譚鑫 馮龍健 胡政博 趙明華

摘? ?要：采用有限差分法對(duì)軟土地基中碎石樁單樁豎向受荷破壞全過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬研究. 引入考慮體積應(yīng)變截?cái)嗟乃苄杂不Ｐ湍M碎石樁體，能夠較好地反映碎石樁體的非線性剪脹力學(xué)行為以及由此引起的樁土相互作用. 重點(diǎn)分析了樁體鼓脹變形、樁側(cè)土壓力演化以及由此決定的單樁破壞模式與典型荷載沉降曲線. 傳統(tǒng)單樁極限承載力公式所假設(shè)的整體剪切破壞模式僅適用于剛度較大的土體，而在軟土中局部剪切破壞模式更為常見(jiàn). 為此，基于彈塑性介質(zhì)中圓孔擴(kuò)張理論推導(dǎo)了考慮樁體鼓脹變形及樁周土體剛度的碎石樁單樁承載力計(jì)算公式，并通過(guò)對(duì)比數(shù)值解驗(yàn)證了推導(dǎo)公式的有效性. 較為系統(tǒng)地研究了軟土地基中碎石樁單樁的承載機(jī)理及破壞模式，可為進(jìn)一步研究碎石樁復(fù)合地基承載機(jī)理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：碎石樁;破壞模式;極限承載力;圓孔擴(kuò)張;數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)：TU473.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Failure Mode and Calculation Method of Ultimate Bearing Capacity

of a Single Stone Column in Soft Soil under Vertical Loading

TAN Xin1，2，F(xiàn)ENG Longjian1，HU Zhengbo1，ZHAO Minghua1，2

（1. Institute of Geotechnical Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China;

2. Key Laboratory of Building Safety and Energy Efficiency of Ministry

of Education（Hunan University），Changsha 410082，China）

Abstract：The finite difference method is used to numerically simulate the complete bearing and failure process of a single stone column under vertical loading in soft soil. The plastic hardening constitutive model considering volumetric strain interception is used to simulate the stone column，which can well reflect the nonlinear dilatancy mechanical behavior of the stone column and the resulting column-soil interaction. The bulging deformation of the stone column，the evolution of soil stress acting on the stone column，the failure modes and the corresponding typical p-s curves are analyzed. The overall shear failure mode assumed by the traditional formula is only applicable to soils with high stiffness，while the local shear failure mode is more common in soft soils. Therefore，based on the theory of circular hole expansion in elastoplastic media，the calculation formula of ultimate bearing capacity of single stone column considering the column bulging deformation and the soil stiffness is derived. The formula is verified by the numerical simulation solution. The bearing mechanism and failure mode of the single stone column in soft soil are systematically studied，which provides a theoretical foundation for further study on the bearing mechanism of composite ground reinforced with stone columns.

Key words：stone column;failure mode;ultimate bearing capacity;circular hole expansion;numerical simulation

碎石樁復(fù)合地基能夠有效提高地基承載力、增強(qiáng)穩(wěn)定性、控制沉降，并且施工簡(jiǎn)便、快速，工程造價(jià)較低. 碎石樁加固軟弱地基的機(jī)理隨被加固土質(zhì)不同而有所差別，對(duì)松散無(wú)黏性土主要為擠密作用，而對(duì)于黏性土則以置換作用為主. 對(duì)于起置換作用的軟黏土中碎石樁單樁承載破壞機(jī)制，國(guó)內(nèi)外許多研究者都進(jìn)行過(guò)較為深入的研究[1-5].

通常碎石樁入土深度大于臨界長(zhǎng)度時(shí)，就不大可能產(chǎn)生整體刺入破壞，一般不考慮整體刺入的失穩(wěn). 大量現(xiàn)場(chǎng)及室內(nèi)試驗(yàn)[4-6]揭示當(dāng)碎石樁埋置深度超過(guò)大約4倍樁徑時(shí)，碎石樁的破壞是由樁體徑向鼓脹變形引起的. Hughes和Withers[4]認(rèn)為樁長(zhǎng)超過(guò)一定深度時(shí)，碎石樁徑向位移可以忽略不計(jì). 一般認(rèn)為碎石樁單樁在豎向荷載作用下，樁周土體提供的極限側(cè)向土壓力，可以按照三軸壓縮狀態(tài)計(jì)算碎石樁單樁極限承載力，即為樁周土體的側(cè)向約束應(yīng)力乘以散體材料內(nèi)摩擦角相關(guān)的被動(dòng)土壓力系數(shù). 大多數(shù)散體材料樁單樁承載力計(jì)算公式區(qū)別在于側(cè)向約束應(yīng)力的計(jì)算不同，最常用的是基于樁周土體沿直線滑裂面發(fā)生整體剪切破壞的Brauns公式[5].

Hughes和Withers[4]、Wong[6]和鄭剛等[7]均采用類似破壞模式，以及趙明華[3]、賈尚華[8]等采用圓孔擴(kuò)張理論推導(dǎo)了碎石樁單樁承載力公式. 但實(shí)際上樁周土體側(cè)向約束力達(dá)到其極限值的過(guò)程是隨樁體鼓脹不斷增大的動(dòng)態(tài)過(guò)程. 在樁周土體剛度較低的情況下，有可能在土體破壞失效之前樁體即由于鼓脹破壞而喪失承載能力. 因此，目前各類計(jì)算方法或未考慮土體剛度的影響，或未考慮碎石樁自身鼓脹破壞的影響，極有可能高估了軟土中碎石樁單樁極限承載力. 由于樁土之間復(fù)雜相互作用限制了解析方法的應(yīng)用，部分學(xué)者也通過(guò)數(shù)值模擬方法研究碎石樁的承載力問(wèn)題[7，9-12]. 陳建峰等[12]通過(guò)數(shù)值模擬方法研究了碎石樁夯擴(kuò)和載荷試驗(yàn)分級(jí)加載過(guò)程以及其在堆載和孔壓消散過(guò)程中的荷載傳遞和變形特性. 譚鑫和趙明華等[9-11]分別基于連續(xù)和離散數(shù)值方法模擬碎石樁單樁荷載的模型試驗(yàn)，數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較一致.

本文采用有限差分?jǐn)?shù)值方法模擬軟土中碎石樁單樁荷載試驗(yàn)，通過(guò)分析碎石樁在承載全過(guò)程中的沉降、變形及破壞過(guò)程，揭示碎石樁與樁周土體的相互作用機(jī)理與破壞模式，并根據(jù)破壞模式基于圓孔擴(kuò)張理論推導(dǎo)能夠考慮土體剛度以及樁體鼓脹變形影響的碎石樁單樁承載力計(jì)算公式.

1? ?碎石單樁豎向受荷的數(shù)值模擬

1.1? ?碎石樁體本構(gòu)模型（塑性硬化模型）

碎石材料具有典型離散顆粒材料的一系列力學(xué)特性，最典型的是與密實(shí)狀態(tài)、圍壓相關(guān)的摩擦強(qiáng)度及非線性剪脹行為. 由于軟土地基中碎石樁所受的側(cè)向土壓力相對(duì)不大，散體材料在小圍壓約束情況下一般會(huì)發(fā)生剪脹破壞，塑性硬化模型特別適合模擬散體材料屈服后的剪脹行為，因此本文在數(shù)值模擬中采用能夠考慮土體剪切硬化和體積硬化行為的塑性硬化模型來(lái)模擬碎石樁體[13]. 圖1為塑性硬化模型在三軸壓縮狀態(tài)中的應(yīng)力應(yīng)變曲線，其中偏應(yīng)力曲線（圖 1 （a））基于Duncan-Chang雙曲線模型采用摩爾庫(kù)倫強(qiáng)度線進(jìn)行截?cái)嗟玫?，截?cái)嗟钠茐谋榷x為Rf = qf /qa. 模型的剛度采用參數(shù)E50來(lái)定義，對(duì)應(yīng)的是曲線上偏應(yīng)力q = 1/2qf時(shí)的割線剛度. 參數(shù)E50滿足以下關(guān)系：

E50 = Eref50Z m? ? ? ? （1）

其中 ：

式中：σ3為最小主應(yīng)力;c為黏聚力;φ為峰值內(nèi)摩擦角;m為冪指數(shù);pref為參考?jí)毫?Eref50為與剛度相關(guān)的材料參數(shù).

圖1 （b）為塑性硬化模型的體積應(yīng)變曲線，初始體積壓縮段由材料的泊松比ν控制，非線性體積剪脹行為可發(fā)生在材料達(dá)到屈服強(qiáng)度之前，并由材料的剪脹角ψ控制. 碎石體積剪脹意味著材料從密實(shí)狀態(tài)趨于疏松，因此碎石剪脹不可能無(wú)限發(fā)展，通過(guò)設(shè)置模型的最大體積應(yīng)變?chǔ)舦，max對(duì)體積應(yīng)變曲線進(jìn)行截?cái)喾乐顾槭瘶扼w產(chǎn)生過(guò)分鼓脹. 與常規(guī)摩爾庫(kù)倫模型相比，塑性硬化模型能夠更好地反映碎石材料的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，尤其是其考慮峰值前非線性和最大體積應(yīng)變截?cái)嗟募裘浶袨榉浅＿m合模擬碎石等散體顆粒材料.

1.2? ?碎石樁單樁豎向受荷試驗(yàn)的數(shù)值模型

通過(guò)有限差分軟件FLAC3D采用塑性硬化模型對(duì)軟土中的碎石樁單樁豎向受荷的全過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬. 圖2為剛性加載下的碎石樁單樁受荷試驗(yàn)的數(shù)值模型. 參考實(shí)際工程常用尺寸建模，碎石樁樁體半徑rp為0.3 m，樁長(zhǎng)為4.8 m. 由于單樁模型的軸對(duì)稱特性，數(shù)值模型取實(shí)際模型的1/4進(jìn)行分析. 樁體模型頂部設(shè)有與樁體尺寸一致的剛性加載板，模型基底設(shè)為剛性持力層. 模型的底部和側(cè)面均設(shè)置簡(jiǎn)支約束，約束其法向位移. 樁土模型首先在重力作用下達(dá)到初始平衡狀態(tài)后，通過(guò)以恒定速率向下移動(dòng)剛性加載板對(duì)樁體施加荷載.

樁周土體采用摩爾庫(kù)倫模型，設(shè)為飽和不排水狀態(tài)，不考慮其固結(jié)過(guò)程. 樁體及土體的材料參數(shù)分別見(jiàn)表1、表2. 其中土體彈性模量選取5 MPa和20 MPa分別計(jì)算，以分析土體剛度對(duì)樁體破壞模式及承載力的影響. 在樁土界面設(shè)置不考慮厚度的接觸單元，以模擬樁土相互滑移. 界面接觸模型采用庫(kù)倫剪切滑移模型，接觸單元的剪切強(qiáng)度按照土體的抗剪強(qiáng)度進(jìn)行一定折減選取，接觸單元的法向和切向剛度滿足關(guān)系：kn = ks = 200 × （4G/3 + K），其中G為土體的剪切模量，K為土體的體積模量. 樁土界面接觸參數(shù)見(jiàn)表3.

1.3? ?碎石樁單樁承載失效全過(guò)程數(shù)值模擬

圖3為剛性加載板下的碎石樁單樁荷載試驗(yàn)全過(guò)程的荷載沉降（p-s）曲線. 根據(jù)p-s曲線（曲線0a′b′c′）的形態(tài)可將較軟土體中的整個(gè)加載過(guò)程大致分為3個(gè)階段，分別為線彈性階段（0a′）、非線性變形階段（a′b′）和樁體破壞階段（b′c′）. 不同荷載階段所對(duì)應(yīng)的土體塑性區(qū)分布見(jiàn)圖 4 （a）. 在0a′階段，樁周土體未發(fā)生屈服保持在彈性狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的p-s曲線為直線段，a′點(diǎn)（s=2 cm）時(shí)樁側(cè)少量土體單元開(kāi)始出現(xiàn)屈服;在a′b′階段，隨著豎向荷載的增加引起樁身鼓脹從而導(dǎo)致樁周土體的塑性區(qū)逐漸擴(kuò)大，該階段p-s曲線的斜率逐漸增加，在b′點(diǎn)（s=18 cm）時(shí)樁周土體屈服區(qū)范圍往側(cè)向有了較大發(fā)展;此后在b′c′階段，土體的塑性區(qū)逐漸向更寬和更深處發(fā)展但發(fā)展寬度不大，p-s曲線沒(méi)有出現(xiàn)明顯極限荷載但沉降迅速增大，該階段可認(rèn)為是樁體的破壞階段.

圖3中較硬土體中的p-s曲線（曲線0abc）同樣可分為3個(gè)類似階段. 3個(gè)階段所對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)分布見(jiàn)圖 4 （b）. 但與E = 5 MPa條件下的不同之處在于，在b點(diǎn)處（s = 23 cm），樁周土體的塑性區(qū)向上發(fā)展至地表，剪切應(yīng)變則形成了貫通至地表的連續(xù)剪切帶. b點(diǎn)以后的p-s曲線出現(xiàn)了陡降，因此可認(rèn)為碎石樁在b點(diǎn)開(kāi)始發(fā)生破壞.

碎石樁破壞后樁體及土體最終變形場(chǎng)、剪切應(yīng)變?cè)隽吭茍D及位移矢量分布見(jiàn)圖5. 不同剛度土體中樁體鼓脹變形破壞的形態(tài)基本一致，也與部分模型試驗(yàn)研究觀察到的結(jié)果十分類似[4，9，14]. 但樁周土體的變形則有較大區(qū)別，較硬土體在樁體鼓脹作用下形成了貫通地表的滑裂面，滑裂面內(nèi)出現(xiàn)整體抬升區(qū)域，地表出現(xiàn)隆起變形. 而在較軟土體中的變形區(qū)則維持在地表以下局部區(qū)域，且以水平位移為主，地表不出現(xiàn)隆起.

p-s曲線的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的樁頂豎向應(yīng)力即為單樁極限承載力的數(shù)值解，軟硬兩種土中的單樁極限承載力均與Brauns公式計(jì)算值有一定差異. 在較軟土中，由于樁周土體在整個(gè)加載過(guò)程中并未形成貫通地表的連續(xù)滑裂面，與Brauns所假設(shè)的破壞模式不同，因此單樁承載力小于Brauns解. 而較硬土體中，樁周土體的破壞模式與Brauns提出的整體剪切破壞大致相同，因此單樁承載力比較接近Brauns解. 但Brauns解忽略樁側(cè)摩阻力對(duì)單樁承載力的貢獻(xiàn)，而數(shù)值模擬在樁土界面設(shè)置了抗剪強(qiáng)度，一定程度上反映了樁側(cè)摩阻力影響，因而較Brauns解稍大.

圖6和圖7進(jìn)一步分別給出了E = 5 MPa（較軟土）和E = 20 MPa（較硬土）情況下，樁體鼓脹段范圍內(nèi)（約2.3倍樁徑）在不同荷載階段的樁體徑向應(yīng)變及所受徑向約束應(yīng)力的分布. 為便于定量對(duì)比，兩圖中標(biāo)出的豎直實(shí)線對(duì)應(yīng)其鼓脹段范圍內(nèi)相應(yīng)荷載階段的應(yīng)變應(yīng)力的平均值. 隨著荷載增加樁體徑向應(yīng)變也不斷增加，由于鼓脹段上下部摩擦約束等原因，徑向應(yīng)變分布呈現(xiàn)上下兩端小中部凸出的形態(tài). 較軟土中（圖 6 （a）），各階段的樁體最大徑向應(yīng)變的位置基本不變，大致位于深度1倍樁徑處，最終樁體最大徑向應(yīng)變?yōu)?2.5%. 較硬土中（圖 7 （a）），樁體最大徑向應(yīng)變的位置輕微上移，在最終階段大致位于深度0.75倍樁徑處，其值為14.5%，大于較軟土的情況. 軟硬兩種土中，碎石樁的劇烈鼓脹變形均集中在樁體上部距離地表2倍樁徑范圍內(nèi)，且大小接近，說(shuō)明在不同剛度土體中碎石樁體鼓脹失效模式?jīng)]有變化，造成承載力差距的原因主要是土體所提供的徑向約束應(yīng)力不同.

圖 6 （b）與圖 7 （b）顯示了徑向應(yīng)力隨著徑向應(yīng)變的增加而增加，但由于樁周土體不斷擴(kuò)大屈服范圍，徑向應(yīng)力增加的幅度不斷減小并最終將趨于零. 由于土體剛度不同，較硬土徑向應(yīng)力增加的幅度大于較軟土，最終平均徑向應(yīng)力也大于較軟土. 由于樁體最終因?yàn)橥瑯拥墓拿浶螒B(tài)破壞，因此碎石樁的單樁承載力大小應(yīng)取決于樁體鼓脹失效時(shí)刻鼓脹段所受到的徑向約束應(yīng)力.

1.4? ?碎石樁單樁承載失效過(guò)程參數(shù)分析

進(jìn)一步通過(guò)數(shù)值模擬應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果討論土體剛度對(duì)碎石樁單樁承載模式的影響. 圖8給出了土體剛度E分別為1、 5、10、 20、 30? MPa情況下，加載至樁頂沉降為25 cm時(shí)（可認(rèn)為發(fā)生破壞）的數(shù)值模擬結(jié)果云圖.

圖 8 （a）為樁周土體的剪切應(yīng)變?cè)隽吭茍D. 當(dāng)剛度E大于20 MPa后，樁周土體均形成了貫通地表的連續(xù)滑裂面，滑裂面寬度為3.7rp，深度為4.6rp，此時(shí)樁周土體發(fā)生了整體剪切破壞，與Brauns提出的破壞模式相同. 當(dāng)土體的剛度較?。?～10 MPa）時(shí)，樁體產(chǎn)生的水平位移（圖 8 （b））與較硬土體幾乎一致，但由此產(chǎn)生的水平應(yīng)力卻小于較硬土. 樁周土體水平應(yīng)力劇烈變化的范圍主要集中在樁身上部，且隨著土體剛度的增加，水平應(yīng)力劇烈變化的范圍逐漸增大，但發(fā)生整體剪切破壞后，劇烈變化的范圍基本保持不變（圖 8 （c））.

圖 9 給出了不同土體剛度情況下的p-s曲線以及鼓脹段（2.3dp）平均徑向應(yīng)變與平均徑向應(yīng)力曲線圖. 兩組曲線顯示出了一致性，隨著樁周土體剛度的增大，樁側(cè)的平均徑向應(yīng)力逐漸增大，對(duì)應(yīng)的碎石樁的極限承載力也逐漸增大，說(shuō)明樁體的極限承載力可以與樁體失效時(shí)樁體鼓脹段所受的平均徑向應(yīng)力建立聯(lián)系.

圖9還給出了相同參數(shù)下不考慮土體剛度的Brauns解作為對(duì)比，由于數(shù)值模型考慮了樁土間的摩阻力，Brauns解因而低于整體剪切破壞模式下碎石樁極限承載力的數(shù)值解. 但圖 9（b）中給出的Brauns解的徑向應(yīng)力值則高于各剛度土體情況下的數(shù)值解. 因此，Brauns解很可能高估了低剛度土體所能提供的最大徑向約束力，從而高估了碎石樁的單樁極限承載力.

在較軟土體中，樁周土體剛度的提高對(duì)碎石樁極限承載力的提高作用明顯. 但在較硬土中（圖9中E =20 MPa及E = 30 MPa）則不明顯，一旦形成了貫通的連續(xù)滑裂面后（整體剪切破壞），樁體極限承載力取決于滑裂面的形狀及土體的抗剪強(qiáng)度而非剛度. 但當(dāng)樁周土體產(chǎn)生局部剪切破壞（圖9中E < 20 MPa）時(shí)，土體的剛度對(duì)碎石樁承載力影響十分明顯，樁體極限承載力此時(shí)取決于土體剛度而非抗剪強(qiáng)度.

2? ?典型荷載沉降曲線及破壞機(jī)理

根據(jù)上節(jié)數(shù)值分析結(jié)果可以總結(jié)出圖10所示的剛性荷載下軟土中碎石樁單樁豎向受荷的典型荷載沉降曲線及破壞模式. p-s曲線接近直線的樁土彈性變形狀態(tài)僅能在加載初期維持. 隨荷載的增加，靠近碎石樁鼓脹變形最大位置（約1倍樁徑處）的土體首先進(jìn)入屈服狀態(tài)，此時(shí)對(duì)應(yīng)圖10中的pcr為臨塑荷載. 接下來(lái)的荷載將使樁體產(chǎn)生較大鼓脹變形并擠壓樁周土體，導(dǎo)致土體塑性區(qū)向水平和豎向擴(kuò)展，并引起p-s曲線偏離線性形狀. 樁周土體在樁體鼓脹變形的擠壓下最終可能形成貫通地表的連續(xù)滑裂面. 碎石樁則最終因?yàn)楣拿浂危s2倍樁徑）徑向應(yīng)變無(wú)法限制（約8%～12%）而喪失承載力. 在剛度較大土體中，土體形成連續(xù)滑裂面將先于樁體的鼓脹失效. 一旦滑裂面貫通地表，土體徑向應(yīng)力將達(dá)到最大值不再繼續(xù)增加，樁體的鼓脹變形隨即迅速增大而承載失效，p-s曲線出現(xiàn)陡降段，這種破壞模式為整體剪切破壞模式. 在剛度較低的土體中，樁周土體的徑向應(yīng)力始終緩慢增加，直到樁體發(fā)生鼓脹失效也沒(méi)有達(dá)到其抗剪強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的最大值，p-s曲線表現(xiàn)為斜率始終緩慢增加但沒(méi)有明顯突變點(diǎn). 樁周土體在樁體失效時(shí)無(wú)法形成貫通地表的連續(xù)滑裂面，這種破壞模式為局部剪切破壞模式.

碎石樁鼓脹變形與樁周土體徑向應(yīng)力增長(zhǎng)是一個(gè)相互協(xié)調(diào)的過(guò)程. 當(dāng)土體抗剪強(qiáng)度相同時(shí)，局部剪切破壞模式下樁體失效時(shí)對(duì)應(yīng)的樁周土體徑向應(yīng)力小于整體剪切破壞模式，因此最終承載力也小于整體剪切破壞模式. 目前碎石單樁承載力計(jì)算方法所假定的整體剪切破壞模式僅發(fā)生在剛度較大的土體中. 而在較軟土中將產(chǎn)生局部剪切破壞，因此碎石單樁極限承載力的計(jì)算有必要考慮土體剛度的影響. 由于兩種破壞模式下的碎石樁單樁極限承載力均取決于樁體鼓脹失效時(shí)對(duì)應(yīng)的樁周土體的徑向應(yīng)力大小，因此有必要確定碎石樁自身的鼓脹失效狀態(tài).

在兩種模式下達(dá)到破壞時(shí)所對(duì)應(yīng)的樁頂沉降也有區(qū)別. 較軟土體中由于土體剛度較小，徑向應(yīng)力增長(zhǎng)緩慢，碎石樁無(wú)法獲得有效約束因而產(chǎn)生更大沉降. 在相對(duì)較硬的土體中則相反，但當(dāng)土體滑裂面貫通時(shí)，徑向應(yīng)力將無(wú)法增長(zhǎng)，因而樁體鼓脹變形迅速增大并破壞. 因此，局部剪切破壞模式的沉降是“漸進(jìn)式”的，而整體剪切破壞模式的沉降具有“突變式”的特點(diǎn).

3? ?碎石樁單樁豎向承載力求解

3.1? ?計(jì)算模型及假定

通過(guò)前述碎石樁單樁承載機(jī)理可知，軟土中的碎石樁單樁承載力計(jì)算有必要考慮樁體鼓脹變形、樁周土體剛度對(duì)最終徑向約束力的影響. 軟土中單樁樁體鼓脹變形與彈塑性介質(zhì)圓孔擴(kuò)張理論中的圓孔徑向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有較高相似性，因此本節(jié)基于圓孔擴(kuò)張理論對(duì)軟土中碎石樁單樁的極限承載力計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo).

基于圓孔擴(kuò)張理論的樁體側(cè)限約束計(jì)算模型如圖11所示，并考慮基本假定：1）樁周土體為內(nèi)半徑R0、外半徑半無(wú)限大的筒體，變形受力過(guò)程視為平面應(yīng)變問(wèn)題;2）樁體上部的鼓脹變形段長(zhǎng)度為hp = 2rp tan δp，其中rp為樁體半徑，δp = 45° + φp /2，φp為樁體的內(nèi)摩擦角;3）樁周土體為均勻、各向同性的彈塑性材料，塑性區(qū)土體服從小應(yīng)變理論和Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，采用不排水抗剪強(qiáng)度;4）加載之前，整個(gè)土體具有各向同性的有效應(yīng)力，不考慮體力作用. 在受力變形過(guò)程中，樁周土體的應(yīng)力狀態(tài)可劃分為圖11所示的3個(gè)區(qū)域：a）塑性區(qū)為Ru ≤ r < Rp的區(qū)域;b）彈性區(qū)為Rp≤ r < Re的區(qū)域;c）原土應(yīng)力區(qū)為Re ≤ r < R∞的區(qū)域.

3.2? ?樁側(cè)徑向約束應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)彈性力學(xué)原理，彈性區(qū)土體的應(yīng)力場(chǎng)由拉梅解答可得：

即彈性區(qū)內(nèi)應(yīng)力場(chǎng)滿足：

式中：σr為徑向應(yīng)力;σθ為切向應(yīng)力;Pu為孔內(nèi)壓力.

根據(jù)彈性理論可得徑向位移u表達(dá)式為：

則在彈性區(qū)和塑性區(qū)邊界上的徑向位移up為：

式中：ν為泊松比;E為彈性模量;cu為黏聚力.

對(duì)于塑性區(qū)可列出平衡方程：

且需滿足塑性屈服條件：

σr - σθ = 2cu? ? ? ? ? ?（8）

聯(lián)立式（7）（8）可得：

在彈性區(qū)和塑性區(qū)邊界上需要分別滿足式（4）和式（8），可得：

σrp = cu? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

代入式（9）可得孔內(nèi)壁壓力表達(dá)式：

若假定塑性區(qū)在小變形下保持體積不變，則：

πR2u - πR20 = πR2p - π（Rp - up）2? ? ? ? ? ?（13）

（Ru - R0）（Ru + R0） = 2Rp up - u2p? ? ? ? ? （14）

略去u2p和u2r，孔內(nèi)壁徑向位移滿足ur = Ru - R0，則可得：

將式（6）代入式（15）可得：

故孔內(nèi)壁的徑向應(yīng)變?chǔ)舝為：

式中：G為土體剪切模量.

由小變形假設(shè)，可令：

將式（19）代入式（12）可得：

最后，考慮初始地應(yīng)力場(chǎng)的作用，則最終的孔壁壓力Pu見(jiàn)式（21），即為樁側(cè)徑向約束應(yīng)力隨樁體徑向應(yīng)變變化的計(jì)算公式：

式中：γs為土體的重度.

3.3? ?極限樁側(cè)徑向約束應(yīng)力計(jì)算

如圖1（b）所示，碎石材料在荷載作用下發(fā)生剪脹使得密實(shí)程度降低，因此碎石材料樁體存在最大的體積應(yīng)變?chǔ)舦，max. 同樣碎石樁體不可能持續(xù)產(chǎn)生無(wú)限制鼓脹變形，當(dāng)鼓脹發(fā)展到一定程度時(shí)的樁體將喪失承載力，因此碎石樁單樁承載失效時(shí)應(yīng)當(dāng)存在標(biāo)志著失穩(wěn)的徑向應(yīng)變極限值εr，max，該值與碎石三軸試驗(yàn)曲線中最大體積應(yīng)變?chǔ)舦，max揭示著相同的散體材料物理臨界狀態(tài). 因此樁體承載力大小可由徑向應(yīng)變極限值εr，max對(duì)應(yīng)的徑向約束力決定，軟土中碎石樁單樁豎向極限承載力Pp為：

式中：εr，max為鼓脹段平均徑向應(yīng)變的極限值，主要與碎石密實(shí)程度及圍壓相關(guān)，可以由碎石樁體模型試驗(yàn)及碎石室內(nèi)試驗(yàn)獲得. 部分相關(guān)研究觀察到εr，max處于8%～12%之間[15-16].

式（22）的承載力計(jì)算公式考慮了樁體鼓脹變形、樁周土體剛度、土體的抗剪強(qiáng)度以及初始自重應(yīng)力的影響，能夠較好地反映局部剪切破壞模式中的承載機(jī)理. 但式（22）在徑向應(yīng)變極小時(shí)可能出現(xiàn)負(fù)值而不再適用（εr ≤ 0.5e-1cu /G）. 下節(jié)將通過(guò)承載力數(shù)值解驗(yàn)證該承載力計(jì)算公式的有效性.

4? ?承載力公式數(shù)值驗(yàn)證

圖12為加載全過(guò)程的數(shù)值徑向應(yīng)力應(yīng)變曲線與Brauns解以及本文解的對(duì)比. 從圖中可看出當(dāng)土體剛度較小時(shí)，數(shù)值解的最終徑向約束應(yīng)力遠(yuǎn)小于Brauns解. 本文的徑向約束應(yīng)力解（式（21））與數(shù)值結(jié)果在各級(jí)土體剛度情況下均吻合良好，能夠正確反映局部剪切破壞模式下樁體徑向應(yīng)力與徑向約束應(yīng)力的關(guān)系. 在E = 1 MPa時(shí)徑向應(yīng)變較小區(qū)域本文解低于數(shù)值解，原因是式（21）在低剛度土體且徑向應(yīng)變極小時(shí)出現(xiàn)負(fù)值，但隨著徑向應(yīng)變?cè)黾颖疚慕馀c數(shù)值解趨于一致. 在E = 30 MPa時(shí)本文解與數(shù)值解在樁體破壞后出現(xiàn)差異，主要是由于數(shù)值解在模型剛度較大時(shí)發(fā)生類似脆性破壞引起數(shù)值不穩(wěn)定.

圖13為數(shù)值p-s曲線與Brauns解以及本文解（式（22））的對(duì)比. 本文單樁極限承載力解在各級(jí)土體剛度下均低于承載力數(shù)值解，這是因?yàn)楸疚慕馕纯紤]樁側(cè)摩阻力的影響，但兩者的差距隨著剛度的增大而逐漸減小. 本文解隨著土體剛度增加而逐漸接近Brauns解，說(shuō)明本文提出的方法也適用于計(jì)算整體剪切破壞模式下的單樁極限荷載.

5? ?結(jié)? ?論

本文將塑性硬化模型應(yīng)用于碎石樁體，對(duì)軟土地基中碎石樁單樁豎向受荷破壞全過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，分析了樁體鼓脹段的變形過(guò)程及樁側(cè)土壓力的變化過(guò)程，重點(diǎn)研究了樁周土體剛度的影響，總結(jié)了典型荷載沉降曲線及破壞機(jī)理，基于圓孔擴(kuò)張理論推導(dǎo)了軟土地基中碎石樁單樁的承載力計(jì)算公式，得出以下結(jié)論：

1）軟土地基中碎石樁單樁變形破壞過(guò)程分為3個(gè)階段：線彈性階段、非線性變形階段和樁體破壞階段. 破壞模式取決于樁周土體的剛度，傳統(tǒng)承載力計(jì)算假設(shè)的整體剪切破壞模式僅發(fā)生在剛度較大的土體中，通常軟土更容易產(chǎn)生局部剪切破壞模式. 局部剪切破壞模式的沉降變形是“漸進(jìn)式”的，而整體剪切破壞模式具有“突變式”的特點(diǎn).

2）整體剪切破壞模式下，碎石樁單樁承載力主要取決于土體的抗剪強(qiáng)度及破壞面的形式，而局部剪切破壞模式下，碎石樁單樁的承載力主要受樁周土體剛度的控制，與土體抗剪強(qiáng)度關(guān)系不大.

3）本文根據(jù)圓孔擴(kuò)張理論建立的軟土地基中的碎石樁單樁豎向承載力公式與數(shù)值解在各級(jí)土體剛度情況下均吻合良好，能夠正確反映局部剪切破壞模式;通過(guò)選取合適徑向應(yīng)變極限值，本文解也接近Brauns解，說(shuō)明本文提出的方法同樣適用于整體剪切破壞模式.

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