張 偉，柯 昭，曾嘉銘

（湖北西塞山發(fā)電有限公司，湖北黃石435000）

0 引言

齒輪傳動(dòng)在現(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)中廣泛運(yùn)用，主要通過齒輪組嚙合來實(shí)現(xiàn)機(jī)械變速或轉(zhuǎn)向等傳動(dòng)作用，其嚙合狀態(tài)將直接影響傳動(dòng)效果[1]，理論講嚙合傳動(dòng)過程中由于承載負(fù)荷的變化、轉(zhuǎn)速的變化，加工精度和齒輪故障等原因不可避免會(huì)造成振動(dòng)和沖擊。從而形成調(diào)制效應(yīng)，問題齒輪的轉(zhuǎn)頻或其倍頻（故障信號(hào)）成為“調(diào)制信號(hào)”，齒輪嚙合頻率即“載頻信號(hào)”，只有對(duì)這些信號(hào)進(jìn)行時(shí)域和頻域分析后，才能獲得準(zhǔn)確診斷結(jié)果[2]。一般齒輪箱內(nèi)有多個(gè)不同轉(zhuǎn)數(shù)的軸和齒輪配合使用，因此，含有不同頻率分量，而不同故障類型又具有不同的頻率特征。評(píng)定齒輪嚙合狀態(tài)的關(guān)鍵頻率之一是齒輪的嚙合頻率（齒輪的齒數(shù)×轉(zhuǎn)速），然而，應(yīng)該指出，嚙合頻率不像軸承故障頻率那樣重要，所有嚙合的齒輪都產(chǎn)生一定幅值的嚙合頻率，所有嚙合頻率都有一定幅值的齒輪轉(zhuǎn)速的邊帶。如果齒輪狀態(tài)良好，并且彼此良好配合（沒有明顯的不對(duì)中、齒輪游移或齒輪偏心、斷齒），則嚙合頻率及其諧波頻率和那些邊帶頻率的幅值應(yīng)該很小，尤其是那些邊帶。嚙合頻率的幅值調(diào)制及其諧頻，雖然能夠揭示出齒輪嚙合中的一些有用的信息，如齒輪不對(duì)中、負(fù)荷大小、偏心等；但是嚙合頻率通常不能揭示斷齒、裂紋或碎齒，這類齒輪故障及缺陷與邊帶頻率密切相關(guān)，由這類故障與缺陷而引起振動(dòng)能量增加，大都反映在邊頻分量上。因此，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行邊帶分析和識(shí)別，可完善齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷的手段，發(fā)現(xiàn)早期的齒輪故障及缺陷，從而避免設(shè)備產(chǎn)生不可修復(fù)的損壞。但因調(diào)制方式的不同，特別是受到不同頻率分量調(diào)制后故障特征信號(hào)變得更加復(fù)雜，嚙合頻率幅值信號(hào)不再具有特征性，在嚙合頻率兩邊所產(chǎn)生的邊頻帶也不再以嚙合頻率為中心形成對(duì)稱分布特征，從而造成利用故障特征頻譜分析法進(jìn)行齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷的巨大難度[3]。

1 嚙合頻率及邊頻帶產(chǎn)生機(jī)理

1.1 嚙合頻率

圖1 所示為一對(duì)簡(jiǎn)單嚙合齒輪副。從齒輪嚙合頻率開始，用數(shù)學(xué)公式說明嚙合頻率產(chǎn)生的機(jī)理。

圖1 簡(jiǎn)單齒輪副

轉(zhuǎn)頻：

式中：n1、n2分別為大、小齒輪轉(zhuǎn)速，r/min；f1、f2分別為大、小齒輪轉(zhuǎn)頻，Hz。

嚙合頻率：

式中：Z1、Z2分別為大、小齒輪齒數(shù)；fc為齒輪組嚙合頻率，Hz。

嚙合頻率諧頻：

式中：N為自然數(shù)1，2，3，…，N=1時(shí)稱為基頻，即嚙合頻率f4c；N=2，3，…時(shí)，稱為二次，三次……諧波頻率。

單一（以小齒輪為例）齒輪在負(fù)載嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)中的振動(dòng)信號(hào)如下。

齒輪組嚙合振動(dòng)信號(hào)：

小齒輪軸轉(zhuǎn)頻振動(dòng)信號(hào)：

式中：Ac/A1為振動(dòng)幅值；f1、fc分別為齒輪軸轉(zhuǎn)頻、嚙合頻率；φ為初相角。

因此，振動(dòng)數(shù)據(jù)采集時(shí)一個(gè)簡(jiǎn)單的齒輪嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)不可避免就會(huì)有兩個(gè)或多個(gè)振動(dòng)信號(hào)。

1.2 邊頻帶頻率

圖2 所示兩個(gè)信號(hào)源被同一時(shí)刻同一通道采集、錄入，同一模數(shù)信號(hào)處理。此時(shí)就會(huì)把低頻信號(hào)疊加到高頻信號(hào)上，一般情況下高頻信號(hào)為載頻信號(hào)，低頻信號(hào)為調(diào)頻信號(hào)，調(diào)頻信號(hào)與載頻信號(hào)相互卷積作用下改變載波信號(hào)部分參數(shù)完成調(diào)制現(xiàn)象，改變某種參數(shù)依據(jù)就是調(diào)制信號(hào)的特征值。在齒輪嚙合傳動(dòng)系統(tǒng)的信號(hào)中，齒輪嚙合頻率及其倍頻為較高頻率的載頻信號(hào)，單個(gè)問題齒輪軸或齒輪轉(zhuǎn)數(shù)頻率為調(diào)頻信號(hào)，則在時(shí)域波形圖上表現(xiàn)為高頻信號(hào)上、下峰值點(diǎn)連線（即低頻信號(hào)對(duì)高頻信號(hào)幅值調(diào)制的包絡(luò)線[4]）；則在頻譜圖上嚙合頻率附近產(chǎn)生邊頻帶結(jié)構(gòu)，如圖3所示。已知包絡(luò)線峰值與間隔和邊頻帶結(jié)構(gòu)與調(diào)制信號(hào)特征值有關(guān)，特征值包括：幅值A(chǔ)、頻率f、相位φ。下面用數(shù)學(xué)公式分別描述齒輪嚙合傳動(dòng)中3種方式的調(diào)制特征。

圖2 調(diào)制電路

圖3 時(shí)域/頻域?qū)?yīng)圖譜

1.2.1 幅值調(diào)制

幅值調(diào)制是根據(jù)嚙合齒面所受的交變應(yīng)力引起振動(dòng)信號(hào)幅度閾值發(fā)生改變的現(xiàn)象。例如齒輪嚙合傳動(dòng)中齒輪的磨損和松動(dòng)、承受的負(fù)載、齒輪偏心、齒隙過大、齒輪軸不對(duì)中等因素都會(huì)造成幅值變化的調(diào)制現(xiàn)象。用數(shù)學(xué)公式表述如下：

由式（5）可知，齒輪嚙合振動(dòng)信號(hào)（載頻信號(hào)）為：

問題齒輪的調(diào)制信號(hào)：

由式（6）得：

則：

則調(diào)制后的振動(dòng)信號(hào)為：

式中：A為振動(dòng)幅值；B為調(diào)制系數(shù)；fz為調(diào)制頻率；fc為載波頻率。

對(duì)式（8）進(jìn)行傅里葉變換，得

由此可見，數(shù)字信號(hào)處理[5]后頻域數(shù)學(xué)表達(dá)式（9）中，以嚙合頻率（載頻信號(hào)）fc為中心、以fz為間距均勻分布兩側(cè)的±(fc-fz)、±(fc+fz)三組頻域分量成分，與之相對(duì)應(yīng)閾值分別為，即形成以基頻為中心與兩側(cè)對(duì)稱分布邊帶結(jié)構(gòu)的頻譜圖[6]如圖4所示。

圖4 調(diào)幅信號(hào)的頻譜

這里簡(jiǎn)要說明兩個(gè)問題：（1）幅度閾值調(diào)制后的信號(hào)能量發(fā)生了變化，如式（9）中，即反映在邊頻帶上，很明顯，幅度閾值的調(diào)制作用下增加了兩個(gè)能量分量，即基頻的左右兩側(cè)均勻分布的邊帶，其大小相等，使得總的信號(hào)能量必然增加，增加的這部分能量主要反映了幅度閾值的大小，或者說反映了故障的強(qiáng)弱；幅值調(diào)制邊帶的間隔寬度fz頻率反映了故障發(fā)生部件的轉(zhuǎn)頻；當(dāng)調(diào)制信號(hào)有多個(gè)頻率成分的信號(hào)，則調(diào)制信號(hào)更為復(fù)雜，假如系統(tǒng)是線性的，每個(gè)調(diào)制信號(hào)都將會(huì)產(chǎn)生一對(duì)邊頻帶，如圖5所示，從而形成一個(gè)邊頻族，也會(huì)讓故障診斷帶來巨大的困難。

圖5 多成分調(diào)幅信號(hào)的頻譜

1.2.2 頻率調(diào)制

頻率調(diào)制效應(yīng)是由于齒距周期性變化、轉(zhuǎn)速變化以及不對(duì)中引起的。事實(shí)上，一個(gè)齒輪上的載荷發(fā)生波動(dòng)就會(huì)引起速度的波動(dòng)，所以，常常在調(diào)幅的同時(shí)也必然會(huì)產(chǎn)生頻率調(diào)制效應(yīng)，這里主要討論單純的頻率（即相位）調(diào)制的信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式。

當(dāng)調(diào)頻信號(hào)為cos2πfZt時(shí)，調(diào)頻信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：A為調(diào)頻信號(hào)的幅值；a為調(diào)制系數(shù)；fZ為調(diào)制頻率；fc為載頻。

由恒等式

式中：jm(a)為變量a的第一類Bessel函數(shù)[7]。

對(duì)式（12）進(jìn)行傅里葉變換，得：

由此可見，單純頻率（相位）調(diào)制信號(hào)數(shù)字處理后，仍然以嚙合頻率（載頻信號(hào)）fc為中心，以fz頻率間隔均勻分布兩側(cè)的邊頻帶，對(duì)稱位置上的幅值也相等，如圖4所示。

1.2.3 調(diào)幅調(diào)頻共同作用下的邊頻帶

根據(jù)公式（8）、（10）得出調(diào)幅和調(diào)頻共同作用下的信號(hào)表達(dá)式[8]：

式中：A為振動(dòng)幅值；B為調(diào)制系數(shù)；fz為調(diào)制頻率；fc為載波頻率；α為調(diào)制系數(shù)。

將式（14）進(jìn)一步展開，得：

將式（15）進(jìn)行傅里葉變換，得

由此可見，在幅值和頻率（相位）調(diào)制同時(shí)作用下，中心頻率fc（基頻）不再是唯一的，還包含有±(fc+fz)和±(fc-fz)兩個(gè)基頻分量，其間距都為fz的3組頻率分量進(jìn)行矢量疊加，因此，調(diào)制邊頻帶就會(huì)隨著故障的隨機(jī)性而發(fā)生畸變，不再具有對(duì)稱性特征。如圖6所示。

圖6 不對(duì)稱邊頻帶頻譜

2 邊頻帶不對(duì)稱性實(shí)例分析

2.1 設(shè)備概況及數(shù)據(jù)采集設(shè)計(jì)

2.1.1 設(shè)備概況

某電廠2×330 MW機(jī)組配備2×4臺(tái)低速筒式鋼球磨。電機(jī)輸入轉(zhuǎn)速為983 r/min，連接傳動(dòng)方式如圖7所示?？梢姡患?jí)傳動(dòng)嚙合頻率為G1，其中，輸入軸轉(zhuǎn)速983 r/min，主齒輪齒數(shù)25，從動(dòng)輪齒數(shù)56；二級(jí)傳動(dòng)嚙合頻率G2，其中，主動(dòng)輪齒數(shù)25，從動(dòng)輪齒數(shù)71；三級(jí)傳動(dòng)嚙合頻率G3，其中，主動(dòng)輪齒數(shù)26，從動(dòng)輪齒數(shù)209。

圖7 鋼球磨傳動(dòng)連接方式及測(cè)點(diǎn)布置

根據(jù)式（4）可得：

G1頻率為409.58 Hz，二倍諧頻819.16 Hz，減速箱輸出軸轉(zhuǎn)速為983 r/min，轉(zhuǎn)頻16.38 Hz，中間軸轉(zhuǎn)速為438.83 r/min，轉(zhuǎn)頻7.31 Hz。

G2頻率為182.84 Hz，二倍諧頻365.699 Hz，減速箱輸出軸轉(zhuǎn)速為154.52 r/min，轉(zhuǎn)頻2.575 Hz。

G3頻率為66.959 Hz，二倍諧頻133.918 Hz，磨煤機(jī)罐體轉(zhuǎn)速為19.22 r/min。

2.1.2 數(shù)據(jù)采集設(shè)計(jì)

由圖7可知有3個(gè)軸轉(zhuǎn)頻，在三級(jí)齒輪箱處按照?qǐng)D7所示加裝6個(gè)三軸加速度振動(dòng)傳感器；信號(hào)采樣頻率：低頻范圍200 Hz、高頻范圍2 000 Hz；FFT（快速傅里葉變換）[9]頻譜分析線數(shù)1 600線，解調(diào)譜分析點(diǎn)數(shù)1 500點(diǎn)。某日現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際測(cè)得數(shù)據(jù)處理后得到的時(shí)域和頻域圖譜如圖8～9所示。

2.2 數(shù)據(jù)分析

（1）時(shí)域波形（圖8）中可清晰看到某一局部齒輪副調(diào)制信號(hào)明顯，幅值較高，說明故障到了相當(dāng)嚴(yán)重的程度。低頻范圍內(nèi)一個(gè)周期4 s，高頻范圍內(nèi)一個(gè)周期0.4 s，（因?yàn)轭l率與周期互為倒數(shù)關(guān)系）則調(diào)制信號(hào)頻率為：低頻頻率f=1/S=1/4=0.25 Hz；高頻頻率f=1/S=1/0.4=2.5 Hz，對(duì)應(yīng)的軸頻率是減速箱輸出軸轉(zhuǎn)速頻率（2.575 Hz），但是這個(gè)軸左右兩側(cè)（圖7）有兩對(duì)齒輪副，嚙合頻率分別是G2和G3，因此，仍然無法準(zhǔn)確判斷故障類型和故障發(fā)生地點(diǎn)。

圖8 時(shí)域全景

（2）頻域圖譜（圖9）中更是難以看到對(duì)稱邊頻帶，甚至無法辨別中心頻率（即故障齒輪副嚙合頻率），因?yàn)榇藭r(shí)邊頻帶幅值也很高，甚至高過中心頻率幅值，這只能證明故障的嚴(yán)重程度，而無法準(zhǔn)確判斷出故障類型和故障發(fā)生地點(diǎn)。

圖9 頻域全景

（3）細(xì)化頻譜、解調(diào)、倒譜等手段的定位分析。

如圖10所示，通過細(xì)化將頻譜分成三部分組成：第一部分（粉紅色區(qū)域）63.25 Hz、126.5 Hz，應(yīng)該就是G3頻率與二倍諧頻，也就是故障點(diǎn)位置；第二部分（紅色區(qū)域）最大值位置109.31 Hz，次高值位置106.83 Hz，應(yīng)該是邊頻帶區(qū)域；第三部分（藍(lán)色）184.22 Hz，應(yīng)該是G2頻率。

圖10 細(xì)化頻譜

如圖11所示，通過解調(diào)譜分析，最大振動(dòng)幅值發(fā)生位置在G3處，由于是同軸原因影響，G2振動(dòng)幅值相應(yīng)增加；因此也可以證明故障點(diǎn)發(fā)生在G3位置。

圖11 解調(diào)譜

如圖12所示，通過倒譜分析，可以很好地在頻譜圖中表現(xiàn)出周期分量，將特征頻譜圖中成族的邊頻帶譜線簡(jiǎn)化成為間隔均勻的單根倒譜頻率線[10]（即圖12中紅色部分—邊頻帶），此間隔對(duì)應(yīng)的頻差應(yīng)該就是故障點(diǎn)處軸旋轉(zhuǎn)頻率。

圖12 倒譜

2.3 實(shí)例驗(yàn)證

現(xiàn)在已經(jīng)排除齒輪嚴(yán)重故障時(shí)邊頻帶成族化、嚴(yán)重不對(duì)稱、偏移、幅值較基頻幅值高等等消極影響，準(zhǔn)確判斷出故障嚴(yán)重程度及故障發(fā)生地點(diǎn)。磨煤機(jī)打閘停運(yùn)后，解體G3處齒輪箱，發(fā)現(xiàn)斷齒（圖13），及時(shí)更換齒輪、恢復(fù)設(shè)備運(yùn)行。

圖13 第三級(jí)傳動(dòng)G3主動(dòng)齒輪斷齒

綜上所述，在頻域分析中，極端的齒輪根部斷齒時(shí)會(huì)激發(fā)出1X、2X、3X嚙合頻率，甚至更多的高倍諧頻分量，且嚙合頻率及諧頻的兩側(cè)都將伴有邊頻帶成分，邊頻帶分量數(shù)目較多，幅度閾值較高，頻率范圍分布較廣，不具有對(duì)稱性，因此難以區(qū)分。只有了解數(shù)字信號(hào)處理原理，每根頻譜線對(duì)應(yīng)頻率所包含的意義，通過自相關(guān)性劃分嚙合頻率及諧頻和邊頻帶，再對(duì)其進(jìn)行細(xì)化分析，采用多種手段判斷和識(shí)別，才能確保診斷的準(zhǔn)確性。

3 結(jié)束語

在齒輪傳動(dòng)中，故障因素的多樣性、隨機(jī)性使得調(diào)制信號(hào)源非常的復(fù)雜，在頻率域分析過程中，多個(gè)不同頻率分量的矢量疊加組合時(shí)，產(chǎn)生較寬分布的密集邊頻帶。通常問題齒輪副的調(diào)制信號(hào)既有幅度閾值變化又有頻率閾值的變化，即幅、頻調(diào)制效總是同時(shí)存在，在一定的加窗函數(shù)范圍內(nèi)，頻率閾值相等的等間距邊頻帶還存在著相位差，相位同方向時(shí)矢量疊加，組合邊頻帶幅值增大；反之，組合邊頻帶幅值減小。因此形成了不對(duì)稱分布的邊頻帶，給故障診斷分析過程中帶來極大的困難?？紤]到邊頻帶對(duì)故障類型和故障嚴(yán)重程度的指向性，如何消除不對(duì)稱邊頻帶在故障診斷的影響就變得尤為重要。只有通過產(chǎn)生機(jī)理上入手，細(xì)化并且區(qū)分每根邊頻帶頻率和幅值意義才能作出故障診斷結(jié)論，而這種診斷結(jié)論還是不確定的，還需要采用綜合的多種手段故障特征識(shí)別，才能作出精準(zhǔn)故障診斷結(jié)論。