基于壓縮感知和位平面多重置亂的圖像加密算法

劉楊曦，張燁

(南昌大學(xué)電子信息工程系，江西 南昌 330031)

圖像加密是指將原始圖像的信息有效地加密和隱藏，且能夠在幾乎無失真的情況下從加密圖像中將原始圖像信息還原出來。在某些特殊領(lǐng)域，例如商業(yè)、軍事、醫(yī)療等領(lǐng)域，圖像數(shù)據(jù)必須采用加密技術(shù)處理后，再進行傳輸或者存儲。因此，安全可靠的圖像加密算法一直是該領(lǐng)域的研究熱點。

目前，圖像加密算法通常包含置亂和擴散兩個階段。置亂主要是將明文圖像中像素點的位置隨機置亂，改變相鄰像素值之間的相關(guān)性。文獻[1]利用多重哈希函數(shù)、2D-Logistic映射和循環(huán)移位函數(shù)對明文圖像像素點的位置隨機置亂實現(xiàn)圖像加密。文獻[2]采用3個不同的混沌映射生成不同的拉丁方陣將彩色圖像中不同分量中的像素點位置的行和列重新排列。文獻[3]采用四維混沌映射生成的隨機序列對圖像像素點的位置重新排列，實現(xiàn)圖像的加密。文獻[4]指出數(shù)字圖像在不同層次的位平面所包含的信息量不同，采用像素值與位平面值位置置亂的算法實現(xiàn)圖像加密。文獻[5]對圖像所有位平面中像素點的位置做行列變換置亂，實現(xiàn)圖像像素點位置的擾亂。文獻[6]先將圖像的位平面矩陣分塊，利用Logistic和Chebyshev組合映射生成的隨機序列對分塊后的位平面矩陣重新排列，可以快速地改變圖像像素點的位置，實現(xiàn)圖像的加密。文獻[7]利用六維混沌映射生成的隨機序列來控制明文圖像的位平面矩陣在每輪旋轉(zhuǎn)過程中子矩陣的大小、方向和角度，利用明文圖像的位平面矩陣的旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)圖像信息的加密。

擴散主要是改變明文圖像中像素值的大小來實現(xiàn)圖像的加密。文獻[8]利用四維憶阻混沌系統(tǒng)生成的隨機矩陣與明文圖像分別做前向和反向兩輪異或運算，將單個像素值的變化擴展到整幅圖像中，實現(xiàn)對明文圖像的加密。文獻[9]采用改進的Henon映射生成隨機矩陣，利用該隨機矩陣對分塊后的圖像做異或運算，改變圖像的像素值的大小來實現(xiàn)圖像的加密。文獻[10]考慮到圖像中高四位的位平面含有較大的信息量，利用Logistic映射生成隨機矩陣，將隨機矩陣與圖像中高四位的位平面值做位異或運算，簡單快速地修改圖像的像素值，實現(xiàn)圖像的加密。

近年來，壓縮感知技術(shù)在圖像加密中也得到了廣泛的應(yīng)用。文獻[11]將Logistic映射生成的隨機序列轉(zhuǎn)換成測量矩陣，再對圖像的稀疏變換做壓縮采樣來實現(xiàn)圖像的加密。文獻[12]是在文獻[11]的基礎(chǔ)上對多圖像做壓縮采樣，并將多個壓縮后的測量值矩陣組合成一幅加密的圖像。文獻[13]將Logistic映射生成的隨機序列作為構(gòu)造測量矩陣的種子序列，生成循環(huán)測量矩陣后對明文圖像做分塊壓縮采樣。文獻[14]采用由Logistic映射、Cosine映射和Tent映射組成的復(fù)合分階混沌映射生成Bernoulli測量矩陣，利用該測量矩陣對圖像做壓縮采樣。文獻[15]將Logistic映射、Cosine映射和Tent映射組合成一種新的一維混沌映射，采用該混沌映射生成的隨機序列作為種子序列生成非相干旋轉(zhuǎn)混沌測量矩陣，利用該測量矩陣對明文圖像做壓縮采樣。上述的圖像壓縮采樣加密算法都是利用混沌系統(tǒng)直接生成隨機測量矩陣，通常，所得到的測量矩陣的行之間具有一定的相關(guān)性，不利于解密圖像的重構(gòu)。

本文采用二維Logistic-Sine映射和Logistic-Sine映射生成隨機矩陣，將隨機矩陣經(jīng)過Sigmoid非線性函數(shù)生成測量矩陣，來降低測量矩陣的行之間的相關(guān)性。再利用該測量矩陣對圖像的DCT變換做壓縮采樣，得到測量值矩陣，也稱為壓縮加密圖像。將壓縮加密圖像采用不同的切割重組方式得到比特矩陣，再對比特矩陣多重置亂，得到置亂圖像。再對置亂圖像做擴散運算，實現(xiàn)圖像的加密。實驗分析表明采用本文算法得到的測量矩陣在解密圖像的重構(gòu)過程中可以減少圖像失真，具有較好的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度，本文的加密算法也具有較好的加密性能。

1 相關(guān)知識

1.1 混沌系統(tǒng)理論

在本文提出的加密算法中，主要采用了以下3種混沌映射。

1.1.1 Logistic-Sine映射

一維Logistic-Sine映射(LSM)的數(shù)學(xué)表達式如下[16]：

xi+1=(μxi(1-xi)+(4-μ)(sin(πxi)/4))mod1

(1)

式中：μ為系數(shù)參數(shù)，μ∈(0,4)；xi為初始值，xi∈(0,1)。

1.1.2 二維Logistic-Sine映射

二維Logistic-Sine映射(2D-LASM)的數(shù)學(xué)表達式為[17]：

(2)

式中:μ、β為系統(tǒng)參數(shù)，μ∈(0,4),β=3，(xi,yi)為初始值；(xi,yi)∈(0,1)。

1.1.3 二維Logistic-ICMIC映射

二維Logistic-ICMIC映射(2D-LICM)的數(shù)學(xué)表達式為[18]：

(3)

式中:a、θ為系統(tǒng)參數(shù)，a∈(0.5,1.969),θ∈(0.721,1.4)；(xi,yi)為初始值，(xi,yi)∈(-1,1)。

1.2 位平面分解和重組

通常一幅大小為N×N、灰度級在0～255之間的灰度圖像P，其像素值可以用1組8位二進制數(shù)來表示，共有8個位平面，即：Pz，z=1,2,…,8[19]。為實現(xiàn)位平面置亂，本文采用兩種不同的位平面切割重組方式。

方式1將位平面圖Pz的奇、偶數(shù)位平面重組得到兩個大小為N×4N的比特矩陣，即：S1,1=[P1,P3,P5,P7]，S1,2=[P2,P4,P6,P8]。

1.3 壓縮感知理論

壓縮感知是指利用信號的稀疏特性，對信號壓縮采樣，即：

y=Φx

(4)

式中:x∈RN×1為源信號向量，Φ∈RM×N為測量矩陣，其中，M?N；y∈RM×1為測量值向量。如x不具備稀疏特性，可以利用正交基Ψ=[Ψ1,Ψ2,…,ΨN]∈RN×N，對信號x做稀疏表示，即：

(5)

式中:s=[s1,s2,…,sN]T∈RN×1為信號x的系數(shù)向量，通常要求向量s中最多有K個非零元素，且K?N，則s為信號x的稀疏表示，則式(4)可寫為：

y=Φx=ΦΨs=Θs

(6)

式中:Θ=ΦΨ為傳感矩陣。為了從y中重構(gòu)信號s，矩陣Θ應(yīng)滿足有限等距性質(zhì)(restricted isometry property,RIP)，即：

(7)

若0≤δ<1，則傳感矩陣Θ滿足RIP性質(zhì)。

2 加密算法

本文的加密算法主要分成4個部分：混沌系統(tǒng)的初始值及其隨機序列的生成、壓縮采樣加密、位平面置亂加密和擴散加密。圖1為本文的圖像加密算法流程圖，具體加密過程如下。

圖1 提出的加密算法流程圖

2.1 混沌系統(tǒng)的初始值及其隨機序列的生成

利用原始圖像P，采用SHA-256哈希函數(shù)得到長度為256的二進制哈希值H，將哈希值H分成32組，每組由8個二進制數(shù)組成，即：

(8)

(9)

式中:xw為混沌系統(tǒng)的初始值，w=0,1,…,5。

將(x0,x1)作為2D-LASM系統(tǒng)的初始值，迭代N0+N/2次后舍棄前N0個值，得到兩個長度為N/2的隨機序列c1和c2，其中，N0為隨機常數(shù)。再將(x4,x5)作為2D-LICM系統(tǒng)的初始值，迭代N0+MN次后舍棄前N0個值，得到兩個長度為MN的隨機序列d1和d2。通常，M=r×N，r<1為壓縮比。

2.2 壓縮采樣加密

(10)

再將矩陣O中的每一個元素經(jīng)過非線性函數(shù)后得到隨機矩陣L對應(yīng)的每一個元素，即：

(11)

式中:u=1,2,…,M/2，v=1,2,…,N/2。再對矩陣L列規(guī)范化，得到測量矩陣Φ，即：

(12)

式中:M′=M/2。

Yl=ΦP2,l

(13)

將測量值矩陣Yl按照圖像P的行和列切割的逆過程，組合得到大小為M×N的矩陣Y。對Y規(guī)則化，使其取值范圍在[0,255]內(nèi)，即：

(14)

式中:Ymin為矩陣Y中的最小值；Ymax為矩陣Y中的最大值；P3為壓縮加密的圖像。

2.3 位平面置亂加密

采用1.2.2節(jié)中的方式1，將P3重組得到兩個大小為M×4N的比特矩陣S4,1和S4,2。將x2作為LSM混沌系統(tǒng)的初始值，再對矩陣S4,1和S4,2做多重置亂運算。多重置亂算法如下。

(15)

式中:i=1,2,…,MN/4。

(16)

綜上所述，對于高血壓合并動脈粥樣硬化的患者，在治療過程中輔以康復(fù)護理，可促進患者養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣，并將血壓水平穩(wěn)定在正常范圍內(nèi)，預(yù)防疾病的進一步發(fā)展。

2.4 擴散加密

(17)

(18)

將矩陣P4與矩陣F1和F2做異或運算，得到大小為M×N的加密圖像C。

C(g,h)=F1(g,h)⊕P4(g,h)⊕F2(g,h)

(19)

式中:g=1,2,…,M，h=1,2,…,N。

3 解密算法

(20)

4 實驗結(jié)果

由文獻[22]可將式(7)寫成：

(21)

采用大小為256×256的Lena、Pepper和Cameraman測試圖像，如圖2(a)～(c)所示。利用本文加密算法，得到對應(yīng)的加密圖像，如圖2(d)～(f)所示，其中，r=0.75。采用本文的解密算法，得到對應(yīng)的解密圖像，如圖2(g)～(i)所示，解密圖像的峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)分別為：圖2(g)為34.171 9 dB，圖2(h)為29.568 4 dB，圖2(i)為29.473 2 dB。實驗結(jié)果表明，加密圖像中無法看出任何原始圖像的特征和規(guī)律性，解密圖像和原始圖像沒有顯著的差異。

(a) Lena原始圖像 (b) Peppers原始圖像 (c) Cameraman原始圖像

采用不同的壓縮比，分別利用本文構(gòu)造的測量矩陣和文獻[11]中生成的隨機測量矩陣，采用本文的加密算法，分別對Lena圖像加密，得到對應(yīng)的加密圖像和解密圖像，計算解密圖像的峰值信噪比和平均結(jié)構(gòu)相似性(structural similarity,SSIM)，結(jié)果如表1?？梢钥闯觯捎貌煌膲嚎s比例，利用本文構(gòu)造的測量矩陣的解密算法得到解密圖像的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似性優(yōu)于文獻[11]。實驗結(jié)果表明本文構(gòu)造的測量矩陣具有更好的重構(gòu)性能。

5 算法性能分析

5.1 密鑰空間

5.2 直方圖

明文圖像的直方圖會表現(xiàn)出較明顯的特征分布，加密圖像的直方圖則是平滑均勻分布[20]。Lena、Peppers和Cameraman原始圖像的直方圖如圖3(a)、(c)、(e)所示。采用本文加密算法，得到相應(yīng)加密圖像的直方圖如圖3(b)、(d)、(f)所示。實驗結(jié)果表明，原始圖像的灰度級分布具有明顯的特征，加密圖像中的灰度級分布比較均勻，表明本文的加密算法能夠有效地抵御統(tǒng)計攻擊。

(a) Lena原始圖像

5.3 相關(guān)性分析

圖像的相關(guān)性表示圖像中相鄰像素之間的關(guān)聯(lián)程度[20]。為了衡量相鄰像素之間的相關(guān)性，計算圖像中相鄰像素的相關(guān)系數(shù)，即：

(22)

Lena原始圖像在水平、垂直和對角線3個不同方向上相鄰像素的相關(guān)性分布如圖4(a)、(c)、(e)所示。采用本文加密算法，得到Lena加密圖像在水平、垂直和對角線3個不同方向上相鄰像素的相關(guān)性分布如圖4(b)、(d)、(f)所示，實驗結(jié)果表明采用本文的加密算法降低了圖像像素之間的相關(guān)性。

(a) Lena原始圖像的水平方向

為了驗證本文算法的性能，本文采用文獻[15]和文獻[21]作為對比基準算法。文獻[15]將Logistic映射、Tent映射和Sine映射組合成一種新的一維混沌映射，并利用該混沌映射生成的隨機序列作為種子序列生成非相干旋轉(zhuǎn)混沌測量矩陣，利用該測量矩陣對圖像的離散小波變換壓縮采樣，得到測量值矩陣。最后，將測量值矩陣利用一維混沌映射生成的隨機序列重新排序?qū)崿F(xiàn)圖像的加密。文獻[21]對明文圖像做離散小波變換，得到該圖像的稀疏表示。然后采用Chebyshev映射構(gòu)成服從高斯分布的測量矩陣，對明文圖像的稀疏表示壓縮采樣，得到測量值矩陣。最后，將測量值矩陣與四維混沌映射生成的隨機矩陣做異或運算實現(xiàn)圖像的加密。

分別計算Lena、Peppers和Cameraman原始圖像、經(jīng)過本文加密算法以及文獻[15]和文獻[21]的加密算法得到相應(yīng)的加密圖像在水平、垂直和對角線3個不同方向上相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)，結(jié)果如表(2) 所示。可以看出，原始圖像中相鄰像素的相關(guān)系數(shù)接近于1，而利用本文加密算法得到相應(yīng)的加密圖像中相鄰像素的相關(guān)系數(shù)接近于0。并與文獻[15]和文獻[21]對比，利用本文的加密算法得到的加密圖像的相關(guān)系數(shù)在一定程度上更接近于0，實驗結(jié)果表明本文的加密算法可以更好地降低圖像相鄰像素的相關(guān)性。

5.4 信息熵分析

信息熵是用于計算信息中不確定度，在灰度級為255的數(shù)字圖像中，完全理想的隨機圖像中信息熵為8。計算圖像信息熵的方式如下：

(23)

表2 原始圖像和加密圖像中相鄰像素的相關(guān)系數(shù)

5.5 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性分析用于檢測當解密密鑰發(fā)生微小變化時，對比正確與變化后的解密密鑰所得到的不同解密圖像之間的差異程度。本文使用House加密圖像作為測試圖像，將前4組解密密鑰分別減去或加上10-14微小變化后得到5組改變后的解密密鑰。并利用這5組改變的密鑰依次采用本文得解密算法得到相應(yīng)的House解密圖像，結(jié)果如圖(5)所示。實驗結(jié)果表明，只有使用正確地解密密鑰才可以解密出原始圖像，即使密鑰有微小的變化，也不能從加密圖像中正確的解密出原始圖像，表明本文提出的加密算法對密鑰有很高的敏感性。

表3 原始圖像和加密圖像的信息熵

5.6 抗噪聲攻擊

本文在Lena加密圖像中添加不同強度的椒鹽噪聲，利用本文的解密算法，得到相應(yīng)的解密圖像，其結(jié)果如圖(6) 所示。并計算相應(yīng)的解密圖像的峰值信噪比，分別為圖6(a)PSNR為33.682 9 dB；圖6(b)PSNR為15.576 0 dB；圖6(c)PSNR為9.930 3 dB。實驗結(jié)果表明，隨著噪聲強度的增加，椒鹽噪聲對解密圖像的質(zhì)量影響也在增強，但在一定條件下，從解密圖像中可以看出原始圖像的信息，說明本文提出的加密算法對椒鹽噪聲具有一定的抗噪能力。

(a) 正確密鑰

(a) 強度0.000 01 (b) 強度0.000 1 (c) 強度0.000 5

6 結(jié)論

本文提出了一種基于壓縮感知和位平面多重置亂的圖像加密算法。該算法利用混沌系統(tǒng)和非線性函數(shù)生成測量矩陣，利用生成的測量矩陣對圖像的DCT變換壓縮采樣，得到壓縮加密圖像。采用不同的切割重組方式將壓縮加密圖像重組，得到比特矩陣。再對比特矩陣多重置亂，得到置亂圖像。再對置亂圖像做擴散運算，實現(xiàn)圖像的加密。實驗結(jié)果表明本文的加密算法具有較大密鑰空間、較低的相鄰像素相關(guān)系數(shù)、較高的密鑰敏感性、較高的信息熵和抗噪聲攻擊等性能。