍輝，房國慶,2，方 勇，姚子賢,2，岳明強(qiáng),3，張 濤

（1.特種顯示技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，合肥工業(yè)大學(xué) 光電技術(shù)研究院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院，安徽 合肥 230009；3.合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；4.合肥溪流光電科技有限公司，安徽 合肥 230009）

引言

在人類科學(xué)技術(shù)發(fā)展史上，光學(xué)顯微技術(shù)一直有著非常重要的地位，在未來的科技發(fā)展方向上高分辨率也是光學(xué)顯微技術(shù)不斷追求的目標(biāo)之一。然而高分辨率和大視場一直是難以兼顧的問題，這給顯微技術(shù)的發(fā)展帶來了很大的限制。

傅里葉疊層顯微成像技術(shù)（fourier ptychographic microscopy，F(xiàn)PM）是一種可以同時(shí)兼顧高分辨率和大視場的一種成像技術(shù)，利用相位恢復(fù)算法成功恢復(fù)出樣本的高分辨率圖像。1969年，Hoope等人提出了疊層成像技術(shù)[1-3]，在此基礎(chǔ)上Zheng在2013年提出了FPM[4-6]。

已有研究表明CCD 采集的低分辨率圖像對高分辨率圖像的重構(gòu)質(zhì)量有著直接的影響[7]。為解決這一問題，2015年清華大學(xué)張永兵課題組提出了用超分辨率重建圖像的方法[8]，但需要采集大量的原始圖像，會使采集端的時(shí)間損耗加大，而傳統(tǒng)去噪算法的缺陷在于會導(dǎo)致圖像原始信息的丟失，嚴(yán)重影響著重建圖像質(zhì)量。因此我們引入了凸優(yōu)化算法，將采集端低分辨率圖片的去噪處理轉(zhuǎn)為一個(gè)凸問題，進(jìn)而用迭代收縮閾值算法來求解該凸問題，在迭代收縮閾值算法中，我們采用Barzilai-Borwein（BB）規(guī)則在每次迭代時(shí)線搜索步長進(jìn)行初始化[9]，大大加快了收斂速度，選用了軟閾值函數(shù)，使低分辨率圖像去噪的同時(shí)原始信息丟失減少，因此迭代收縮閾值法[10-11]與傳統(tǒng)算法相比，具有迭代時(shí)間短、重構(gòu)的高分辨率圖像質(zhì)量高的優(yōu)點(diǎn)。本文主要對迭代收縮閾值算法進(jìn)行研究和介紹。

1 系統(tǒng)的構(gòu)成與理論

1.1 FPM 的工作原理

傅里葉疊層成像的重構(gòu)過程是指在成像平臺下通過點(diǎn)亮不同位置的LED 對樣本進(jìn)行照射，經(jīng)過物鏡成像后再由CCD 進(jìn)行低分辨率圖像的采集，采集系統(tǒng)原理如圖1所示。FPM 利用在空域和頻域中的約束條件進(jìn)行迭代來實(shí)現(xiàn)樣本高分辨率圖像的重建，整個(gè)流程詳見圖2[12]。

圖1 傅里葉疊層顯微成像系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of Fourier ptychographic microscopy system

該算法大致分為以下幾步：

圖2 傅里葉疊層成像算法迭代流程圖Fig.2 Iterative flow chart of Fourier ptychographic microscopy algorithm

第2 步,從該頻譜中選取一小部分區(qū)域，對選中部分的頻譜做傅里葉變換，目標(biāo)產(chǎn)生一個(gè)低分辨率的圖片。如圖2 中正常入射光對應(yīng)第②步圓孔部分從而采集到的圖片的頻譜。

第3 步,在入射光的入射角度為i的情況下獲取低分辨率圖像，并測量出平方根。將目標(biāo)圖像的幅值部分替換為得到新的目標(biāo)圖片。然后，用新的目標(biāo)圖像替換其在高分辨率頻域內(nèi)所對應(yīng)的區(qū)域。

第4 步,對于第i個(gè)區(qū)域，重復(fù)步驟2 和3。每塊區(qū)域均有自己的低分辨率強(qiáng)度測量值相鄰區(qū)域都必須有重疊部分。對所有的圖片均重復(fù)上述迭代過程，直到所有高分辨率圖像的頻域部分均被低分辨率強(qiáng)度測量的數(shù)據(jù)更新過。

最后，重復(fù)步驟1～4，不同照明角度的N幅圖像均被更新過后，直到達(dá)到高分辨率復(fù)振幅收斂的目標(biāo)。

1.2 凸優(yōu)化對低分辨率圖像去噪原理

1.2.1 軟閾值算子

凸優(yōu)化模型中的局部極小值即最小值。常用的凸優(yōu)化方法有固定點(diǎn)迭代法[13]、牛頓法[14]、梯度下降法[15]，本文將重點(diǎn)研究迭代閥值法，軟閥值收縮算子Sτ(·)是算法的關(guān)鍵。

設(shè)矩陣x∈Rm×n，對任意給定的正數(shù) τ，定義其中

對去噪前圖像信號進(jìn)行小波分解，設(shè)定一個(gè)閾值，對幅值大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行保留，幅值小于閾值的小波系數(shù)置為零，從而恢復(fù)出有效信號，實(shí)現(xiàn)去噪處理。

1.2.2 迭代閾值算法（IST）

我們考慮解決以下一般性問題：

式中：l(w)是連續(xù)可微的；r(w)是一個(gè)非光滑非凸的連續(xù)函數(shù)；f(w)是從下面有界的。我們提出的一般迭代收縮和閾值化(IST)算法通過生成序列{w(k)}來解決公式（2）。

公式（3）等價(jià)于下面的近端算子問題：

因此，在IST 中，我們首先沿方向-?l(w(k))執(zhí)行步長為1/t(k)的梯度下降。其中：

a）步長初始化

初始化步驟大小采用Barzilai Borwein（BB）規(guī)則，其使用一個(gè)對角矩陣t(k)I近似黑塞矩陣?2l(w)，當(dāng)w=w(k)表示為

然后將t(k)在外迭代k處初始化為

b）線搜索標(biāo)準(zhǔn)

線搜索準(zhǔn)則是要求目標(biāo)函數(shù)值單調(diào)遞減，在外迭代k處滿足以下單調(diào)行搜索條件：

如果w(k+1)使目標(biāo)函數(shù)值小于前面出現(xiàn)的最大m（m＞1），迭代如下：

總結(jié)上述過程，我們可得到迭代閥值算法具體步驟如下：

1）選擇參數(shù)η＞1 和tmin，tmax且0＜tmin＜tmax;

2）初始化迭代計(jì)數(shù)器k←0 和有界起點(diǎn)w(0)；

3）Repeat；

4）t(k)∈[tmin,tmax]；

5）Repeat；

7）t(k)←ηt(k)；

8）Until 滿足線性搜索條件；

9）k←k+1；

10）Until 滿足停止標(biāo)準(zhǔn)。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖3 為實(shí)驗(yàn)硬件結(jié)構(gòu)圖。它主要由照明系統(tǒng)、圖像成像系統(tǒng)和圖像采集系統(tǒng)組成。照明系統(tǒng)由可編程LED 陣列、Arduino 控制器構(gòu)成，LED為32×32 可編程LED 陣列，相鄰LED 間距為4 mm。圖像成像系統(tǒng)由放大倍數(shù)為4 倍、等效數(shù)值孔徑NA為0.1 的物鏡和195 mm 共軛的平場物鏡（PH100系列生物顯微鏡）構(gòu)成。圖像采集系統(tǒng)由KUYNICEIUA2 0000KPA 工業(yè)數(shù)字相機(jī)和ImageView 軟件等構(gòu)成。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

首先，USAF 分辨率板到LED 平面的距離為98.8 mm，通過對Arduino 控制器進(jìn)行編碼控制LED 陣列，用中心區(qū)域的15×15 個(gè)LED 作為光源，LED 中心波長為625.4 nm，再由成像系統(tǒng)采集低分辨率圖像，由ImageView 軟件進(jìn)行調(diào)參設(shè)置及圖像保存。共采集225 張分辨率為440×440 pixels 圖像，對采集的低分辨率圖像做3 組對比試驗(yàn)：用采集的低分辨率圖像原圖和經(jīng)凸優(yōu)化處理、中值濾波處理后的低分辨率圖像分別進(jìn)行重構(gòu)，得到高分辨率圖像，傅里葉疊層成像技術(shù)對采集的原圖進(jìn)行重構(gòu)得到高分辨率圖像。圖片處理和重構(gòu)過程在Matlab2018b 上完成。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖Fig.4 Diagram of experimental results

表1 為3 組實(shí)驗(yàn)所得圖像的質(zhì)量評價(jià)結(jié)果。由表中數(shù)據(jù)可以得知，中值濾波處理后的重構(gòu)圖像和低分辨率原圖的重構(gòu)圖像PSNR 和SSIM 值十分相近，而凸優(yōu)化處理后重構(gòu)的圖像的PSNR和SSIM 值明顯更高，圖像質(zhì)量更高，且時(shí)間損耗并不大。從重建實(shí)驗(yàn)圖片看，重建的結(jié)果還不是很好，造成此現(xiàn)象的原因是采集時(shí)點(diǎn)亮的LED 燈的數(shù)量會影響采集的低分辨率圖像質(zhì)量，從而影響重構(gòu)高分辨率圖像質(zhì)量。在之后的實(shí)驗(yàn)里，我們將通過每次隨機(jī)點(diǎn)亮1 個(gè)、4 個(gè)、8 個(gè)、16 個(gè)LED 來獲取低分辨率圖像，從而重建高分辨率圖像，再通過圖像質(zhì)量評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對比得出了相對最優(yōu)照明策略，提高重構(gòu)高分辨率圖像質(zhì)量。

表1 重建圖像質(zhì)量評價(jià)結(jié)果Table 1 Quality evaluation results of reconstruction images

3 結(jié)論

本文根據(jù)FPM 中采集的大量低分辨率圖像會直接影響高分辨率圖像的重構(gòu)質(zhì)量，提出了對低分辨率圖像進(jìn)行凸優(yōu)化處理，以達(dá)到重構(gòu)圖像質(zhì)量提升的目的。文中著重介紹了凸優(yōu)化相關(guān)理論和迭代閾值算法，并進(jìn)行了3 組對比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：迭代收縮過程中采用了BB 規(guī)則，提高了迭代速度，并不會產(chǎn)生太多的時(shí)間損耗，且凸優(yōu)化與傳統(tǒng)的去噪方法相比會減少圖像原始信息的丟失，重構(gòu)出的圖像PSNR、SSIM 為27.634 6 dB和0.926 1，處理時(shí)間為5.850 s，與另外2 組相比有了明顯提升，因此基于凸優(yōu)化的傅里葉疊層成像技術(shù)具有時(shí)間損耗不大的情況下提高重構(gòu)圖像質(zhì)量的優(yōu)點(diǎn)。