壓軸題進階解析及拓展

楊天才

(重慶實驗學校 400000)

壓軸題某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為x.比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v0時，再以v0做勻速直線運動跑至終點，整個過程中球一直保持在球拍中心不動.比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ0，如圖1所示.設球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g.求：

圖1

(1)空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k；

(2)在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式；

(3)整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v0，而球拍的傾角比θ0大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件.

解題思路剖析問題(1)：(您在生活中觀察到或參與過此項比賽嗎？)分析乒乓球在過程中(1)(2)問的運動情況，你能畫出它做直線運動的大致v-t圖像嗎？

解析乒乓球先做勻加速直線運動，然后做勻速直線運動，其v-t圖像如圖2所示；

問題(2)：“球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比”意味著什么？

解析f=kv，比例系數(shù)k不變.

問題(3)：“不計球與球拍之間的摩擦”意味著什么？請作出乒乓球做勻速直線運動的受力分析圖.

解析不計球與球拍之間的摩擦意味著乒乓球在勻速直線運動階段只受三個力的作用，受力分析如圖3所示.

問題(4)：求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k為多少？

解析根據(jù)(3)的受力分析，正交分解后由力的平衡條件列方程得：

N0sinθ0-f0=0N0cosθ0-mg=0f0=kv0

①

問題(5)：乒乓球勻加速運動階段受力分析又怎樣？求球拍傾角θ的正切隨速度v變化的關系式？

解析受力分析如圖4所示，正交分解，由牛頓第二定律列方程得：

Nsinθ-f=maNcosθ-mg=0f=kv

②

問題(6)：在球拍勻加速直線運動階段，球拍的傾角如何變化才能保持乒乓球與球拍相對靜止？

解析由方程②可知，傾角θ應逐漸增大；

問題(7)：如果某同學在勻速直線運動階段未控制好球拍的傾角為θ0，而是θ0+β并保持不變，乒乓球還能相對球拍靜止嗎？乒乓球相對球拍(以球拍為參考系)做什么運動？乒乓球的運動形式怎樣分解？

解析不能相對球拍靜止，乒乓球相對球拍做勻加速直線運動，乒乓球實際做的是勻變速曲線運動，可分解為水平方向的勻速直線運動和沿球拍斜向下的勻加速直線運動；

問題(8)：問題(7)與問題(3)相比，乒乓球所受的三個力發(fā)生了哪些變化？

解析乒乓球的重力、空氣阻力(不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化)均未發(fā)生變化，球拍的支持力大小和方向都發(fā)生了變化，如圖5所示；

問題(9)：如何求解乒乓球在沿球拍方向運動的加速度？

解析受力分析如圖5所示，以球拍方向為x軸正交分解，由牛頓第二定律列方程得：

mgsin(θ0+β)-f0cos(θ0+β)=ma′

解得：a′=gsinβ/cosθ0

③

問題(10)：如何求球拍勻加速直線運動階段的位移？如何求解球拍在勻速直線運動階段所用時間t？

④

問題(11)：乒乓球不從球拍上掉落的條件是什么？

⑤

問題(12)：求角β的正弦應滿足的條件？

⑥

思維超越問題(13)：求乒乓球勻速直線運動階段球拍對乒乓球做功的功率為多少？

解析球拍對乒乓球做功的功率

⑦

問題(14)：怎樣簡化問題(4)(5)？

解析由牛頓第二定律列方程得：

Nsinθ-f=ma

Ncosθ-mg=0f=kv

解得：mgtanθ-kv=ma.

將θ=θ0，a=0代入求出

⑧

問題(15)：怎樣簡化問題(8)？

⑨

問題(16)：實際競賽過程中，乒乓球與球拍的摩擦力較小可忽略，但球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化不可忽略，分析球拍勻速運動階段球相對球拍的運動形式？實際的值β比理論值大還是??？

解析在乒乓球相對球拍向下運動過程中，空氣阻力逐漸增大，球做加速度減小的加速運動，由a′=gsinβ/cosθ0可知β比理論值??；

問題(17)：若乒乓球在球拍上相對運動時所受阻力仍滿足f=kv，球拍中心與下邊沿的距離r足夠大，求乒乓球相對球拍運動的最大速度？

解析由a′=gsinβ/cosθ0-kv/m知，當a′=0時，速度達最大，且為vm=v0sinβ/sinθ0

⑩

點評這是一道與學生生活實際聯(lián)系緊密的好題，它緊扣《課程標準》中強調的：“從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)， 讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成物理模型并進行解釋與應用的過程”.既有利于高校選拔人才的同時，還有利于課程改革的縱深推進，對推進素質教育起到很好的導向作用.