數(shù)學課堂教學促進學生深度學習的思考

提升數(shù)學課堂教學的效率與品質，教師需要在促進學生深度學習方面下功夫。一般而言，深度學習是指在教師的組織和引領下，學生在面對具有挑戰(zhàn)性的學習材料或問題驅動下，全身心地主動參與課堂學習活動，從而獲得能力發(fā)展的學習進程。深度學習是提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的手段，教師在數(shù)學課堂教學中要積極探索促進學生深度學習的有效路徑。

一、在對話交流中進入深度學習

數(shù)學知識可以分為隱性知識和顯性知識。隱性知識是指高度個體化的，難以形式化或溝通的，難以直接表達或與他人共享的知識，通常以個人的經(jīng)驗、印象、感悟等形式存在;顯性知識是指能夠以一種系統(tǒng)的方法表達的正式而規(guī)范的知識，通常以語言、公式等結構化的形式呈現(xiàn)。在數(shù)學教學中，教師比較注重顯性知識的教學，容易淡化或忽略數(shù)學隱性知識。提升學生的學習品質，促進學生的深度學習，教師除了優(yōu)化教學內容，創(chuàng)設適切的學習活動場景，還要注重隱性知識的教學，引導學生在對話交流中內化隱性知識，促進學生思維的發(fā)展。

以教學“平均數(shù)”為例：平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的一般水平，具有虛擬性的特點。這樣的描述性語言，學生容易記憶，而“總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)”這樣的計算公式，學生也容易接受和理解。那么，學生如何理解“代表一般水平”“虛擬性”的含義呢？這就涉及將隱性知識進行內化的問題，也是教學的難點。假如學生的學習處于淺層次，沒有深入理解其內涵，沒有進行深度探究，就難以突破這一學習難點。因此，教師在教學中要創(chuàng)設豐富的、具有對話交流空間的學習情境，讓學生在對話交流中逐漸進入深度學習狀態(tài)，進而理解數(shù)學概念及內涵。

教師可以創(chuàng)設下面的學習情境：二年級學生要進行60米短跑比賽，班主任要求大家回家練習，并填寫匯報單“60米，我跑了（? ）秒”。

A同學練習時跑了五次，成績分別是15秒、14秒、12秒、10秒、14秒。A同學填寫的匯報單如下：60米，我跑了（15）秒。不過，他想了想，還是劃掉了。于是，師生在課堂上針對A同學的匯報單展開了下面的對話。

師：A同學第一次填寫的是15秒，之后又劃掉了。這是為什么？

生：因為這是他跑得最差的成績。

師：A同學第二次填寫的是10秒，想了想還是劃掉了。這又是為什么？

生：這是他跑得最好的成績，可能擔心真正比賽時跑不出那么好的成績，有點心虛。

師：A同學第三次填寫的是14秒。你覺得他為什么填寫14秒呢？

生：因為他跑了五次，其中有兩次是14秒，所以填14秒比較合適。

師：但A同學想了想，還是劃掉了。這又是為什么？

生：也許他認為自己跑得慢，有點不好意思。

師：A同學第四次填寫的是12秒，想了想還是劃掉了。你猜這又是為什么？

生：可能他認為這個時間還是顯得快了些，心虛。

這時，B同學認為填寫13秒比較合適，因為（15+14+12+10+14）÷5=13。

師：（故作驚訝）這是為什么呢？同學們，可以填13秒嗎？

生：沒有出現(xiàn)過13秒，不可以。

生一時無法做出判斷，議論紛紛。

生C：A同學跑了五次，沒有出現(xiàn)過13秒，但是這并不意味著后面不會出現(xiàn)，也許跑到第六次就出現(xiàn)13秒了呢。

生C用概率知識進行了推測。在師生的多次對話與交流中，教師逐步引導學生認識代表一般水平的、具有虛擬性的數(shù)，即平均數(shù)。這個過程使得原本理解了“求平均數(shù)方法”這一顯性知識的學生又陷入了思考當中，重新經(jīng)歷了一個由清晰到模糊再到清晰的過程，這是學生領會“平均數(shù)虛擬性”這一數(shù)學隱性知識的過程，也是學生在對話交流中進入深度學習的過程。

二、在豐富經(jīng)驗中走向深度學習

深度學習是在理解學習的基礎上，以培養(yǎng)良好思維能力、反思能力和解決問題能力為目標的一種品質學習。在數(shù)學教學中促進學生深度學習，其實就是讓學生在一定的情境沖突中主動地、專注地、批判性地學習，并自然地進入主動探究問題的狀態(tài)，能夠從多維視角分析數(shù)學問題。再者，學習過程是一個知識經(jīng)驗不斷豐富的過程，經(jīng)驗豐富的程度影響著學習的深度。因此，促進學生深度學習的教學不應平鋪直敘，而應促使學生不斷深入思考且思維呈螺旋上升態(tài)勢，這樣才有利于不斷豐富有效經(jīng)驗。

學習“負數(shù)的認識”這一內容，當學生理解了負數(shù)的相對意義關系和相反意義的規(guī)定性后，教師給出圖1并提出問題：“小華的身高用-2厘米表示可以嗎？”有的學生認為可以，有的學生認為不可以。此時，教師可以組織學生分組討論。學生討論的過程就是明確知識內涵的過程，也是深入探究問題的過程。

師：請兩個小組分別派一名代表闡述本組的觀點和理由。

生1：嬰兒出生時都有高度，何況是小華，所以，不能用-2厘米表示小華的身高。

生2：如果以一個同學身高120厘米作為標準，小華身高118厘米，那么，小華身高可以表示為-2厘米。

有的學生點頭表示認可生2的觀點。

師：給你提供一個信息，全國12周歲兒童身高的正常范圍是140—160厘米。

生：小華身高158厘米，如果以160厘米作為標準，記作0，小華身高可以表示為-2厘米。

師：如果以140厘米作為標準呢？

生：小華身高可以表示為+18厘米。

師：同樣是小華的身高，為什么既可以用正數(shù)表示，又可以用負數(shù)表示？

生：以哪個作為“0”的標準非常重要。

師：好一個變化多端的“0”呀！看來，確定標準是什么十分關鍵。一旦“標準”發(fā)生了變化，就會引起正負數(shù)的變化。如果分別以140厘米、160厘米這兩個數(shù)作為標準，你能表示自己的身高嗎？

這樣的練習結合了生活中的數(shù)學場景，通過對話、分析，學生明白了“標準”的重要性。當教師提出問題：小華的身高用-2厘米表示可以嗎？學生在分析和討論中逐漸明白了“-2厘米”是小華身高與某一標準量進行比較后的相對結果，并且隨著經(jīng)驗認知不斷豐富以及“標準”發(fā)生變化，會意識到這一相對數(shù)值將由負數(shù)變?yōu)?或變?yōu)檎龜?shù)。學生將經(jīng)歷從“已有知識→矛盾沖突→經(jīng)驗豐富→打破平衡→重新建構”的過程，思維逐層遞進，變得活躍而靈動。

學生對數(shù)字“0”比較熟悉，“0”既可以表示沒有，又可以表示起點。受已有知識經(jīng)驗的影響，學生學習負數(shù)的時候，能夠快速領會數(shù)字“0”是正數(shù)與負數(shù)的分界點。可以說，學生學習“負數(shù)”之前，對數(shù)字大小表示多與少的認識比較深刻。因此，教師在教學“負數(shù)”時要強調，“數(shù)”不僅表示多與少，還表示一種狀態(tài)。這個認知過程是學生經(jīng)驗不斷變得豐富的過程，最明顯的表現(xiàn)是對數(shù)字“0”的認識。這種相對性的認知體驗，是學生提升數(shù)感的過程。因此，靜態(tài)數(shù)字“0”顯然不足以揭示“負數(shù)”產(chǎn)生的必要性，要使學生真正體會正數(shù)和負數(shù)的規(guī)定性與相對性，必須對數(shù)字“0”進行辨析，使學生的經(jīng)驗變得豐富，并且開始進入一種主動探究的狀態(tài)。

三、在思維碰撞中實現(xiàn)深度學習

有人說，好課沒有標準，但是一節(jié)好課往往能夠讓學生在解決問題的過程中產(chǎn)生思維的碰撞。教學中，教師要讓學生不斷地挑戰(zhàn)富有思辨性的數(shù)學問題，通過師生互動、生生互動進入深度思考，從中習得知識與技能、積累經(jīng)驗、發(fā)展思維，進入深層學習狀態(tài)。

教學“平行與垂直”這一內容時，當學生理解了“同面，永遠不相交的兩條直線，互相平行”這一知識點后，有的教師認為教學到這里就可以了。筆者以為，教學還不夠深入，而應在此基礎上引導學生思考問題：“異面，永遠不相交的兩條直線，是否互相平行？”從數(shù)學學理層面看，“異面”兩條直線平行是不存在的，但從學生經(jīng)驗層面看，“異面”兩條平行直線是存在的。圍繞這個知識點，教師可以引導學生積極思考問題，做法如下：

師：假如兩條直線同時在電腦屏幕這個平面，我們可以說“同面，永遠不相交的兩條直線互相平行”。如果a∥b，那么直線b平移到任何位置都將與直線a平行或重合，直線b可以上下平移并停留，請問它有多少個地方可以停留？

生：無數(shù)個地方可以停留。

師：如果我們在直線b每一個停留的地方用淡灰色表示，這些淡灰色區(qū)域將會形成什么？

生：形成一個淡灰色的平面。

師：（課件演示線動成面）同面，永遠不相交的兩條直線，互相平行，即a∥b。有同面，就有異面，如果把直線b請出電腦平面，放到紙板平面上，直線a與直線b就成為異面直線。那么，異面，永遠不相交的兩條直線，也互相平行嗎？老師為大家準備了學具，請你擺一擺，議一議。

生動手擺放學具并展示，認為兩條直線有可能平行，也有可能不平行。

師：異面的兩條直線永遠不相交，是互相平行的，那么，平移直線a慢慢靠近直線b，直線a平移留下的痕跡將會變成一個面。你能用手比畫一下這個面嗎？

生用手比畫想象中的第三個平面。

師：第三個平面產(chǎn)生，直線a與直線b又在第三個平面同面了。（課件演示）你能在教室找到這樣異面的永遠不相交的兩條直線互相平行嗎？

生觀察、交流，思考。

以上操作活動，從“同面，永遠不相交的兩條直線，互相平行”到“異面，永遠不相交的兩條直線，可能平行，也可能不平行”，再到“異面，永遠不相交的兩條直線互相平行，平移其中一條直線慢慢靠近另一條直線，平移軌跡形成第三個面，這兩條直線又會在同面”。這個從異面到同面的辯證統(tǒng)一的過程，是學生深度思考的過程，在此過程中，學生的思維發(fā)生了碰撞，空間觀念得到了培養(yǎng)。

四、在回顧與反思中實現(xiàn)深度學習

解決問題是數(shù)學教學的常態(tài)。教師設置什么樣的問題，在什么時間以什么樣的形式呈現(xiàn)問題，對問題的解決如何進行追蹤評價，都需要精心設計。教師要善于組織學生回顧和反思解題的過程，讓學生掌握解題的方法，以合理的教學秩序構建學生自主學習的秩序，從而提高深度學習的有效性。

比如，用“1、2、3、4、5”這五個數(shù)字組成三位數(shù)乘兩位數(shù)（數(shù)字不重復使用），使得乘積最大。首先，要求學生用“2、3、4、5”這四個數(shù)字組成數(shù)位上沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)，看看能組成多少個？然后教師提出問題：“從這些兩位數(shù)中任選一組兩位數(shù)，使兩個兩位數(shù)相乘，乘積盡可能大，并說明理由?！睂W生最后聚焦到52×43或53×42這兩個算式，這體現(xiàn)了估算的理念。接著教師可以追問：“到底哪一個算式乘積更大呢？”學生經(jīng)過思考后一般有以下結論：一是運用常規(guī)思維直接計算結果，比較積的大小;二是運用估算思維，比較兩個算式結果的大小，看較大乘數(shù)的十位和較小乘數(shù)的個位，前者是3個50，后者是2個50，前者比后者多出1個50，因此，前面的算式結果要大;三是運用求聯(lián)思維，即周長一定，長方形的長與寬越接近，積越大。接著，教師再次提問：“如果再給你一個數(shù)‘1，用‘1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成三位數(shù)乘兩位數(shù)（數(shù)位上的數(shù)字沒有重復），使乘積最大?！边@個問題就是本課學習的難點，有利于推動學生思維的發(fā)展。學生可以在算式52×43的基礎上完成思維的挑戰(zhàn)，一般有兩種結論：521×43或52×431，當學生無法直接確定算式結果大小時，教師可以引導學生進行筆算驗證。最后，教師引導學生回顧學習過程，總結學習經(jīng)驗，然后拋出問題：“如果用‘2、5、7、8、3這五個數(shù)字組成三位數(shù)乘兩位數(shù)（數(shù)位上的數(shù)字沒有重復），積要最大，怎么辦？”

該教學過程大致圍繞五個環(huán)節(jié)展開：數(shù)的組成→兩位數(shù)乘兩位數(shù)積的大小策略優(yōu)化比較→三位數(shù)乘兩位數(shù)積的大小比較的問題解決→回顧和反思學習過程→方法的習得、遷移與強化。教師引導學生回顧學習過程，就是學生習得學習方法的過程，也是積累學習經(jīng)驗的過程，有利于學生從學習“術”的層面向“道”的層面推進，是學生從淺層學習走向深度學習的過程，更是提高課堂效度的對策。

圍繞深度學習促進學生學習品質的提升，是教師教學實踐的重要課題，這個課題不是常規(guī)教學可以實現(xiàn)的，也并非一朝一夕能夠完成的，這需要教師用心、用力、用智慧去探索與實踐，在實踐中不斷反思，在反思中不斷調整，最終找到有效的教學路徑。

（作者簡介：張翼文，浙江省特級教師，正高級教師，杭州師范大學講習教授）

（責編 歐孔群）