解不等式題時(shí)要注意等號(hào)成立的條件

張嶺芝

(江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué) 214036)

常量與變量之間的等與不等關(guān)系問(wèn)題是數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類核心問(wèn)題，由此展現(xiàn)出豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.把不等號(hào)“>”，“<”與“=”天然有機(jī)相結(jié)合得到“≥”和“≤”，這兩個(gè)優(yōu)美的符號(hào)完美的詮釋了相等與不等和諧共處，不等之中蘊(yùn)含著相等.

數(shù)學(xué)問(wèn)題在一定程度上就是解決等與不等關(guān)系，在具體的情境中，往往需要從豐富的相等與不等的條件關(guān)系中挖掘相等與不等的結(jié)果.

例1已知a>0,b>0且a+b=1求：

沿用上面的解法我們得到：

(2)的正確解法：∵a+b=1,

當(dāng)我們?cè)诙啻芜\(yùn)用基本不等式時(shí),尤其是在運(yùn)用不等式基本性質(zhì)進(jìn)行不等式運(yùn)算時(shí)需要特別注意其中等號(hào)成立的條件. 只有當(dāng)你使用的多個(gè)不等式同時(shí)成立時(shí)最后的相等關(guān)系才能取得，如果出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上不等式不能“和諧共處”時(shí)最后的相等是無(wú)法取得的.因此在解題后多作反思，仔細(xì)推敲，別忽視不等式中等號(hào)成立的條件！

例2設(shè)f(x)=|lgx|，0

(1)2a+b的取值范圍；

(2)a+2b的取值范圍.

圖1

此種類型的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)上的范圍比較可靠，如果是應(yīng)用基本不等式解題要特別小心，一定要注意挖掘題目中的隱含條件以檢驗(yàn)不等式中等號(hào)成立的條件是否具備.

例3 函數(shù)f(x)=-x3+ax2，若函數(shù)y=f(x)的圖像上任意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率都小于2，求實(shí)數(shù)a取值范圍.

上述兩種解法孰對(duì)孰錯(cuò)？

從數(shù)學(xué)美的角度來(lái)看，“等”體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的均衡與有序之美， “不等”則展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的混濁與奇異之美.從哲學(xué)的角度來(lái)看，等是相對(duì)的，不等才是絕對(duì)的，不等之中包含等，等是不等的特殊形態(tài).我們就是要在不等之中尋找相等，在相等之中尋找不等.