千秋各異 殊途同歸
——十種方法解析一道三角函數(shù)中的“給值求值”問題

盧會(huì)玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

不論是教師的教學(xué)還是學(xué)生的學(xué)習(xí)，如果遇到一個(gè)題目只是就題論題的用一種方法解決問題，這無(wú)疑就沒有利用好題目的價(jià)值.相反地，如果對(duì)一些有價(jià)值的好題進(jìn)行多角度的分析與挖掘，就會(huì)打開一扇思維的窗戶，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是大有裨益的.

三角函數(shù)是高考中每年必考的內(nèi)容，而其中“給值求值”問題更是屢見不鮮.本文將對(duì)一道三角中的“給值求值”問題進(jìn)行十種角度的分析，以下便是筆者的分享.

很明顯本題主要考查弦化切的技巧，難度并不大.但是可以用多種方法切入，是可以鍛煉學(xué)生邏輯思維能力，提高解題能力，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的好題.

解法1 (利用秒殺法解題)

解法2 (利用數(shù)形結(jié)合法解題)

很明顯點(diǎn)(cosα,sinα)在單位圓x2+y2=1上.

解法3(利用方程思想解題)

本方法雖然略顯笨拙，但是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最容易想到的，畢竟sin2α+cos2α=1是常識(shí)性的知識(shí)，可以信手拈來(lái).

解法4 (利用化單名稱解題)

本方法也是學(xué)生容易想到的，算是一個(gè)好方法.

解法5 (利用平方化簡(jiǎn)解題)

形如sinα+cosα=m的式子都比較適合先平方再化簡(jiǎn)的辦法解題，是學(xué)生容易想到的.

解法6(利用1的代換解題)

sin2α+2sinαcosα+cos2α=2，

則sin2α+2sinαcosα+cos2α=2(sin2α+cos2α)，

所以sin2α-2sinαcosα+cos2α=0，

即(sinα-cosα)2=0，

所以sinα=cosα，所以tanα=1.

1的代換法是利用1=sin2α+cos2α消除常數(shù)項(xiàng)的方法，也是三角求值問題中使用率很高的方法.

解法7 (利用弦化切解題)

平方可得sin2α+2sinαcosα+cos2α=2，

則sin2α+2sinαcosα+cos2α=2(sin2α+cos2α)，

所以sin2α-2sinαcosα+cos2α=0，

兩邊同時(shí)除以cos2α，得到tan2α-2tanα+1=0，解得tanα=1.

弦化切法非常適合于直接求正切的題目，只要保證齊次即可.

解法8 (構(gòu)造等差數(shù)列解題)

再利用sin2α+cos2α=1，

本方法對(duì)學(xué)生要求較高，可以幫助學(xué)生打開思維.

解法9 (柯西不等式法解題)

由柯西不等式可得

(sin2α+cos2α)(12+12)≥(sinα+cosα)2，

柯西不等式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較難，是一個(gè)不太容易想到的方法，尤其是等號(hào)成立的條件可能會(huì)使得部分學(xué)生望而卻步.

解法10 (利用向量法解題)因?yàn)閨a·b|≤|a||b|，

所以由題可構(gòu)造向量a=(sinα,cosα),b=(1,1)，

平方得(sin2α+cos2α)(12+12)≥(sinα+cosα)2，接下來(lái)的步驟和柯西不等式法基本一致，這里不再贅述.

以上十種方法，有解決此類問題的通法，也有針對(duì)性很強(qiáng)的特殊方法，可從中很明顯的看出解法之間是繁簡(jiǎn)有別的.所以，平時(shí)一定要注重方法的積累，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)具體問題具體分析，既要掌握通性通法，又要有對(duì)付特殊問題的絕招，這樣才能快速找到解決問題的最優(yōu)解.