唐曉藝,劉偉,吳婉瑩,劉國欣

(1.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊830046;2.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津300401)

1.引言

養(yǎng)老保險基金是社會保障中最重要的一部分,因為養(yǎng)老金可以保障參與者退休后的基本生活需求.養(yǎng)老金的投資管理,影響著每位養(yǎng)老金參與者退休后的生活水平和幸福程度.常見的養(yǎng)老金可以分為兩大類,一類是確定收益型(DB),另一類是確定繳費型(DC).在DC型養(yǎng)老金中,參與者的繳費是固定的,一般為固定比例的工資或常數(shù),參與者退休后的待遇由繳費總額和積累期養(yǎng)老金管理者的投資收益決定,養(yǎng)老金的投資風(fēng)險是由養(yǎng)老金的參與者自己承擔(dān)的.因此,DC型養(yǎng)老金的投資策略管理受到業(yè)界和學(xué)界的極大關(guān)注.

由于DC型養(yǎng)老金的積累期較長,達到30-40年左右,因此在投資期限內(nèi),在受金融市場波動影響的同時,通脹風(fēng)險也是不容忽視的.很多學(xué)者對帶通脹的養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略進行了研究.[1?5]近年來王遠野等[6]在通脹風(fēng)險下研究了具有隨機波動和帶保費返還條款的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略,應(yīng)用隨機控制理論和博弈論,給出均值方差準(zhǔn)則下時間一致最優(yōu)投資策略和有效前沿的顯示解;WANG等[7]在通脹風(fēng)險下研究了具有隨機工資的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題,給出冪效用下的最優(yōu)投資策略的顯示解;YANG[8]在通脹風(fēng)險下研究了具有CEV股票模型的時間一致的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題,應(yīng)用隨機最優(yōu)控制理論,給出均值方差準(zhǔn)則下的均衡最優(yōu)投資策略的顯示解.此外,在養(yǎng)老金最優(yōu)策略問題的研究中,為保障養(yǎng)老金參與者退休后的基本生活需求,學(xué)者們通常考慮在控制模型中設(shè)置收益保障,例如Boulier等[9]研究了具有隨機利率和最低保障的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題,Deelstra等[10],假設(shè)隨機利率為仿射模型,引入隨機貼現(xiàn)因子,進一步研究了具有隨機利率和最低保障的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題.

目標(biāo)函數(shù)一般考慮如下兩種:一種是用效用函數(shù)來表示投資者對風(fēng)險的偏好程度,研究終端財富期望效用最大意義下的投資組合模型,另一種是直接用方差度量風(fēng)險,用期望度量收益,從而建立期望收益最高而風(fēng)險最小的均值-方差意義下的投資組合模型,而收益和風(fēng)險的關(guān)系可以看做二次效用的期望值,因此研究二次效用函數(shù)意義下最優(yōu)投資策略就很有理論指導(dǎo)意義,它既可以從另一種角度分析均值-方差意義下投資者進行投資的環(huán)境,又可以豐富和發(fā)展效用意義下的投資組合選擇問題的理論方法.

基于上述討論,本文在CHEN等[11]研究的基礎(chǔ)上,以二次效用函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo),研究在通貨膨脹風(fēng)險和最低保障約束影響下的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資組合問題.本文運用鞅方法解出最優(yōu)投資策略顯示表達式,并通過數(shù)值分析討論了最優(yōu)策略對相關(guān)參數(shù)的敏感性.

2.構(gòu)建模型

3.模型求解

4.數(shù)值分析

本節(jié)討論各初值以及主要經(jīng)濟參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響將.本節(jié)參數(shù)分別設(shè)置為:r= 0.02,R= 0.04,T= 40,T′= 60,i= 0.033,μS= 0.065,μL= 0.6,μa= 0.55,σI= 0.2,σS= 0.4,σL= 0.25,kσa= 0.36,ρIS= 0.5,ρIL= 0.6,ρIa= 0.55,ξ1= 0.015,ξ2= 0.035,x0=4,d0=8,g0=7,c=0.08,γ=0.4,‖ξ‖=0.03.

圖4.1,4.2,4.3分別刻畫了最優(yōu)投資策略隨著初始財富x0、繳費初始現(xiàn)值d0和最低保障初始現(xiàn)值g0的動態(tài)變化.根據(jù)圖4.1,當(dāng)初始財富由小變大時,投資股票和指數(shù)債券的權(quán)重均減小.這是因為隨著初始財富的增加,養(yǎng)老金管理者更容易滿足最低保障的要求,所以減少對股票和指數(shù)債券的投資,以降低風(fēng)險.根據(jù)圖4.2,d0增加會導(dǎo)致投資于指數(shù)債券和股票的財富比例下降.當(dāng)d0較小時,收到的繳費較小,并且處于虧損領(lǐng)域,因此養(yǎng)老金管理者尋求更多的風(fēng)險資產(chǎn)投資,以尋求財富最大化.換句話說,隨著d0的增加,養(yǎng)老金賬戶會收到更多的繳款,則養(yǎng)老金管理者會選擇降低的風(fēng)險,并減少對指數(shù)債券和股票的投資.特別的,當(dāng)d0足夠大時,賣空指數(shù)債券以對沖通貨膨脹風(fēng)險.根據(jù)圖4.3,隨著g0的增加,投資于指數(shù)債券和股票的財富比例增大.這是因為隨著最低保障初始現(xiàn)值的增加,對最低保障的要求提高,養(yǎng)老金管理者需要尋求更多風(fēng)險,來滿足最低保障的需求,即增加投資于指數(shù)債券和股票的比例.特別的,當(dāng)g0很小時,管理者賣空指數(shù)債券.

圖4.1 x0對最優(yōu)投資策略的影響

圖4.2 d0對最優(yōu)投資策略的影響

圖4.4,4.5,刻畫了通貨膨脹風(fēng)險對最優(yōu)策略的影響.根據(jù)圖4.4,隨著平均通貨膨脹率i增大,養(yǎng)老金管理者投資于指數(shù)債券的比例增大,當(dāng)財富累積到一定額度,養(yǎng)老金管理者減少對指數(shù)債券的投資以規(guī)避風(fēng)險.對于股票的投資有相同的結(jié)論.根據(jù)圖4.5,隨著通貨膨脹的波動率σ增大,財富投資于指數(shù)債券的比例減少.因為投資指數(shù)債券的波動性增大,而股票的波動性不變,所以財富投資于股票的比例增加,投資于指數(shù)債券的比例減少.

圖4.4 i對最優(yōu)投資策略的影響

圖4.5 σI對最優(yōu)投資策略的影響

圖4.6可刻畫參數(shù)γ對最優(yōu)投資策略的影響。隨著參數(shù)γ的增大,投資指數(shù)債券和股票的比例均有所下降,因為γ增大,會導(dǎo)致養(yǎng)老金管理者風(fēng)險厭惡系數(shù)增大,所以對指數(shù)債券和股票的投資比例減少.

圖4.6 γ對最優(yōu)策略的影響

5.結(jié)論

本文考慮通脹風(fēng)險在最低保障的約束下,基于文CHEN[11],進一步研究了在二次效用下養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略.應(yīng)用鞅方法,得出最優(yōu)投資策略的解析表達式,同時得到最優(yōu)目標(biāo)的表達式,并分析初始財富、繳費初始現(xiàn)值、最低保障初始現(xiàn)值、通貨膨脹風(fēng)險和效用函數(shù)中參數(shù)對最優(yōu)策略的影響.通過數(shù)值分析可以看出，隨著養(yǎng)老金參與者對最低保障要求提高,為使期末財富的效用最大，養(yǎng)老金管理者會將更大比例的資金投資于指數(shù)債券和股票,以獲取更多財.當(dāng)預(yù)期通脹率增大時,養(yǎng)老金管理者會投資更多資金的于指數(shù)債券以對沖通脹風(fēng)險.當(dāng)通脹的波動率增大時,養(yǎng)老金管理者選擇減少指數(shù)債券的投資,增加股票的投資來解決通貨膨脹帶來的影響.