李代數(shù)sl(2，C)的斜導(dǎo)子

易 揚(yáng)，遠(yuǎn)繼霞

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，促進(jìn)了Kac-Moody代數(shù)、量子群等新興分支的出現(xiàn)和發(fā)展，和群論、拓?fù)?、微分幾何以及理論物理都有密切?lián)系，并在上述領(lǐng)域中有許多的應(yīng)用.研究者對(duì)于李代數(shù)的導(dǎo)子做了許多研究工作.[1-9]文獻(xiàn)[5]引出斜導(dǎo)子是通常導(dǎo)子的自然推廣之一，也是廣義導(dǎo)子和時(shí)滯導(dǎo)子的一個(gè)推廣.文獻(xiàn)[2-4]中已經(jīng)得到了一些關(guān)于廣義斜導(dǎo)子的結(jié)果.許多學(xué)者對(duì)素環(huán)和半素環(huán)上的偏斜導(dǎo)子做了許多細(xì)致深刻的探討.文獻(xiàn)[5]介紹了素環(huán)和半素環(huán)上的對(duì)稱(chēng)斜3-導(dǎo)子的概念.文獻(xiàn)[1]將廣義斜導(dǎo)子的定義推廣到R的右Martindale商環(huán)Q上.本文將文獻(xiàn)[7]中斜導(dǎo)子的定義推廣到了李代數(shù)上，并研究了sl(2，C)的自同構(gòu)所確定的斜導(dǎo)子的形式，得出對(duì)sl(2，C)任意的自同構(gòu)σ，σ-導(dǎo)子空間是1維或3維的.

1 預(yù)備知識(shí)

本文設(shè)C是復(fù)數(shù)域，所有的向量空間都是在復(fù)數(shù)域C上的向量空間.設(shè)V是C上的向量空間，End(V)為V上的所有線性變換構(gòu)成的集合.對(duì)于一個(gè)李代數(shù)g，記Autg為g的自同構(gòu)群.

定義1[7]對(duì)于σ∈Autg，令D是g上的線性變換，滿足

D([x，y])=[Dx，y]+[σ(x)，Dy]，?x，y∈g，

(1)

則稱(chēng)D為李代數(shù)的斜導(dǎo)子(或σ-導(dǎo)子).

令Derσg為g的所有σ-導(dǎo)子構(gòu)成的集合.注意到Derσg對(duì)于線性變換的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個(gè)線性空間，將其稱(chēng)為g的σ-導(dǎo)子空間.顯然任意一個(gè)李代數(shù)的導(dǎo)子是id-導(dǎo)子，因此斜導(dǎo)子是導(dǎo)子的推廣.本文將研究典型李代數(shù)sl(2，C)的σ-導(dǎo)子.回憶李代數(shù)sl(2，C)的結(jié)構(gòu)，sl(2，C)是由跡為零的2×2矩陣構(gòu)成的李代數(shù)，不難驗(yàn)證它有以下的一組基：

而且基元之間的運(yùn)算滿足下面的關(guān)系式

[h，e]=2e，[h，f]=-2f，[e，f]=h.

2 斜導(dǎo)子的刻畫(huà)

下面進(jìn)行斜導(dǎo)子的刻畫(huà)，引入如下引理：

談話前,盧一平表現(xiàn)得漫不經(jīng)心若無(wú)其事。他和郝桂芹回顧了家里的收支狀況,感嘆物價(jià)飛漲,報(bào)怨收入微薄,接下來(lái),是感嘆孩子借讀的開(kāi)銷(xiāo)和老人醫(yī)護(hù)費(fèi)的攀升?？匆?jiàn)郝桂芹連連點(diǎn)頭、默認(rèn),盧一平知道火候到了,機(jī)會(huì)來(lái)了。他開(kāi)始分析了,他開(kāi)始總結(jié)了?？偨Y(jié)的結(jié)果,是這樣下去將會(huì)坐吃山空。得出的結(jié)論,是必須改弦易轍才能扭轉(zhuǎn)局面。

證明由于A可逆，故ad-bc≠0，分成bd≠0和bd=0討論.當(dāng)bd≠0時(shí)，即為情況(1).當(dāng)bd=0時(shí)，可分為b=0和d=0.若d=0，即為情況(2).若b=0，可分為c≠0和c=0，a≠d以及c=0，a=d討論.c≠0即為情況(3)；c=0，a≠d即為情況(4)；c=0，a=d即為情況(5).

引理2[6]對(duì)每個(gè)可逆陣A，令σA(X)=A-1XA，則σA是李代數(shù)sl(2，C)的自同構(gòu)，且sl(2，C)的所有自同構(gòu)是映射XA-1XA所組成的集合.

命題1 DerσAi(sl(2，C))=CDAi，i=1，2，3，4.

證明“?”關(guān)系顯然成立，下面證明“?”關(guān)系.

σA(X)=A-1XA.

σA：h[(da+bc)h+2bde-2acf]；

e[dch+d2e-c2f]；

f[(-ba)h-b2e+a2f].

設(shè)D∈DerσAi(sl(2，C))，且

其中m，n，p，q，s，t，u，r，w∈C.根據(jù)(1)式，得到下面的等式：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

由(2)—(10)式，整理得到以下等式：

2bdu+2acq=0，4bcq-4bdm=0，-4bcu-4acm=0，

-4adr-4acn=0，4dat-4bdp=0，2dcq-2d2m=0，

2bau+2a2m=0，-2dcr-2c2n=0，-2bat+2b2p=0，

(ad-bc)m-(ad-bc)w-b2r-a2s=0，(ad-bc)q+2(ad-bc)p-2bas+2b2n=0，

(-ad+bc)u-2(ad-bc)n-2dcw-2c2p=0，-2(ad-bc)p-b2u-a2q=0，

(-2n-u)(ad-bc)+2bdr+2acs=0，2(ad-cb)m+4bcs-4bdn=0，

(2p+q)(ad-bc)+2bdw+2act=0，-4bcw-2(da-bc)m-4acp=0，

(ad-bc)s-(ad-bc)m+d2w+c2t=0，(cb-ad)q+2dct-2d2p=0，

-4(ad-bc)t-2baq+2b2m=0，(2a2-2ad+2cb)p+2baw=0，

2(ad-bc)n+d2u+c2q=0，4(ad-bc)r-2dcu-2c2m=0，

(ad-bc)u+2bar+2a2n=0，(ad-bc-a2)t-b2w=0，

(d2-ad+bc)r+c2s=0，2(ad-cb-d2)n+2dcs=0.

當(dāng)A=A1時(shí)，由上述等式解得：

于是

同理可得，當(dāng)A=A2時(shí)，等式的解如下：

于是

當(dāng)A=A3時(shí)，等式的解如下：

于是

當(dāng)A=A4時(shí)，等式的解如下：

于是

綜上所述，DerσAi(sl(2，C))?CDAi，i=1，2，3，4.

上述等式的解如下：

p=-1/2q，s=-dw/a，u=-2n，m=t=r=0.

于是