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      三角形中一類最小值問題的探究

      2021-10-21 00:24:02林國紅
      數(shù)理化解題研究 2021年28期
      關鍵詞:余弦定理正弦變式

      林國紅

      (廣東省佛山市樂從中學 528315)

      一、試題呈現(xiàn)與解答

      題目若△ABC的內角滿足sinA+2sinB=3sinC,則cosC的最小值是____.

      評注本題是填空題中的壓軸題,屬于三角形中求最小值問題,綜合考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式等知識,對學生的運算能力,問題的轉換,轉化與化歸等數(shù)學思想進行考查;突出考查知識的交匯,其內涵豐富,思維要求高,具有良好的區(qū)分度.

      二、試題的溯源

      試題的題源就來自于以下高考題:

      三、試題的推廣探究

      由試題的解答與溯源,并通過探究,可得如下結論:

      四、試題的變式

      變式1 在△ABC中,A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知m=(1,λsinA),n=(sinA+sinB,sinB),且m⊥n,a+b=2c,則實數(shù)λ的取值范圍為____.

      解由a+b=2c,得4c2=a2+b2+2ab,①

      由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,②

      評注兩個變式題均含有型如a+λb=μc的三邊關系,利用正弦定理可以轉化為sinA+λsinB=μsinC,從而利用上述結論解答.需要注意的是變式2要注意驗證兩次利用基本不等式時取等的條件是一樣的.

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