第一章 數(shù)學(xué)與我們同行
第二章 有理數(shù)
領(lǐng) ? ?銜 ? ?人:張衛(wèi)明
組稿團隊:江蘇省鹽城市初級中學(xué)教育集團張衛(wèi)明工作室
有理數(shù)是同學(xué)們在小學(xué)所學(xué)數(shù)系的擴充。這一章概念較多,知識點較細碎。怎樣才能輕松學(xué)好“有理數(shù)”呢?本文從以下三個方面解讀有理數(shù)這一章所蘊含的思想方法,以幫助同學(xué)們感悟有理數(shù)的奧妙。
一、用分類討論的思想思考問題
分類討論思想是初中數(shù)學(xué)最常用的一種數(shù)學(xué)思想方法,即當某個問題有多重情況出現(xiàn)或結(jié)果不能唯一確定時,根據(jù)題目的要求,按不同情況分類,逐一研究解決再加以集中歸納的數(shù)學(xué)思想。掌握分類討論思想,可以幫助同學(xué)們加深理解知識的本質(zhì),對提高數(shù)學(xué)思維的嚴謹性具有非常重要的作用。
有理數(shù)按數(shù)的正負性可分為:正有理數(shù)、0和負有理數(shù)。一個數(shù)的絕對值的求解隱藏著分類討論思想:正數(shù)的絕對值是它本身,0 的絕對值是0,負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。計算兩個有理數(shù)的加法或乘法時,也分為同號兩數(shù)、異號兩數(shù)以及兩數(shù)中有一個是0 這三種情況。同學(xué)們可以根據(jù)具體問題的條件,對各種情況分類討論,從而使復(fù)雜問題簡單化。
例如,若ab≠0,求[aa]+[bb]+[abab]的值。因為ab≠0,所以a≠0,b≠0,但a、b的正負性未知,所以我們要對a,b進行分類討論:當a>0,b>0時;當a>0,b<0時;當a<0,b>0時;當a<0,b<0時。
應(yīng)用分類討論思想必須遵循兩個規(guī)則:1.每一次分類要按照同一標準進行;2.分類時要不重不漏。
二、用數(shù)形結(jié)合思想分析問題
數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想,即代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問題幾何化,也可以使幾何問題代數(shù)化。數(shù)形結(jié)合主要有三種類型:“以數(shù)化形”“以形得數(shù)”和“數(shù)形結(jié)合”。通過“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題,使得抽象問題具體化、形象化,從而可以優(yōu)化解題過程。
數(shù)軸上的點與有理數(shù)、無理數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,它揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系,是最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。有理數(shù)的絕對值可以借助數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離來得到?!胺柌煌⒔^對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”這個概念的理解較為抽象,如果我們在數(shù)軸上畫出5和-5所對應(yīng)的兩個點,觀察它們的位置特征,可以很形象地認識到,互為相反數(shù)的兩個點分別位于原點的兩側(cè),并且它們到原點的距離相等。用數(shù)軸這個“形”,還可以很好地幫助我們掌握有理數(shù)大小的比較、有理數(shù)的加減法運算等有關(guān)“數(shù)”的知識。
例如,已知點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是2,將點A先向右移動4個單位長度,再向左移動5個單位長度,則移動后的點A表示的數(shù)是多少?我們用數(shù)形結(jié)合,通過數(shù)軸(圖1),可以很清晰地看出,移動后點A表示的數(shù)是1。
“數(shù)無形,少直觀;形無數(shù),難入微”,利用數(shù)形結(jié)合,可以化難為易、化繁為簡,利于同學(xué)們的直觀理解,從而提高知識遷移能力。
三、用轉(zhuǎn)化思想解決問題
轉(zhuǎn)化思想也稱化歸思想,就是在已有的、簡單的、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上,把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī),從而解決各種問題。具體來說,就是將“新知識”向“舊知識”轉(zhuǎn)化,將“未知”向“已知”轉(zhuǎn)化,將“復(fù)雜”向“簡單”轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是解決新問題、學(xué)習新知識的重要思想方法。
有理數(shù)的減法運算就是利用“相反數(shù)”這個已學(xué)概念轉(zhuǎn)化為加法來運算,得到減法法則:減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。有理數(shù)的加減法通過這一轉(zhuǎn)化就得到了統(tǒng)一。有理數(shù)的除法是利用“倒數(shù)”轉(zhuǎn)化為乘法運算,得到除法法則:除以一個不等于0的數(shù),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。通過這一轉(zhuǎn)化,有理數(shù)的乘除也得到了統(tǒng)一。
例如,計算[11×2]+[12×3]+[13×4]+…+[12020×2021]。直接計算比較困難,我們將每個分數(shù)進行轉(zhuǎn)換,即[11×2]=1-[12],[12×3]=[12]-[13],…,[12020×2021]=[12020]-[12021],問題迎刃而解。
轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的最基本的數(shù)學(xué)思想方法,通過對未知問題的分析,將其轉(zhuǎn)化為已有知識范圍內(nèi)可解決的問題,從而達到“思路清晰化,方法簡單化”。
總之,分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中的重要思想方法,相信同學(xué)們只要在“有理數(shù)”一章的學(xué)習中細心體會,靈活運用,定會達到事半功倍的效果。
(作者單位:江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學(xué))