兩種標(biāo)準(zhǔn)正交化方法的比較

丁照銀

（安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230601）

1 概述

施密特方法可以輕松實(shí)現(xiàn)將歐式空間中的任意一組基變換成標(biāo)準(zhǔn)正交基，借助矩陣的初等變換也可以實(shí)現(xiàn)同樣的目的。

2 主要結(jié)論及其證明

定理1[1]對于n 維歐式空間中任意一組基ε1，ε2，···，εn，都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基η1，η2，···ηn，使L（ε1，ε2，···εi）=L（η1，η2，···ηi），i=1，2，···，n。

證明 設(shè)ε1，ε2，···，εn是一組基，我們來逐個地求出向量η1，η2，···ηn。

定理2[3]歐式空間中的一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是它的度量矩陣是單位矩陣。

定理2 的證明是十分容易的。實(shí)際上，定理2 給出了一種從矩陣的角度來求標(biāo)準(zhǔn)正交基的思路。具體步驟敘述如下:（1）計算出已知?dú)W式空間一組基ε1，ε2，···，εn的度量矩陣A，顯然度量矩陣A是正定陣。（2）模仿二次型中尋找對稱矩陣合同標(biāo)準(zhǔn)型的方法對度量陣實(shí)施初等行列變換[5]，找到非退化的矩陣C，使得C'AC=E。（3）則（η1，η2，···ηn）=（ε1，ε2，···εn）C 就是歐式空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

應(yīng)該指出，C的確定是多種多樣的，即C 是不唯一的。這樣的結(jié)果是很容易被接受的，因?yàn)闅W式空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基本來就不是唯一的。

上述過程中的矩陣C 是由基ε1，ε2，···εn到基η1，η2，···ηn的過度矩陣。再看施密特正交化的結(jié)果，由基ε1，ε2，··εn到基η1，η2，···ηn的過度矩陣是一個主對角線上元素是正值的上三角形矩陣。其實(shí)，在實(shí)行初等變換的過程中完全可以保證C的結(jié)果是一個主對角線上的元素是正值的上三角形矩陣。

易見，利用初等變換的方法來求解所得到的結(jié)果與之前利用施密特方法所得的結(jié)果是完全一致的。

引理1[5]上三角的正交矩陣必為對角矩陣，且對角線上的元素為+1 或-1。

得a2ii=1 所以aii=1 或-1。

定理3[6]設(shè)A是一個n 級實(shí)矩陣，且A 是非退化的，則必然可以找到唯一一個主對角線上元素是正值的上三角形矩陣C，使得AC是一個正交矩陣。

證明 由定理1 或結(jié)合利用初等變換方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基過程的敘述，主對角線上元素是正值的上三角形矩陣C的存在性是顯然的。接下來就是要說明C的唯一性。

假設(shè)滿足條件的C有兩個，記為C1和C2。記A的度量矩陣為B=A/A。

3 結(jié)論

施密特正交化過程，從歐式空間已知的一組基出發(fā)來構(gòu)造歐式空間的一組新的基并且這組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基。其實(shí)，可以把標(biāo)準(zhǔn)正交化視為兩個過程，即正交化過程和標(biāo)準(zhǔn)化過程。施密特方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基既可以交叉實(shí)現(xiàn)這兩個過程，也可以待正交化完成以后再實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化的過程。初等變換方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基的過程，是利用歐式空間中度量矩陣的性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)的，而且度量矩陣的初等變換方法更能體現(xiàn)全局性。殊途同歸是對施密特正交化過程和度量矩陣的初等變換過程兩者之間關(guān)系最為形象和貼切的概括。