羅紅俊，馬 龍，張官祥，魏春陽，陳緒鵬，金學(xué)銘，李超順

（1.中國長江電力股份有限公司白鶴灘電廠，四川涼山615400；2.華中科技大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，武漢430074；3.長江三峽能事達(dá)電氣股份有限公司，武漢430000）

水輪發(fā)電機(jī)組具有時(shí)變、強(qiáng)非線性、非最小相位等特性，實(shí)現(xiàn)其精確建模一直是學(xué)術(shù)和工程應(yīng)用研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是實(shí)現(xiàn)高品質(zhì)控制的基礎(chǔ)。

建立被控對象的數(shù)學(xué)模型的方法大致可分為機(jī)理建模和系統(tǒng)辨識兩種方法。前者基于對系統(tǒng)特性和內(nèi)部機(jī)理的清晰認(rèn)知，后者是一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的建模方法。由于水輪機(jī)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)規(guī)律非常復(fù)雜，人們目前還無法給出水輪機(jī)的精確解析模型。而利用系統(tǒng)辨識方法可以建立能準(zhǔn)確表達(dá)水輪發(fā)電機(jī)組的數(shù)學(xué)模型，克服解析法因機(jī)理不清或結(jié)構(gòu)表述困難而難以準(zhǔn)確建模的問題。

T-S 模糊模型是復(fù)雜系統(tǒng)辨識的有力工具，它結(jié)構(gòu)簡單并且能夠以任意精度逼近非線性系統(tǒng)［1］。前提參數(shù)辨識和結(jié)論參數(shù)辨識是T-S 模糊模型辨識的兩大部分，通常采用模糊聚類算法來進(jìn)行前提部分辨識［2-7］。聚類算法將輸入空間劃分成若干子空間，每個(gè)子空間對應(yīng)一個(gè)局部線性子模型。以模糊C 均值［8］為代表的基于點(diǎn)原型的聚類算法將輸入數(shù)據(jù)空間劃分成超球形，僅通過樣本與中心之間的幾何距離來定義聚類，并不能很好地保障子模型的線性度。為了克服這一局限，Hathaway 和Bezdek［9］對模糊C 均值進(jìn)行了改進(jìn)，得到模糊C 回歸模型聚類算法。由此，發(fā)展了一系列基于超平面型聚類的T-S 模糊模型辨識方法［10-14］。

為了提升聚類效果，進(jìn)一步提高模糊模型辨識精度，筆者對于模糊C 回歸算法進(jìn)行了改進(jìn)。首先，筆者應(yīng)用改進(jìn)后的模糊C 回歸算法進(jìn)行前提部分辨識。初始化聚類超平面，通過最小化聚類目標(biāo)函數(shù)求得聚類樣本對于超平面的隸屬度，并將得到的回歸方程與系統(tǒng)實(shí)際輸出之間的距離的倒數(shù)作為權(quán)值賦予各樣本的隸屬度，加權(quán)后的隸屬度構(gòu)成的對角矩陣作為加權(quán)最小二乘法的權(quán)重矩陣，用以更新聚類超平面。在迭代達(dá)到精度要求后，即得到最優(yōu)聚類結(jié)果。然后，采用新提出的超平面型隸屬度函數(shù)計(jì)算樣本隸屬于模糊規(guī)則的隸屬度。最后，利用帶遺忘因子的遞推最小二乘法在線辨識結(jié)論參數(shù)。將所提出的模糊辨識方法用于辨識某水電廠的水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所得模型的高精度和強(qiáng)泛化能力。

1 T-S模糊模型

T-S模糊模型分為前提部分和結(jié)論部分，以第i條模糊規(guī)則為例，T-S模糊模型［1］的結(jié)構(gòu)如下：

對于第k個(gè)輸入向量，模型的最終輸出以加權(quán)解模糊的形式表示：

式中：f i(xk)為第k個(gè)輸入向量對于第i條模糊規(guī)則的總隸屬度。

2 T-S模糊模型辨識方法

2.1 前提部分辨識

模糊C回歸聚類算法［9］中，第i類中的數(shù)據(jù)樣本符合同一個(gè)線性回歸模型：

其中X=[xk1]n×(M+1)，y=[yk]n×1，以樣本對于聚類超平面的隸屬度構(gòu)成的對角矩陣作為權(quán)重Pi。

2.2 基于改進(jìn)模糊C回歸聚類的前提參數(shù)辨識

模糊C回歸算法的聚類目標(biāo)函數(shù)為：

式中：U=[uik]c×n，m為模糊加權(quán)指數(shù)；Eik為系統(tǒng)輸出與聚類超平面間的距離誤差：

基于改進(jìn)模糊C回歸聚類的前提參數(shù)辨識方法的具體步驟如下：

（1）設(shè)置相關(guān)參數(shù)。構(gòu)造輸入輸出數(shù)據(jù)對(xk，yk)，給定聚類數(shù)c，模糊加權(quán)指數(shù)m，迭代終止閾值ε以及最大迭代次數(shù)Tmax。

（2）計(jì)算最優(yōu)聚類超平面。

①令t= 0，按照式（4）初始化聚類超平面，其中權(quán)重矩陣P的初值取為單位矩陣。

②依據(jù)式（6）計(jì)算誤差值Eik。

③以（5）為目標(biāo)函數(shù)，用拉格朗日乘子法求解聚類樣本(xk，yk)隸屬于超平面的隸屬度：

④對計(jì)算超平面所用的矩陣P進(jìn)行改進(jìn)。

以誤差值的倒數(shù)wik作為權(quán)值賦給相應(yīng)的隸屬度uik，由加權(quán)后的隸屬度構(gòu)成Pi進(jìn)行接下來的迭代計(jì)算。

⑤利用式（4）更新聚類超平面。

⑥t=t+1，重復(fù)執(zhí)行步驟②至⑥，直到或者t> Tmax。達(dá)到終止條件后，輸出超平面參數(shù)向量ωi。

（3）利用新提出的超平面型隸屬度函數(shù)計(jì)算各樣本的隸屬度。

式中：η為調(diào)節(jié)系數(shù)；dik(ωi)表示第k個(gè)樣本到第i個(gè)聚類超平面的距離，由下式定義：

由于誤差值Eik表示實(shí)際輸出與聚類超平面之間的距離，它的值越小，樣本(xk，yk)的權(quán)重越大，因此提出了誤差值的倒數(shù)wik這一指標(biāo)用于改進(jìn)加權(quán)矩陣Pi。改進(jìn)后的加權(quán)矩陣可以加快迭代計(jì)算的收斂速度，使得聚類超平面朝著更優(yōu)的方向更快地更新。新提出的超平面型隸屬度函數(shù)避免了將超平面轉(zhuǎn)化為超球形聚類參數(shù)，不僅保留了超平面聚類在T-S 模糊模型辨識中的優(yōu)勢，而且減少了額外的計(jì)算量。

2.3 結(jié)論參數(shù)辨識

將n個(gè)輸入輸出數(shù)據(jù)對(xk，yk)(k= 1，2…n)整理成矩陣形式：

本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法按照以下步驟來辨識式（12）中的結(jié)論參數(shù)。

①將系數(shù)矩陣A和系統(tǒng)輸出y對應(yīng)地劃分為若干塊，每一塊包含若干個(gè)向量或僅包含一個(gè)向量。

②令k= 0，k代表待處理數(shù)據(jù)塊的編號。按照式（15）初始化結(jié)論參數(shù)，并用式（16）初始化迭代參數(shù)P（0）。

③k=k+ 1，計(jì)算相應(yīng)的參數(shù)值：

結(jié)論參數(shù)得到后，可計(jì)算出與輸入數(shù)據(jù)塊相應(yīng)的輸出估計(jì)值向量：

④重復(fù)步驟③直到所有的數(shù)據(jù)塊處理完畢，那么就得到了最終的結(jié)論參數(shù)以及完整的預(yù)測輸出序列。

帶遺忘因子的遞推最小二乘法賦予新的觀測值更高的權(quán)重，并逐漸遺忘舊的樣本，它的應(yīng)用使得辨識得到的模型可以隨著系統(tǒng)的變化實(shí)時(shí)地調(diào)整結(jié)論參數(shù)，這些是普通最小二乘法無法實(shí)現(xiàn)的。

3 水輪發(fā)電機(jī)組模型辨識

以混流式機(jī)組為例，水輪發(fā)電機(jī)組主要包含有壓引水系統(tǒng)、水輪機(jī)和發(fā)電機(jī)三部分。水輪機(jī)采用全特性數(shù)學(xué)模型，引水系統(tǒng)采用時(shí)滯方程模型，發(fā)電機(jī)采用一階慣性環(huán)節(jié)［15］。水輪發(fā)電機(jī)組結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 水輪發(fā)電機(jī)組結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of hydro-turbine generating unit

目前還無法建立精確的水輪機(jī)模型，因此實(shí)現(xiàn)水輪發(fā)電機(jī)組的高精度建模仿真比較困難。考慮到利用系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)集進(jìn)行系統(tǒng)辨識可以得到精確模型，我們采用基于改進(jìn)模糊C 回歸聚類的T-S 模糊模型辨識方法對水輪發(fā)電機(jī)組進(jìn)行建模。

圖2所示模型辨識圖說明了水輪發(fā)電機(jī)組模型辨識的過程。將水輪發(fā)電機(jī)組視為一個(gè)整體，以其輸入輸出構(gòu)建數(shù)據(jù)對樣本，通過改進(jìn)模糊C回歸算法得到聚類超平面參數(shù)，然后利用新提出的超平面型隸屬度函數(shù)計(jì)算各樣本的隸屬度，最后采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法辨識結(jié)論參數(shù)。利用辨識所得模型參數(shù)，可計(jì)算模型輸出，即轉(zhuǎn)速估計(jì)值序列。

圖2 水輪發(fā)電機(jī)組模型辨識圖Fig.2 The identification diagram of hydro-turbine generating unit model

4 仿真實(shí)例

本節(jié)首先采用3 個(gè)常用的非線性對象作為實(shí)例，以驗(yàn)證所提辨識方法與其他方法相比具有更佳的性能。然后，將所提方法用于某水電站水輪發(fā)電機(jī)組的模糊辨識。

為了衡量辨識性能，我們采用均方差MSE作為性能指標(biāo)：

式中：yk和分別為第k個(gè)系統(tǒng)輸出和模型輸出。

4.1 一維Sinc函數(shù)建模

一維Sinc 函數(shù)是先前文獻(xiàn)［16］提出的用于測試建模精度的示例，定義如下：

從[-40，0) ∪(0，40]中均勻采樣121 個(gè)輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)，并產(chǎn)生對應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)，用這121 個(gè)輸入輸出數(shù)據(jù)對進(jìn)行建模。對數(shù)據(jù)集進(jìn)行劃分，用于初始化的數(shù)據(jù)塊大小為52，約占訓(xùn)練集數(shù)據(jù)總數(shù)的40%，其余的數(shù)據(jù)塊大小設(shè)置為1。取模糊指數(shù)為m= 2，模糊規(guī)則數(shù)為c= 4，取遺忘因子為λ= 0.95；根據(jù)試錯(cuò)法，確定調(diào)節(jié)系數(shù)為η= 4.8。將結(jié)果與基于模糊C 均值算法的辨識方法以及基于模糊C回歸聚類轉(zhuǎn)化為超球形隸屬度的辨識方法進(jìn)行比較。圖3展示了應(yīng)用本文所提方法得到的模型辨識結(jié)果，與其他方法的精度對比在表1 中給出。表中，傳統(tǒng)方法1指基于模糊C 均值算法的辨識方法，傳統(tǒng)方法2 指基于模糊C回歸聚類和高斯超球形隸屬度的辨識方法。表1結(jié)果表明本文辨識方法比其他兩種方法具有更高的建模精度。

圖3 本文方法對于一維正弦函數(shù)的辨識結(jié)果Fig.3 The identification result of our approach for the one-dimensional Sinc function

表1 3種方法對于一維正弦函數(shù)辨識精度比較Tab.1 Comparison of the identification accuracy of three methods for the one-dimensional Sinc function

4.2 非線性差分方程建模

選用如下二階非線性差分方程進(jìn)行模糊建模，這個(gè)例子摘自Sugeno等人的研究［17］。

首先，輸入500 個(gè)[-2，2]上均勻隨機(jī)分布的輸入信號u(k)，產(chǎn)生500 個(gè)訓(xùn)練樣本用以建立T-S 模糊模型。用于初始化的數(shù)據(jù)塊大小為200，其余的數(shù)據(jù)塊大小設(shè)置為1，取m= 2，c= 4，λ= 0.95，η= 4.6。其次，輸入一個(gè)正弦信號u(k) =sin(2k/25)產(chǎn)生500個(gè)測試樣本用來測試辨識所得模型的性能，測試數(shù)據(jù)塊的大小取為1。圖4 顯示了采用本文所提方法對該非線性方程進(jìn)行建模和測試的結(jié)果，與其他方法的對比在表2列出。表2 說明本文所提方法不僅具有更高的辨識精度，還具有更強(qiáng)的泛化能力。同時(shí)，以這一示例為例，給出最終模型對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)。

圖4 本文方法對于非線性差分方程的辨識結(jié)果Fig.4 The identification result of our approach for the nonlinear difference function

表2 3種方法對于非線性差分方程辨識精度比較Tab.2 Comparison of the identification accuracy of three methods for the nonlinear difference function

表3 對于非線性差分方程所建模型的參數(shù)列表Tab.3 List of parameters of the model built for the nonlinear difference function

4.3 Mackey-Glass混沌系統(tǒng)建模

Mackey-Glass 混沌微分時(shí)延方程是用于比較不同模型學(xué)習(xí)及泛化能力的有力工具，Mackey-Glass 混沌時(shí)間序列由式（22）生成：

為實(shí)現(xiàn)更高的預(yù)測精度，使用x（t-18），x（t-12），x（t-6）和x（t）這4 個(gè)過去的值，來預(yù)測值x（t+6）的序列。在本文中，從Mackey-Glass 混沌時(shí)間序列中選取1 000 個(gè)輸入-輸出數(shù)據(jù)對［x（1 001），…，x（2 000）］作為數(shù)據(jù)集，其中前500 個(gè)數(shù)據(jù)對［即x（1 001），…，x（1 500）］用作訓(xùn)練集；剩余的500 個(gè)數(shù)據(jù)對［即x（1 501），…，x（2 000）］用作測試集。取m= 2，c= 10，λ= 0.95，η= 5.3。建模階段用于初始化的數(shù)據(jù)塊大小為191，其余的數(shù)據(jù)塊大小設(shè)置為1。

圖5展示了采用本文辨識方法對Mackey-Glass混沌時(shí)間序列進(jìn)行建模和測試的結(jié)果，與其他方法的對比記錄在表4 中。從表4可以看出，辨識所得的模型精度高，泛化能力強(qiáng)。

圖5 本文方法對于Mackey-Glass混沌時(shí)間序列的辨識結(jié)果Fig.5 The identification result of our approach for the Mackey-Glass chaotic time series

表4 3種方法對于Mackey-Glass序列辨識精度比較Tab.4 The parameter vectors of the model built for the nonlinear difference equation

為了證明本文所提的改進(jìn)聚類算法比模糊C回歸聚類算法具有更快的收斂速度，將3 個(gè)示例下兩種聚類算法的運(yùn)行時(shí)間記錄在表5。

從表5 可以看出，改進(jìn)后的超平面聚類算法具有更高的聚類效率，可以更快得到最優(yōu)聚類超平面。再結(jié)合辨識結(jié)果可知，精度和速率都得到了提升。

表5 3個(gè)示例下兩種聚類算法耗時(shí)Tab.5 The time-consuming of two clustering algorithms under three examples

4.4 水輪發(fā)電機(jī)組模糊模型辨識

依據(jù)某水電站水輪發(fā)電機(jī)組的輸入輸出采樣數(shù)據(jù)，可以建立水輪發(fā)電機(jī)組的T-S模糊模型。本文考慮水輪發(fā)電機(jī)組的輸入輸出序列分別為導(dǎo)葉開度u(t)和轉(zhuǎn)速y(t)，基于系統(tǒng)的輸入輸出采樣值構(gòu)造模型的輸入輸出數(shù)據(jù)對[xk，yk]，其中xk=[u(k- 1)，u(k- 2)，y(k- 1)，y(k- 2)，y(k- 3)]是由歷史開度和轉(zhuǎn)速組成的維數(shù)為M= 5的模型輸入向量，yk為第k個(gè)時(shí)刻的轉(zhuǎn)速y(k)。選取同一種水頭下的雙機(jī)開機(jī)、同時(shí)甩負(fù)荷、同時(shí)減3%負(fù)荷、同時(shí)減8%負(fù)荷4 種情況下1 號機(jī)組的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集進(jìn)行建模，在另一種水頭下分別測試辨識所得模型在各種工作狀態(tài)下的精度。取m= 2，c= 2，λ= 0.95，η= 5.6。訓(xùn)練階段，輸入的是輸入輸出數(shù)據(jù)對的隨機(jī)序列，用于初始化的數(shù)據(jù)塊大小為訓(xùn)練集數(shù)據(jù)總數(shù)的40%，其他數(shù)據(jù)塊大小為10。訓(xùn)練所得的模型精度可達(dá)7.475 7×10-14，辨識結(jié)果如圖6所示。

圖6 本文方法對于該水輪發(fā)電機(jī)組的辨識結(jié)果Fig.6 The identification result of our approach for the hydro-turbine generating unit

在測試階段，用辨識得到的模型對于另一水頭下甩負(fù)荷，雙機(jī)開機(jī)，減3%負(fù)荷以及減8%負(fù)荷4 種情況依次進(jìn)行測試，數(shù)據(jù)塊的大小依次取為10，25，35，50。以雙機(jī)開機(jī)為例給出測試結(jié)果，如圖7所示。

圖7 辨識所得模型對于雙機(jī)開機(jī)的測試結(jié)果Fig.7 Testing results of the identified model for dual machine startup

具體的訓(xùn)練和測試性能指標(biāo)列在表6中。結(jié)果表明本文提出的方法比傳統(tǒng)方法具有更高的建模精度，并且辨識得到的模型對于不同的測試集均具有很好的辨識結(jié)果，總體優(yōu)于傳統(tǒng)方法。由此可見，本文的T-S 模糊模型辨識方法在進(jìn)行水輪發(fā)電機(jī)組辨識時(shí)具有很高的精度和相當(dāng)強(qiáng)的泛化能力。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于改進(jìn)模糊C回歸聚類算法的T-S模糊模型辨識方法用于水輪發(fā)電機(jī)組的精確建模，依據(jù)實(shí)際的輸入輸出數(shù)據(jù)建立與待辨識機(jī)組匹配的T-S模糊模型。用改進(jìn)的模糊C回歸聚類算法劃分模糊空間，提升了聚類效果；采用新提出的超平面型隸屬度函數(shù)得到前提參數(shù)，避免了轉(zhuǎn)換為超球形聚類參數(shù)帶來的優(yōu)勢削減和額外的計(jì)算量；再用帶遺忘因子的遞推最小二乘法辨識結(jié)論參數(shù)，進(jìn)一步提高了辨識精度。三個(gè)數(shù)學(xué)示例和一個(gè)水輪發(fā)電機(jī)組實(shí)例的模型辨識結(jié)果及與其他方法的對比結(jié)果表明，本文所提的模糊辨識方法具有較高的建模精度和較強(qiáng)的泛化能力。□