■黃信璋

集合是高中數(shù)學(xué)的重要概念,是研究數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)和工具。集合是每年高考的必考內(nèi)容,高考主要考查兩個(gè)方面:一是集合本身的知識,二是集合語言與其他數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用。高考對常用邏輯用語的考查主要涉及四種命題的關(guān)系、全稱量詞與存在量詞的關(guān)系、命題的否定等。下面舉例分析集合與常用邏輯用語的常見典型考題,供大家學(xué)習(xí)與提高。

一、集合的含義

判斷元素能否構(gòu)成集合,關(guān)鍵是集合中元素的確定性,即能否找到一個(gè)明確的評判標(biāo)準(zhǔn)來衡量元素是否為集合中的元素,若標(biāo)準(zhǔn)明確則可以構(gòu)成集合,否則不可以構(gòu)成集合。當(dāng)一個(gè)集合中的元素含字母時(shí),可利用集合中元素的確定性求出集合中字母的所有取值,再利用集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)。兩個(gè)集合相等,元素必須相同。解決集合問題,要注意集合元素的“三性”,即確定性,互異性和無序性。

例1(多選題)已知集合A中的元素滿足x=3k-1,k∈Z,則下列表示正確的是( )。

A.-2∈AB.-11?A

C.3k2-1∈AD.-34?A

解:令3k-1=-2,解得k=-,而,可知-2?A。令3k-1=-11,解得k=-?Z,所以-11?A。由k2∈Z,可得3k2-1∈A。令3k-1=-34,解得k=-11,而-11∈Z,所以-34∈A。應(yīng)選B,C。

跟蹤訓(xùn)練1:已知x,y都是非零實(shí)數(shù),可能的取值組成的集合為A,則下列判斷正確的是( )。

A.3∈A,-1?AB.3∈A,-1∈A

C.3?A,-1∈AD.3?A,-1?A

提示:當(dāng)x>0,y>0時(shí),z=1+1+1=3;當(dāng)x>0,y<0時(shí),z=1-1-1=-1;當(dāng)x<0,y>0時(shí),z=-1+1-1=-1;當(dāng)x<0,y<0時(shí),z=-1-1+1=-1。據(jù)此可得集合A={-1,3}。故3∈A,-1∈A。應(yīng)選B。

二、集合的表示

用列舉法表示集合應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)弄清集合中的元素是什么,是數(shù),是點(diǎn),還是其他元素;(2)集合中的元素一定要寫全,但不能重復(fù)。用描述法表示集合,應(yīng)弄清集合的屬性,是數(shù)集,點(diǎn)集,還是其他類型的集合。一般地,數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素,而點(diǎn)集則用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對來代表其元素。當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)很少,容易寫出全部元素時(shí),常用列舉法表示集合;當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)較多,不容易寫出全部元素時(shí),常用描述法表示集合。對一些元素有規(guī)律的無限集,也可用列舉法表示,如正奇數(shù)集可寫為{1,3,5,7,9,…}。

例2(多選題)下列各組中M,P表示不同集合的是( )。

A.M={3,-1},P={(3,-1)}

B.M={(3,1)},P={(1,3)}

C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}

D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}

解:A 中,M是由3,-1 兩個(gè)元素構(gòu)成的集合,而集合P是由點(diǎn)(3,-1)構(gòu)成的集合。B中,(3,1)與(1,3)表示不同的點(diǎn),故M≠P。D 中,M是二次函數(shù)y=x2-1,x∈R 的所有因變量組成的集合,而集合P是二次函數(shù)y=x2-1,x∈R 圖像上所有點(diǎn)組成的集合。應(yīng)選A,B,D。

跟蹤訓(xùn)練2:用列舉法寫出集合=____。

提示:由,x∈Z,可得3-x為3的因數(shù),所以3-x=±1或3-x=±3,所以=±1,所以-3,-1,1,3滿足題意。答案為{-3,-1,1,3}。

三、集合間的基本關(guān)系

空集是任何集合的子集,在涉及集合關(guān)系時(shí),必須優(yōu)先考慮空集的情況,否則會(huì)造成漏解;已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系。常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題。

例3下列各組中的兩個(gè)集合之間存在包含關(guān)系的是( )。

①集合P={x|x=2n+1,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};②集合P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+};③集合P={x|x2-x=0},Q={x|x=,n∈Z}。

A.①②③ B.①③

C.②③ D.①②

解:①中,對于Q,由n∈Z,可得n-1∈Z,因此Q表示偶數(shù)集,P表示奇數(shù)集,所以P∩Q=?。②中,P是由1,3,5,…所有正奇數(shù)組成的集合,Q是由3,5,7,…所有大于1的正奇數(shù)組成的集合,且1?Q,所以集合P?Q。③中,P={0,1},對于Q,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),x==1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)x==0,即Q={0,1},所以P=Q。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練3:用Venn圖表示下列集合之間的關(guān)系:A={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形}。

提示:根據(jù)幾何圖形的相關(guān)知識,明確各元素所在集合之間的關(guān)系,可用Venn 圖表示A,B,C,D之間的關(guān)系,如圖1所示。

圖1

四、并集與交集

求并集應(yīng)注意的兩點(diǎn):注意元素的互異性這一屬性,重復(fù)的元素只能取一個(gè);對于元素個(gè)數(shù)無限的集合求并集時(shí),可利用數(shù)軸分析求解,但要注意端點(diǎn)的值能否取到。求交集應(yīng)注意的兩點(diǎn):若集合的代表元素是方程的根,則應(yīng)求出方程的根后,再求兩集合的交集;若集合的代表元素是有序數(shù)對,則交集是指方程組的解集,其解集是點(diǎn)集。

例4已知集合M={x|-2

解:由M∪N=M,可得N?M。當(dāng)N=?,即2t+1≤2-t,t≤時(shí),M∪N=M成立;當(dāng)N≠?時(shí),利用數(shù)軸可得不等式組

綜上可知,實(shí)數(shù)t的取值范圍是{t|t≤2}。

跟蹤訓(xùn)練4:設(shè)集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}。

(1)若A∩B=B,求a的取值范圍。

(2)若A∪B=B,求a的值。

提示:(1)由x2-2x=0,可得x=0 或x=2,所以集合A={0,2}。

由A∩B=B,可得B?A,則B=?或B={0}或B={2}或B={0,2}。當(dāng)B=?時(shí),由Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,可得a<0;當(dāng)B={0}時(shí),由可得a=0;當(dāng)B={2}時(shí),由此時(shí)無解;當(dāng)B={0,2}時(shí),由解得a=1。綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a=1 或a≤0}。

(2)由A∪B=B,可得A?B。由于A={0,2},而B中方程至多有兩個(gè)根,所以A=B。由(1)知a=1。

五、補(bǔ)集及綜合應(yīng)用

補(bǔ)集是相對于全集而言的,一方面,若沒有定義全集,則不存在補(bǔ)集的說法;另一方面,補(bǔ)集的元素逃不出全集的范圍。補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系,也是集合之間的一種運(yùn)算。在給定全集U的情況下,求集合A的補(bǔ)集的前提是A為全集U的子集,隨著所選全集的不同,得到的補(bǔ)集也是不同的。求集合的補(bǔ)集的三種方法:定義法,當(dāng)集合中的元素較少時(shí),可利用定義直接求解;Venn 圖法,借助Venn 圖可直觀地求出補(bǔ)集;數(shù)軸法,當(dāng)集合中的元素連續(xù)且無限時(shí),可借助數(shù)軸求補(bǔ)集,此時(shí)需注意端點(diǎn)值的取舍。

例5已知全集為U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},則集合B=_____。

解:由A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},可得U={1,2,3,4,5,6,7}。因?yàn)?UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}。

跟蹤訓(xùn)練5:已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},則?UA=_____。

提示:將全集U和集合A分別表示在數(shù)軸上,如圖2所示。

圖2

由補(bǔ)集的定義可知,?UA={x|x<-3或x=5}。

六、與集合有關(guān)的創(chuàng)新問題

以集合為背景的創(chuàng)新問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),這類題目常以問題為核心,考查探究、發(fā)現(xiàn)的能力,常見的命題形式有新定義、新運(yùn)算等。解決新定義問題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算,使問題得以解決。對于這類選擇題,可結(jié)合選項(xiàng)通過驗(yàn)證,用排除、對比、特值等方法求解。

例6已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定義集合A,B之間的運(yùn)算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},則A*B中的所有元素之和為( )。

A.15 B.16

C.20 D.21

解:由x2-2x-3≤0,x∈N,可得-1≤x≤3,x∈N,所以集合A={0,1,2,3}。因?yàn)锳*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素為0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素之和為21。應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練6:若集合A1,A2滿足A1∪A2=A,則稱(A1,A2)為集合A的一種分拆,并規(guī)定:當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí),(A1,A2)與(A2,A1)是集合A的同一種分拆。若集合A有3 個(gè)元素,則集合A的不同分拆種數(shù)是_____。

提示:依據(jù)集合A的一種分拆的意義,設(shè)集合A={1,2,3},一一列舉確定分拆的種數(shù)。①當(dāng)A1=?時(shí),此時(shí)只有1 種分拆。②當(dāng)A1是單元素集時(shí),共有6種分拆,即{1}與{2,3},{1}與{1,2,3},{2}與{1,3},{2}與{1,2,3},{3}與{1,2},{3}與{1,2,3}。③當(dāng)A1是雙元素集時(shí),共有12 種分拆,即{1,2}與{3},{1,3},{2,3},{1,2,3};{1,3}與{2},{1,2},{2,3},{1,2,3};{2,3}與{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}。④當(dāng)A1=A={1,2,3}時(shí),則A2=?,{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3},共8種分拆。綜上可知,共有分拆的種數(shù)為27。

七、充分條件與必要條件問題

充分、必要、充要條件判斷的兩種方法:(1)定義法,若p?q,q?/p,則p是q的充分不必要條件;若p?/q,q?p,則p是q的必要不充分條件;若p?q,q?p,則p是q的充要條件;若p?/q,q?/p,則p是q的既不充分也不必要條件。(2)集合法,對于集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},若A?B,則p是q的充分條件;若A?B,則p是q的必要條件;若A=B,則p是q的充要條件;若AB,則p是q的充分不必要條件;若AB,則p是q的必要不充分條件。p是q的充要條件意味著“p成立,則q一定成立;p不成立,則q一定不成立”。要判斷p是q的充要條件,需要進(jìn)行兩次判斷:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p,若p能推出q,q也能推出p,就可以說p是q的充要條件,否則,就不能說p是q的充要條件。

例7設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a+b>0”是“ab>0”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解:若a+b>0,取a=3,b=-2,則ab>0不成立;反之,若ab>0,取a=-2,b=-3,則a+b>0也不成立。因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要條件。應(yīng)選D。

跟蹤訓(xùn)練7:下列各題中,p是q的什么條件? (指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要條件)

(1)p:x=1或x=2,q:x-1=。

(2)p:四邊形是正方形,q:四邊形的對角線互相垂直平分。

(3)p:xy>0,q:x>0,y>0。

(4)p:四邊形的對角線相等,q:四邊形是平行四邊形。

提示:(1)x=1 或x=2?x-1==1 或x=2,所以p是q的充要條件。

(2)若一個(gè)四邊形是正方形,則它的對角線互相垂直平分,即p?q;反之,若四邊形的對角線互相垂直平分,則四邊形不一定是正方形,即q?/p。因此p是q的充分不必要條件。

(3)當(dāng)xy>0時(shí),可知x>0,y>0或x<0,y<0,即p?/q,但q?p,所以p是q的必要不充分條件。

(4)因?yàn)樗倪呅蔚膶蔷€相等?/ 四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形?/ 四邊形的對角線相等,因此p是q的既不充分也不必要條件。

八、根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)取值范圍

解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解。求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象。

例8已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且﹁p是﹁q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_____。

解:由x2-2x+1-m2≤0(m>0),可得1-m≤x≤1+m,所以q對應(yīng)的集合為M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},﹁q對應(yīng)的集合為A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}。由≤2,可得-2≤x≤10,所以p對應(yīng)的集合為N={x|-2≤x≤10},﹁p對應(yīng)的集合為B={x|x>10或x<-2}。因?yàn)棣鑠是﹁q的必要不充分條件,所以AB,所以解得m≥9。故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9,+∞)。

跟蹤訓(xùn)練8:已知p:x≤1+m,q:|x-4|≤6。若p是q的必要不充分條件,則m的取值范圍是( )。

A.(-∞,-1] B.(-∞,9]

C.[-1,9] D.[9,+∞)

提示:由|x-4|≤6,可得-2≤x≤10。因?yàn)閜是q的必要不充分條件,所以[-2,10](-∞,1+m],所以m+1≥10,解得m≥9。應(yīng)選D。

九、全稱量詞命題與存在量詞命題

全稱量詞命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題,常見的全稱量詞有“一切”“每一個(gè)”“任給”等。存在量詞命題就是陳述某集合中存在一個(gè)或部分元素具有某種性質(zhì)的命題,常見的存在量詞有“有些”“某一個(gè)”“有的”等。要否定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”,只需在M中找到一個(gè)x,使得p(x)不成立,也就是命題“?x∈M,﹁p(x)”成立。要否定存在量詞命題“?x∈M,p(x)”,需要驗(yàn)證對M中的每一個(gè)x,均有p(x)不成立,也就是命題“?x∈M,﹁p(x)”成立。

例9下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是( )。

A.?x∈R,2x+1>0

B.若2x為偶數(shù),則?x∈N

C.所有菱形的四條邊都相等

D.π是無理數(shù)

解:對于A,是全稱量詞命題,但不是真命題,A 不正確。對于B,是假命題,不是全稱量詞命題,B不正確。對于C,是全稱量詞命題,也是真命題,C正確。對于D,是真命題,但不是全稱量詞命題,D不正確。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練9:下列是存在量詞命題且是真命題的是( )。

A.?x∈R,x2>0

B.?x∈Z,x2>2

C.?x∈N,x2∈N

D.?x,y∈R,x2+y2<0

提示:對于A,?x∈R,x2>0 是全稱量詞命題,不合題意。對于B,?x∈Z,x2>2是存在量詞命題,且是真命題。對于C,?x∈N,x2∈N 是全稱量詞命題,不合題意。對于D,?x,y∈R,x2+y2<0 是存在量詞命題,是假命題。應(yīng)選B。

十、根據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)

這類問題的求解策略:根據(jù)題目條件,推出每個(gè)命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況);求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍;根據(jù)給出的復(fù)合命題的真假推出每個(gè)命題的真假情況,從而求出參數(shù)的取值范圍。

例10 已知命題“?x∈R,ax2+4x+1>0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

A.(4,+∞) B.(0,4]

C.(-∞,4] D.[0,4)

解:當(dāng)原命題為真命題時(shí),由a>0 且Δ=16-4a<0,可得a>4。故當(dāng)原命題為假命題時(shí),可得a≤4。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練10:已知命題“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

A.(-∞,0) B.[0,4]

C.[4,+∞) D.(0,4)

提示:因?yàn)槊}“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,所以其否定為“?x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命題。由此可得Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0

感悟與提高

1.已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}。

(1)求A∩B,A∪B。

(2)若C∪A=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

提示:(1)因?yàn)锳={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},所以A∩B={x|3≤x≤7},A∪B={x|x≥1}。

(2)因?yàn)镃∪A=A,A={x|x≥3},C={x|x≥a-1},所以C?A,所以a-1≥3,可得a≥4,即實(shí)數(shù)a∈[4,+∞)。

2.設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則﹁p為( )。

A.?n∈N,n2>2nB.?n∈N,n2≤2n

C.?n∈N,n2≤2nD.?n∈N,n2=2n

提示:命題p是特稱命題,故﹁p是全稱命題。又“>”的否定是“≤”,因此﹁p為“?n∈N,n2≤2n”。應(yīng)選C。

3.命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )。

A.?x∈R,?n∈N*,使得n

B.?x∈R,?n∈N*,使得n

C.?x∈R,?n∈N*,使得n

D.?x∈R,?n∈N*,使得n

提示:根據(jù)含有量詞的命題的否定的概念,可知選D。