汪 杰 洋， 齊 興 華， 劉 俊 俏， 馬 晨 光

( 1.大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 遼寧 大連 116034；2.大連工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院， 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

混沌是一種普遍存在于自然界中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)初始條件敏感，變化具有隨機(jī)性，長期行為具有不可預(yù)測性。其宏觀上雖呈現(xiàn)出無規(guī)則的狀態(tài)，但其本質(zhì)是一種有序運(yùn)動(dòng)[1-3]?；煦缭诟鱾€(gè)領(lǐng)域皆有應(yīng)用，例如圖像與文字加密[4]；微弱分析與檢測中的添加白噪聲、高斯噪聲[5]；機(jī)電耦合中的電機(jī)控制系統(tǒng)、換能系統(tǒng)與風(fēng)電轉(zhuǎn)換系統(tǒng)等[6-7]。研究者根據(jù)混沌系統(tǒng)的特性建立起對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程，并通過軟件仿真，硬件實(shí)現(xiàn)等手段對(duì)其進(jìn)行研究，如Ruelle與Takens在研究奇怪吸引子的基礎(chǔ)上，提出湍流理論，成為混沌實(shí)現(xiàn)的重要基礎(chǔ)理論[8]?；煦珉娮与娐返挠布?shí)現(xiàn)是研究中的一種重要手段，是非線性科學(xué)中的一門前沿課題，其理論主要起源于對(duì)Lorenz系統(tǒng)和Chua系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)和研究[8-10]。

光纖激光器的介質(zhì)材料通常使用摻雜少量稀土元素的光纖。作為一種典型的固體激光器，其大多利用光泵浦作為激發(fā)源(用1束強(qiáng)光照射激光器的基質(zhì)材料，激勵(lì)原子使其躍遷到更高的能級(jí))，當(dāng)泵浦光耦合到光纖中時(shí)，容易在直徑較小的光纖中形成高功率密度，發(fā)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，進(jìn)而與光學(xué)諧振器配合產(chǎn)生激光振蕩。相比于其他種類光纖，摻雜鉺離子的光纖在低損耗第三通信窗口具有更高的增益[11]。得益于其性質(zhì)特點(diǎn)，摻鉺光纖激光器具有可用帶寬較寬、與光纖元件兼容性好、信噪比高以及與光纖通信最低損耗窗口相匹配等特點(diǎn)[12]。鉺離子的亞穩(wěn)態(tài)壽命最高可達(dá)10 ms，并且光纖芯功率密度高，使用摻雜鉺離子的光纖作為激光介質(zhì)的激光器對(duì)光信號(hào)具有放大作用并且可以由連續(xù)工作狀態(tài)過渡到混沌狀態(tài)[13-14]。光纖激光器是一種非線性系統(tǒng)，根據(jù)Arecchi以弛豫時(shí)間作為標(biāo)準(zhǔn)的分類方式可分為A、B和C三類[15]。其中A類和B類產(chǎn)生混沌的方式是引入一個(gè)新的自由度，而C類激光器不需要引入自由度便可以獨(dú)立產(chǎn)生混沌行為[16]。本研究所使用的單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器是一種以摻鉺光纖作為基質(zhì)材料的激光發(fā)生裝置，是一種C類激光器[17]。

1965年，Snitzer完成了摻鉺光纖激光器的硬件實(shí)現(xiàn)。自1985年，南安普頓大學(xué)對(duì)摻鉺光纖的研究取得巨大進(jìn)展后，研究人員開始對(duì)摻鉺光纖激光器的動(dòng)力學(xué)特征從理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究[18-21]。摻鉺光纖激光器產(chǎn)生混沌的方法主要有：利用雙環(huán)耦合作用；利用非線性克爾效應(yīng)進(jìn)行泵浦或損耗調(diào)制；利用高摻雜光纖中的鉺離子對(duì)作用等[22-23]。本研究利用雙環(huán)耦合作用，將兩個(gè)單環(huán)摻鉺光纖激光器耦合，使其產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器混沌行為的研究需要投入較高的成本，現(xiàn)階段尚未出現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)全面的研究。本研究所提出的模擬電路可以表現(xiàn)出與單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器相同的動(dòng)力學(xué)行為，其簡單的電路結(jié)構(gòu)為激光器混沌行為的分析提供了一種新的研究方法。

1 系統(tǒng)原理

單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器由兩個(gè)摻鉺光纖激光器耦合而成，其表現(xiàn)出的非線性動(dòng)力學(xué)特征由激光器中兩激光場的實(shí)部和虛部正交偏振的耦合效應(yīng)所產(chǎn)生，結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。單環(huán)摻鉺光纖激光器a和激光器b通過定向耦合器M0形成一個(gè)三能級(jí)激光器系統(tǒng)。Ipa，Ipb分別為兩個(gè)環(huán)的泵浦場強(qiáng)，Ea，Eb分別為兩激光器歸一化輸出激光場強(qiáng)度。Wdm為波分復(fù)用器，能將部分諧振腔內(nèi)的激光耦合到諧振腔的外部，同時(shí)將多種波長的泵浦光耦合到摻雜了鉺離子的介質(zhì)光纖中。當(dāng)激光器內(nèi)部的激光強(qiáng)頻率鎖定后，a環(huán)與b環(huán)中的激光光場通過耦合器M0實(shí)現(xiàn)互通。

單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器是三能級(jí)激光系統(tǒng)，所以激光在通過耦合器M0會(huì)產(chǎn)生相位變化。通過對(duì)其反轉(zhuǎn)粒子數(shù)和輸出激光場的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，可以得到其動(dòng)力學(xué)方程，一個(gè)新的四維自治動(dòng)力學(xué)方程組，如式(1)所示。

(1)

式中：Da，Db分別為激光器a和激光器b的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)；kα，kβ分別為激光器a和激光器b的損耗系數(shù)；gα，gβ分別為激光器a和激光器b的增益系數(shù)；δ0是光耦合器的耦合系數(shù)。

對(duì)式(1)進(jìn)行無量綱處理，令ka=a，δ0=b，gα=c，kb=d，gβ=e，Ipa=l，Ipb=g，得到式(2)所示無量綱方程。

(2)

單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器中的耦合項(xiàng)存在非線性耦合效應(yīng)，可以通過改變參數(shù)使系統(tǒng)以倍周期方式進(jìn)入混沌狀態(tài)，穩(wěn)定表現(xiàn)出混沌系統(tǒng)的特征。以最大李雅普諾夫指數(shù)L1作為判斷依據(jù)，當(dāng)L1>0時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，在對(duì)其進(jìn)行分析后確定混沌態(tài)時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)。

設(shè)無量綱化動(dòng)力學(xué)方程中的各項(xiàng)參數(shù)為a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，計(jì)算出該參數(shù)條件下4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)為L1=0.122 7，L2=-0.014 4，L3=-0.566 4，L4=-0.966 7。系統(tǒng)相圖如圖2所示。

(a) x-y平面相圖

(b) x-v平面相圖

(c) x-z平面相圖

(d) y-v平面相圖

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分析

令動(dòng)力學(xué)方程組式(2)各項(xiàng)等于0，得到系統(tǒng)的3個(gè)平衡點(diǎn)為S1(0，0，6.666 7，6.666 7)，S2(-0.602 7，-0.459 5，0.945 0，1.475 3)，S3(-0.602 7，-0.459 5，0.945 0，1.475 3)。

在平衡點(diǎn)Sj(x，y，z，v)(j=1，2，3)處線性化得到其Jacobian矩陣，如式(3)所示。

(3)

Jacobian矩陣特征多項(xiàng)式為

f(λ)=A4λ4+A3λ3+A2λ2+A1λ+A0

式中：

A4=1

根據(jù)勞斯-赫爾維茨判據(jù)，若平衡點(diǎn)穩(wěn)定，應(yīng)滿足條件

經(jīng)計(jì)算，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5時(shí)，S1，S2和S3都為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

2.2 系統(tǒng)的分岔圖及李雅普諾夫指數(shù)譜

以參數(shù)a和d作為變量，分別對(duì)應(yīng)單模單環(huán)摻鉺光纖激光器a的損耗系數(shù)kα與光耦合器的耦合系數(shù)δ0。設(shè)定系統(tǒng)初值為(0.1，0.1，0.1，0.1)，取步長為h=0.01，固定方程的剩余參數(shù)，比較不同參數(shù)下的狀態(tài)。

取a∈[7，12]，令a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)a∈[7.0，7.4]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1小于0，系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)為周期窗口。當(dāng)a∈[7.4，11.4]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1始終大于0，并且沒有其他指數(shù)大于0，所以這時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。a∈[11.4，12.0]時(shí)，4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)L1、L2、L3和L4均小于0，系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)為穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

(b) 分岔圖

隨著a的增大，系統(tǒng)由周期態(tài)演變成混沌態(tài)又退化為穩(wěn)定的極限環(huán)。圖4分別示出當(dāng)參數(shù)固定取b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，a分別取7.0，8.2和11.5時(shí)系統(tǒng)的x-y平面相圖。當(dāng)a=7.0時(shí)，相圖為周期狀態(tài)，由李雅普諾夫指數(shù)譜可知，此時(shí)系統(tǒng)的4個(gè)指數(shù)均小于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)a=8.2時(shí)，相圖為混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的3個(gè)指數(shù)小于0，一個(gè)大于0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)a=11.5時(shí)，相圖為極限環(huán)狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的3個(gè)指數(shù)小于0，一個(gè)等于0，系統(tǒng)處于極限環(huán)狀態(tài)，分析可知，相圖與分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜完全對(duì)應(yīng)。

(a) a=7.0

(b) a=8.2

(c) a=11.5圖4 系統(tǒng)以a為變量的x-y平面相圖Fig.4 The x-y phase diagrams when system takes a as variable

取d∈[7，12]，a=8.2，b=0.2，c=10，e=5，g=5，h=5，該條件下李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖如圖5所示。當(dāng)d∈[7.0，7.6]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1等于0，系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)為極限環(huán)。當(dāng)d=7.7時(shí)，系統(tǒng)開始出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象。當(dāng)d∈[7.8，11.5]時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)L1大于0，并且沒有其他指數(shù)大于0，此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。當(dāng)d∈[11.5，12.0]，4個(gè)李雅普諾夫指數(shù)L1，L2，L3和L4均小于0，系統(tǒng)此時(shí)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期態(tài)。

(a) 李雅普諾夫指數(shù)譜

圖6為a=8.2，b=0.2，c=10，e=5，g=5，h=5，d分別取7.5，8.1和11.5的x-y相圖，當(dāng)d=7.5時(shí)，相圖為極限環(huán)，由李雅普諾夫指數(shù)譜可知，此時(shí)系統(tǒng)的3個(gè)指數(shù)小于0，一個(gè)等于0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)d=8.1和d=11.5時(shí)，相圖均為混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)均為3個(gè)小于0，一個(gè)大于0，處于混沌狀態(tài)，不同的是，在d=11.5時(shí)，最大李雅普諾夫指數(shù)遠(yuǎn)大于d取8.1時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出的混沌特性要遠(yuǎn)高于d=8.1時(shí)。該結(jié)果與圖5所示分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)譜完全對(duì)應(yīng)。

(c) d=11.5

2.3 系統(tǒng)復(fù)雜度分析

混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性表示系統(tǒng)與隨機(jī)序列的接近程度，其復(fù)雜度大小是待測序列隨機(jī)程度的表征。

復(fù)雜度分析包含行為復(fù)雜度和結(jié)構(gòu)復(fù)雜度，兩種分析方法在變化趨勢(shì)上具有一致性。行為復(fù)雜度大多使用ApEn，SampEn和FuzzyEn等算法，這類算法在處理短數(shù)據(jù)和連續(xù)數(shù)據(jù)時(shí)，能達(dá)到很好的衡量效果，但當(dāng)數(shù)據(jù)變長時(shí)，計(jì)算速度就會(huì)明顯下降。結(jié)構(gòu)復(fù)雜度在處理長數(shù)據(jù)時(shí)具有較好的表現(xiàn)，本研究將利用SE算法和C0算法對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度進(jìn)行分析。

SE(譜熵)算法主要采用傅里葉變換，通過傅里葉變換域內(nèi)能量分布，結(jié)合香農(nóng)熵得出譜熵值。C0算法主要思想是將序列分解為規(guī)則和不規(guī)則部分，對(duì)其中非規(guī)則部分比例進(jìn)行測量得到結(jié)果。

本研究以參數(shù)a作為變量對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜度進(jìn)行分析，其他參數(shù)取值：b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5。a∈[7，12]時(shí)仿真結(jié)果如圖7所示。

(a) SE復(fù)雜度

(b) C0復(fù)雜度

由圖7可知，SE算法和C0算法具有高度的同步性，當(dāng)a<7.4時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，當(dāng)a∈[7.4，11.4]時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)a>11.4 時(shí)，系統(tǒng)退化為極限環(huán)狀態(tài)。通過分析SE復(fù)雜度圖和C0復(fù)雜度圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)處于周期態(tài)時(shí)復(fù)雜度處于低點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài)時(shí)復(fù)雜度明顯增大，所呈現(xiàn)出的結(jié)果與圖3所示李雅普諾夫指數(shù)譜和分岔圖相吻合。

3 電路設(shè)計(jì)與仿真

混沌理論在實(shí)際工程中往往需要物理實(shí)現(xiàn)。本研究根據(jù)單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組及電路理論設(shè)計(jì)出模擬電路模型，利用Multisim對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證分析，模擬電路結(jié)構(gòu)如圖8所示。本電路采用線性電阻、線性電容、模擬乘法器和3288RT運(yùn)算放大器等元器件。根據(jù)電子元件的基本邏輯功能，電路分別使用了反向加法比例運(yùn)算電路，反向比例運(yùn)算電路，反相器和反向積分器等利用運(yùn)算放大器完成的模擬運(yùn)算電路。該電路通過對(duì)輸入信號(hào)(x，y，z，v)的加減運(yùn)算，乘積運(yùn)算，變號(hào)和積分運(yùn)算表現(xiàn)出與單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器相同的動(dòng)力學(xué)特征。

圖8電路中所示元件取值如表1所示。

表1 電路元件取值表Tab.1 Circuit element value list

根據(jù)圖8所示電路模型，使用Multisim進(jìn)行搭建仿真，通過改變相應(yīng)電阻的取值使系統(tǒng)狀態(tài)改變，得到的x-y相圖如圖9所示，分別對(duì)應(yīng)圖6的3個(gè)相圖。

4 系統(tǒng)DSP仿真

雖然單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器的模擬電路可以實(shí)現(xiàn)，但在實(shí)際電路中相關(guān)特征條件較難準(zhǔn)確控制，容易因?yàn)橥獠繑_動(dòng)產(chǎn)生誤差。本研究在DSP平臺(tái)上對(duì)本系統(tǒng)進(jìn)行仿真，表現(xiàn)出的混沌現(xiàn)象將更加穩(wěn)定。

所使用的DSP仿真芯片為f28335，設(shè)定參數(shù)a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，得到如圖10所示的圖像。

固定參數(shù)a=8.2，b=0.2，c=10，e=5，g=5，h=5，取參數(shù)d作為變量，得到如圖11所示的結(jié)果，分別對(duì)應(yīng)參數(shù)d取7.5，8.1和9.5時(shí)的3個(gè)相圖。

(a) d=7.5

(b) d=8.1

(c) d=11.5圖9 系統(tǒng)隨d變化的Multisim仿真x-y平面相圖Fig.9 Multisim simulation x-y phase diagrams of the system changing with d

(c) x-z圖10 DSP仿真各平面相圖Fig.10 DSP simulation of the plane phase diagrams

(a) d=7.5

(b) d=8.1

(c) d=11.5圖11 系統(tǒng)隨d變化的DSP x-y平面仿真相圖Fig.11 DSP simulation x-y phase diagrams changing with d

系統(tǒng)DSP仿真所用的f28335芯片及示波器如圖12所示。

圖12 DSP仿真實(shí)物圖Fig.12 The physical picture of DSP simulation

5 結(jié) 論

通過對(duì)單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器進(jìn)行分析，獲得一組四維動(dòng)力學(xué)方程。利用相圖，分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜對(duì)本系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行分析。結(jié)合電路原理設(shè)計(jì)出一套模擬電路，并利用Multisim和DSP平臺(tái)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)表明，單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器系統(tǒng)在特定參數(shù)條件下能夠表現(xiàn)出穩(wěn)定的混沌現(xiàn)象。根據(jù)系統(tǒng)方程組設(shè)計(jì)出的模擬電路在元件取值設(shè)定合理的情況下，能實(shí)現(xiàn)單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器同步變化。證實(shí)本模擬電路可以作為研究單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器的輔助手段。本文的研究結(jié)果為單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器的研究提供了新的思路，具有較高的應(yīng)用價(jià)值。