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      燕尾全等三角形模型的構(gòu)建與應(yīng)用

      2021-09-29 07:11:18崔成進(jìn)齊共云
      關(guān)鍵詞:燕尾等腰三角理由

      崔成進(jìn) 齊共云

      [原題再現(xiàn)]

      如圖1,點(diǎn)D在AB 上,點(diǎn)E在AC上,AB = AC,∠B = ∠C. 求證:AD = AE.? (此題為人教版八年級(jí)上冊(cè)第40頁(yè)例3)

      [模型提煉]

      如圖1,△ACD和△ABE是一對(duì)燕尾三角形,其中,△BDF和△CEF稱為燕尾三角形,∠BAC為燕頭角,∠B和∠C為燕尾角. 燕尾三角形有如下基本性質(zhì):(1)全等性:△ACD ≌ △ABE,△BDF ≌ △CEF;(2)等角:燕頭角相等,燕尾角相等;(3)等線:AB = AC,AD = AE,DB = EC,DC = EB,F(xiàn)D = FE,F(xiàn)B = FC.

      [變式應(yīng)用]

      1. 條件開(kāi)放

      例1 如圖2,在等腰三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在腰AB,AC上,添加下列條件,不能判定△ABE ≌ △ACD的是( ) .

      A. AD = AE B. BE = CD C. ∠ADC = ∠AEB D. ∠DCB = ∠EBC

      解析:根據(jù)“SAS”可得△ABE ≌ △ACD,已知AD = AE,添加選項(xiàng)A能判定三角形全等;由∠ADC = ∠AEB, ∠A = ∠A,AB = AC,根據(jù)“AAS”可證△ABE ≌ △ACD,則添加選項(xiàng)C能判定三角形全等;由∠DCB = ∠EBC,∠DBC = ∠ECB,得∠ABE = ∠ACD,根據(jù)“ASA”可證△ABE ≌ △ACD,則添加選項(xiàng)D能判定兩個(gè)三角形全等;由選項(xiàng)B不能判定三角形全等. 故選B.

      2. 探索位置

      例2 如圖3,已知BD和CE相交于點(diǎn)O,且OB = OC,OE = OD. (1)求證:△BOE ≌ △COD;(2)你能在點(diǎn)O的同旁找一點(diǎn)A,使得△ABC是等腰三角形嗎?說(shuō)明理由.

      解析:(1)∵OB = OC,∠BOE = ∠COD,OE = OD,∴△BOE ≌ △COD(SAS);

      (2)能. 理由:如圖4,延長(zhǎng)BE,CD交于點(diǎn)A,則AB = AC.

      由(1)知,△BOE ≌ △COD,∴BO = CO,∠EBO = ∠DCO,∴∠DBC = ∠ECB,

      ∴∠DBC + ∠EBO = ∠ECB + ∠DCO, ∴∠EBC = ∠DCB,∴AB = AC.

      ? [能力提升]

      如圖5,在△ABC中,∠ACB = 90°,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,ED⊥AB于點(diǎn)D,若BC = ED,BC,ED交于點(diǎn)O. 寫(xiě)出圖中所有的全等三角形,并選擇你喜歡的一對(duì)給出證明.

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