高子坤, 傅長榮

(1.麗水學(xué)院土木工程系，浙江 麗水 323000; 2.浙西南地質(zhì)災(zāi)害防治研究所，浙江 麗水 323000)

超靜孔隙水壓力的消散速度及程度影響基礎(chǔ)的承載力，并反映飽和土層固結(jié)度及壓縮量隨時間的變化規(guī)律。該問題相關(guān)的研究主要包括初始超靜孔隙水壓力的確定，反映超靜孔隙水壓力時空變化規(guī)律理論或數(shù)值解答的推導(dǎo)[1-2]及其在工程與環(huán)境問題解決中的應(yīng)用等內(nèi)容。

Sagaseta[3-4]探討了不排水條件下樁-土作用引起的地基土位移、應(yīng)力求解等問題；高子坤等[1,5-6]對半空間中壓樁擠土造成的附加位移、應(yīng)力、超靜孔隙水壓力及其消散過程展開研究，得到相應(yīng)問題的解答，但針對土體超靜孔隙水壓力消散固結(jié)問題的解答局限于齊次邊界；陳文[7]分析了飽和黏土中沉樁擠土機(jī)理及效應(yīng)；劉時鵬等[8]采用K0固結(jié)排水模型，推導(dǎo)了飽和黏土中壓樁擠土問題的應(yīng)力場并得到初始超靜孔隙水壓力解答；曹權(quán)等[9]針對飽和軟黏土中壓樁擠土問題，引入對數(shù)應(yīng)變參數(shù)描述大變形及軟化等特征，推導(dǎo)土中孔擴(kuò)張造成的應(yīng)力場，并分析了超靜孔隙水壓力分布規(guī)律；姚笑青等[10-11]對沉樁在飽和黏土中引起的超靜孔隙水壓力進(jìn)行了估算。

本文針對空間軸對稱非齊次固結(jié)問題，建立非齊次固結(jié)定解條件并推導(dǎo)解答，計算得到超靜孔隙水壓力隨時間、空間變化的模擬數(shù)據(jù)，繪制時間-平均固結(jié)度曲線、水頭等值線和流速矢量圖。結(jié)合工程實例，應(yīng)用實測的樁基承載力隨時間變化數(shù)據(jù)換算平均固結(jié)度，以驗證理論推導(dǎo)的正確性。

1 解答推導(dǎo)

空間軸對稱問題固結(jié)微分方程為[12]

(1)

式中：u為超靜孔隙水壓力；Ch、Cv分別為水平和豎直方向的固結(jié)系數(shù)；z、r分別為豎直和水平(徑)向坐標(biāo)。

建立固結(jié)模型如圖1所示，包括樁端平面(地下或地表)、樁尖平面、樁土接觸界面以及初始超靜孔隙水壓力影響范圍等。

圖1 固結(jié)模型

考慮固結(jié)開始時，場地附近的河流或水庫水位影響，建立樁端平面水頭邊界；考慮基樁以承壓含水砂礫石為持力層，或為加速固結(jié)排水設(shè)計砂井抽水降壓等措施的影響，建立樁尖平面水力梯度邊界，即式(1)的邊界條件為

(2)

初始條件為

u|t=0=f(r,z)

(3)

式中：φ(t)、ψ(t)分別為樁端邊界處水頭壓力函數(shù)和樁尖平面邊界處水力梯度函數(shù)；f(r,z)為任意函數(shù)；rw為樁孔半徑；re為f(r,z)影響半徑；H為樁長。

對定解方程式(1)進(jìn)行齊次化運算，令：

u(r,z,t)=V(r,z,t)+W(z,t)

(4)

其中W(z,t)=zψ(t)+φ(t)

依據(jù)式(2)及W(z,t)表達(dá)式可得樁尖平面水力梯度Wz(H,t)=?W(H,t)/?z=ψ(t)，樁端平面水頭W(0,t)=φ(t)。

將式(4)代入式(1)可得：

(5)

RZT′-ChDZT-CvTRZ″=0

(6)

引入?yún)?shù)μ、λ，對式(6)分離變量可得：

(7)

式(7)滿足邊界條件R′|r=rw=0，R|r=re=0、Z|z=0=0、Z′|z=H=0和初始條件V|t=0=f(r,z)-W(z,0)。

求解式(7)可得：

(8)

(9)

T(t)=Ae-λk,iCht

(10)

結(jié)合初始條件V(r,z,0)=f(r,z)-W(z,0)，將式(8)～(10)代入V(r,z,t)可得：

(11)

其中λk,i=αi2+nμk

Mi=Y0(αir)-Y0(αire)J0(αir)/J0(αire)

式中：αi(i=1,2,3,…)為特征方程J1(αirw)·Y0(αire)-J0(αire)Y1(αirw)=0的特征值；J0、J1分別為0階和1階1類Bessel函數(shù)；Y0、Y1分別為0階和1階2類Bessel函數(shù)。

依據(jù)u(r,z,t)=V(r,z,t)+W(z,t)可得式(1)的理論解：

u(r,z,t)=V(r,z,t)+zψ+φ

(12)

由式(12)可得t時刻平均固結(jié)度理論計算式為

(13)

2 工程實例

某試樁承載力實測值及其換算的平均固結(jié)度如表1所示[1,12]。

表1 承載力及平均固結(jié)度

f1(r,z)=βΔσ0+αfΔτ0

(14)

其中Δσ0=(Δσr+Δσθ+Δσz)/3

式中：Δσr、Δσθ、Δσz、Δτrz為沉樁引起的樁周土體的應(yīng)力增量，由文獻(xiàn)[1]確定；A為Skempton孔壓參數(shù)；β為Henkel孔隙壓力系數(shù)，對于飽和黏土β=1。

為便于比較及驗證，也對式(13)所示的初始條件進(jìn)行固結(jié)滲流問題計算：

f2(r,z)=γ′z

(15)

2.1 固結(jié)滲流計算

依據(jù)式(12),對水頭和水力梯度為φ=3 m、ψ=-0.4和φ=3 m、ψ=0.4兩種工況進(jìn)行計算，繪制超靜孔隙水壓力等值線和滲流速度矢量如圖2～5所示，圖2和圖4基于初始條件式(14)，圖3和圖5基于初始條件式(15)。由圖2～5比較分析可知：固結(jié)開始時刻(0 d)，等值線及流速矢量的空間分布與初始條件吻合，驗證了級數(shù)解答的正確性與收斂性；

圖2 超靜孔隙水壓力等值線(初始條件式(14)，φ=3 m，ψ=-0.4;單位：kPa)

圖3 超靜孔隙水壓力等值線(初始條件式(15)，φ=3 m，ψ=-0.4;單位：kPa)

圖4 超靜孔隙水壓力等值線(初始條件式(14)，φ=3 m，ψ=0.4;單位：kPa)

圖5 超靜孔隙水壓力等值線(初始條件式(15)，φ=3 m，ψ=0.4;單位：kPa)

在固結(jié)穩(wěn)定階段(110 d)，等值線及流速矢量的空間分布由邊界取值確定，為穩(wěn)定滲流；固結(jié)滲流中間階段(10～50 d)，滲流的空間分布和流速矢量的大小與方向受邊界條件和初始條件共同作用，隨時間變化，為非穩(wěn)定滲流；負(fù)水力梯度將提高排水固結(jié)速度，并最終在樁周土中產(chǎn)生負(fù)超靜孔隙水壓力,即超固結(jié)，如圖2和圖3所示；正水力梯度的作用與負(fù)水力梯度相反，使土層的超靜孔隙水壓力無法完全消散，如圖4和圖5所示。

2.2 平均固結(jié)度計算

依據(jù)式(14)(15)對兩種工況進(jìn)行計算：地表水位分別為0 m、3 m、6 m和9 m且樁尖平面處水力梯度為0(隔水)的工況；地表水位6 m，且樁尖平面處水力梯度分別為-2/5、-1/5、0、1/5和2/5的工況。并結(jié)合表1所列固結(jié)度數(shù)據(jù)繪制圖6和圖7。

圖6 樁尖平面水力梯度為0的時間-平均固結(jié)度曲線

圖7 地表水位保持6 m的時間-平均固結(jié)度曲線

由圖6可知，對于地表水位為0 m的情況，計算所取邊界條件與工程實例的邊界相同，理論解答計算的固結(jié)度隨時間變化規(guī)律也與實測承載力換算的固結(jié)度符合，驗證了理論解答的正確性。

對于地表水位分別為3 m、6 m和9 m的情況，由于水位上升形成補給邊界，同一時間點計算的平均固結(jié)度比0 m的情況降低。分析圖6可知，對于50～70 d的時間區(qū)間，補給邊界水位高每增加3 m(例如邊界水頭由0 m增加到3 m)，土層平均固結(jié)度值降低6%左右。

比較圖6與圖7可知，φ=6 m、ψ=-2/5與φ=0 m、ψ=0的理論計算固結(jié)曲線基本相同，說明φ=6 m與ψ=-2/5的補給與排水效果可以互相平衡，本文理論解答可以應(yīng)用于抽水或回灌水量設(shè)計。

3 結(jié) 論

a.結(jié)合工程場地存在的各種滲流固結(jié)邊界條件，建立空間軸對稱、非齊次的定解條件，推導(dǎo)固結(jié)滲流和平均固結(jié)度計算理論公式。針對不同時刻、不同初始條件、不同邊界條件，繪制樁周飽和黏土固結(jié)滲流水頭等值線和流速矢量圖，分析比較其時空變化規(guī)律，驗證了解答的正確性與工程適用性。

b.應(yīng)用實測試樁數(shù)據(jù)換算固結(jié)度，與本文理論解答計算結(jié)果進(jìn)行對比，進(jìn)一步驗證了理論公式的正確性。

c.解答適用于具備穩(wěn)定水頭、水力梯度值或補給源的邊界條件，適用于以抽水降壓、加速固結(jié)或回灌減少地面沉降等為目的抽水或灌水量設(shè)計。