邵廣盛，劉志杰，余秋雨，游善平

(1. 貴州師范大學貴州省信息與計算科學重點實驗室，貴州 貴陽 550001；2. 四川大學網(wǎng)絡空間安全學院，四川 成都 610207)

2016年，用于脈沖星觀測研究的500 m口徑球面射電望遠鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope, FAST)在貴州平塘落成，我國實現(xiàn)了依靠國內(nèi)設備發(fā)現(xiàn)脈沖星的零的突破。脈沖星是宇宙中一類奇妙的天體，是驗證強引力場、強磁場和高密度等極端環(huán)境下物理規(guī)律的天然實驗室[1]。作為脈沖星研究的利器，500 m口徑球面射電望遠鏡采用19波束接收機每天8 h對天區(qū)進行大規(guī)模巡天，搜尋并接收脈沖星發(fā)出的電磁波信號，依據(jù)電磁脈沖信號確定天區(qū)中是否存在脈沖星。眾所周知，脈沖星距地球約3 000～ 55 000光年，脈沖星發(fā)出的信號到達地球且成功被專用儀器接收的信號能量十分微弱，整個脈沖信號淹沒在極強的噪聲中[2-3]。因此，去噪在脈沖星信號的檢測和發(fā)現(xiàn)中至關重要。

小波變換作為一種多分辨分析方法能夠同時在時域和頻域?qū)π盘栠M行分析，由于具有時域局部化和多分辨特性而稱為數(shù)學顯微鏡，非常適合處理非平穩(wěn)信號[4]。脈沖星信號是一種典型的非平穩(wěn)信號，文[5]把小波分析應用于脈沖星信號去噪,認為小波分析可以更好地對非平穩(wěn)信號進行消噪處理，因而小波變換替代了傳統(tǒng)的傅里葉變換，在脈沖星信號處理方面大顯身手。此后研究者對小波變換去除脈沖星信號噪聲進行了大量的研究，文[6]探索了極大極小原理、史坦(Stein)無偏似然原理的脈沖星降噪方法；文[7]嘗試改進閾值函數(shù)以提高脈沖星信號去噪效果，提出了軟硬折中閾值函數(shù)、指數(shù)型閾值函數(shù)處理脈沖星小波分解系數(shù)，獲得了較好的效果。

小波變換既能有效去除信號的噪聲，又能較好地保持原有信號的數(shù)據(jù)，是信號處理的理想工具。但小波變換主要針對低頻信息的提取和分析，經(jīng)常忽略高頻信息，這對整個信號分析的精確度產(chǎn)生較大的影響。小波變換去噪是在小波函數(shù)中選擇一種合適的信號處理基函數(shù)，利用基函數(shù)進行小波分解，根據(jù)不同閾值函數(shù)的處理結(jié)果對信號進行重構，從而實現(xiàn)小波變換去噪。小波變換去噪因基函數(shù)和閾值函數(shù)的不同而表現(xiàn)出不同的去噪效果，去噪效果有一定的隨機性[8]。

隨著小波理論的完善，小波包分析得到了進一步的發(fā)展。小波包分析是小波分解的一般化，具有更強的去噪能力，既能像小波分析一樣對信號的低頻部分進行分解，也能夠?qū)π盘柕母哳l部分進行分解，更好地提取各頻段的有用信息。小波包去噪方法應用在圖像、地震、心電、海波等信號領域，文[9]嘗試將小波包濾波方法與X射線脈沖星噪聲濾除相結(jié)合，但沒有對小波包去噪進行系統(tǒng)的分析。本文提出將小波包閾值法應用于脈沖星信號去噪，系統(tǒng)分析各種閾值函數(shù)的去噪效果。實驗結(jié)果顯示，小波包閾值法與傳統(tǒng)的小波變換法相比，脈沖星信號的去噪效果得到了明顯的提高，為脈沖星信號去噪提供了一些思路。

1 小波變換與小波包變換

1.1 小波變換方法

觀測信號可以看作為f(t)，滿足

f(t)=s(t)+n(t)，

(1)

其中，f(t)為接收的原始信號，即含噪信號；s(t)為需要提取的去噪后的信號；n(t)為方差為σ2的噪聲，服從n(0,σ2)分布。一維含噪信號f(t)按照小波級數(shù)展開可以得到n個由多分辨分析理論得出的線性組合，具體的小波變換為

(2)

其中，Wf(ψj,k)為從信號變換的線性空間L2(R)中提取的小波基ψj,k的離散小波變換；ψ(2jn-k)為小波基函數(shù)ψj,k離散化處理后得到的函數(shù)。觀測信號的小波變換系數(shù)由(2)式確定。

1.2 小波包變換方法

小波包變換是小波變換的拓展，具備小波變換處理觀測信號低頻部分的能力，同時能夠較好地分解高頻部分，收集觀測信號各個頻段的有用信息，進而提高去噪精度。具體的小波包變換公式為

(3)

其中，φ(x)和ψ(x)分別為信號在L2(R)上多分辨分析中的尺度函數(shù)和小波函數(shù)；hn和gn為濾波器系數(shù)，滿足

(4)

(5)

gn=(-1)2hn-1.

(6)

2 小波包閾值去噪法

2.1 小波包分解與重構

小波包理論中的小波包變換具有分解與重組的性質(zhì)[10]。小波包分解算法的數(shù)學表達式為

(7)

(8)

(9)

其中，w為信號經(jīng)過小波包分解后得到的分解系數(shù)；h和g為小波包分解的濾波器系數(shù)；j和n為小波包分解中各分解節(jié)點的編號；l和k為信號進行小波包分解所在的分解層數(shù)。

2.2 最優(yōu)小波包基的確定

小波包分析處理觀測信號時，首先對信號進行小波包分解。小波包分解與小波分解有所不同，小波包分解是按照二叉樹的形式，信號的低頻和高頻部分都進行相應的完全二叉樹形式的分解。信號分解的層數(shù)直接影響信號的去噪效果，處理的信號在逐層分解過程中必須確定一個最優(yōu)分解層數(shù)。分解層次過低造成頻段中混合有用信號，分解層次過高導致結(jié)果有誤差[11]。在小波分析去噪過程中，分解層數(shù)過多造成信號信息量的丟失，從而導致信噪比下降，影響最終的去噪效果。在小波分析的實際應用中，分解層數(shù)一般取3～5[12]，本文取5進行對比分析。

小波包變換中存在多種小波構成的基底庫，因此需要根據(jù)信號的特性，結(jié)合代價函數(shù)的評價標準進行選擇。選擇小波函數(shù)時需要充分考慮脈沖信號的特點，選擇能夠滿足給定區(qū)間的緊支性和足夠的消失矩，以便能夠更加有效地去除噪聲，提取真正的目標脈沖信號。為了選出符合脈沖星信號特點的小波基函數(shù)，本節(jié)選取Symlets, Coiflets, Daubechies和Biorthogonal系列小波以及Haar小波進行比較分析。為了便于比較分析，本節(jié)統(tǒng)一采用固定閾值規(guī)則，利用不同的小波基進行5層分解，分析結(jié)果如表1、表2、表3和表4。其中N表示小波階數(shù)；SymN, CoifN, DbN和BiorN分別表示Symlets, Coiflets, Daubechies和Biorthogonal系列小波。

表2 Sym N, Coif N和Db N系列小波基的脈沖星信號去噪后均方根誤差Table 2 The RMSE of Pulsar signal denoised by Sym N, Coif N and Db N series wavelet bases

表1 Sym N, Coif N和Db N系列小波基的脈沖星信號去噪后信噪比

從表1～表4統(tǒng)計的信噪比和均方根誤差可以看出，利用 SymN，CoifN，DbN，BiorN和Haar小波進行脈沖星信號去噪整體上效果較好，其中，SymN小波的效果最好，CoifN小波次之，BiorN小波最差。此外，小波基階數(shù)不同，去噪效果也不同，就單個小波基而言，Sym5小波去噪效果最好。因此，本文選取近似對稱的緊支集正交小波Sym5作為小波基函數(shù)對脈沖信號進行小波包分析，分解層數(shù)為5層，得到最優(yōu)小波包基，也就是小波包分解的最優(yōu)化樹。

2.3 閾值函數(shù)的選擇

利用小波包變換處理信號的過程中經(jīng)常出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象，也就是在信號經(jīng)過高通濾波器時的一種頻率交疊現(xiàn)象，導致分解的小波包系數(shù)出現(xiàn)頻率大小順序錯位，即信號的低頻部分從小到大排列，信號的高頻部分則從大到小排列。因此，在進行小波包閾值處理之前需要先對變換后的小波包系數(shù)進行排序，再根據(jù)排序后的小波包系數(shù)選取對應的信號處理閾值。

小波包分析常用的閾值選取準則有4種，分別為固定形式(Sqtwolog)閾值準則、自適應(Rigrsure)閾值準則、啟發(fā)式(Heursure)閾值準則和極大極小值(Minimaxi)閾值準則，本文采用固定形式閾值準則對信號進行處理。信號分解時，每層的系數(shù)選定閾值以后，需要確定對信號處理的閾值函數(shù)。常用的閾值函數(shù)有軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)，其中，硬閾值函數(shù)采用將絕對值不大于閾值λ的所有元素用0取代，這樣容易造成處理后的信號不連續(xù)。硬閾值函數(shù)的表達式為

表3 Bior N系列小波基的脈沖星信號去噪后信噪比和均方根誤差

表4 Haar系列小波基的脈沖星信號去噪后信噪比和均方根誤差

(10)

軟閾值函數(shù)克服了硬閾值函數(shù)的不足，有效避免信號間斷，具有較好的連續(xù)性。然而當小波系數(shù)較大時，經(jīng)過閾值函數(shù)處理后容易造成信號的高頻部分損失，進而影響信號重構。軟閾值函數(shù)的表達式為

(11)

(12)

其中，α取值范圍為0≤α≤1。當α取0時相當于硬閾值函數(shù)，當α取1時相當于軟閾值函數(shù)，適當調(diào)整α的大小可以得到更優(yōu)的信號去噪效果。

3 脈沖星信號去噪分析

實驗采用的脈沖信號來源于帕克斯(Parkes)脈沖星觀測數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)經(jīng)過PRESTO去干擾、消色散后得到 .dat數(shù)據(jù)文件，以二進制形式記錄，采樣頻率為1 024 Hz。

圖1為原始脈沖信號消色散后得到的圖形，圖2為原始脈沖信號消色散后的功率譜。本文對目標脈沖星信號文件按照Sym5進行小波包分解，分解層數(shù)為5層，分別選擇小波分析的硬閾值、軟閾值和軟硬折中閾值函數(shù)，采用固定形式閾值準則進行處理。

圖1 消色散后得到的信號Fig.1 The dispersion-limited signal

圖2 消色散后得到信號的功率譜Fig.2 The power spectrum of the dispersion-limited signal

為了比較采用不同去噪方法獲得信號的去噪效果，本文參照文[13]采用信噪比、峰值信噪比和平滑度作為評價指標比較最終的去噪效果，信噪比越大、峰值信噪比越大、平滑度越小，去噪效果越好。具體公式定義如下：

(1)信噪比的計算公式為

(13)

(2)均方根誤差的計算公式為

(14)

(3)峰值信噪比是信號的最大功率和噪聲功率的比值，用PSNR表示，具體公式為

(15)

(4)平滑度是去噪后信號差分數(shù)的方差根和信號之間差分數(shù)的方差根之比，常用r表示，具體公式為

(16)

以上各式中，s(i)為含噪信號；f(i)為去噪后的信號。

小波變換和小波包變換去噪法采用不同閾值處理的結(jié)果圖和功率譜圖見圖3～圖10，去噪后的各評價指標見表5。由表5可知，采用小波包閾值法去噪相比小波變換能夠取得更好的效果，盡管小波包變換各類閾值函數(shù)處理之后，得到的均方根誤差、功率譜變化并不明顯，但是在信噪比、峰值信噪比以及平滑度方面都有相應的提高。如實驗顯示，采用小波包硬閾值法與小波變換硬閾值法相比，平滑度降低至0.000 068，信噪比提高至128.574 093 dB，峰值信噪比提高至50.216 641 dB，小波包軟閾值、軟硬折中閾值法去噪效果的各項評價指標都有相應的提高。

圖3 小波軟閾值法去噪后的信號Fig.3 The result of de-noised with wavelet soft threshold method

圖4 小波硬閾值法去噪后的信號Fig.4 The result of de-noised with wavelet hard threshold method

圖5 小波軟硬閾值折中法去噪后的信號Fig.5 The result of de-noised with wavelet soft and hard threshold compromise method

圖6 小波閾值法去噪后信號的功率譜Fig.6 Power spectrum of the result of de-noised with wavelet threshold method

圖7 小波包軟閾值法去噪后的信號Fig.7 The result of de-noised with wavelet packet soft threshold method

圖8 小波包硬閾值法去噪后的信號Fig.8 The result of de-noised with wavelet packet hard threshold method

圖9 小波包軟硬閾值折中法去噪后的信號Fig.9 The result of de-noised with wavelet packet soft and hard threshold compromise method

圖10 小波包閾值法去噪后信號的功率譜Fig.10 Power spectrum of the result of de-noised with wavelet packet threshold method

表5 小波變換和小波包變換去噪效果表Table 5 De-noised effect table of wavelet and wavelet packet transform

4 總結(jié)與展望

本文針對小波變換在去噪方面存在的不足，提出了使用小波包閾值法對脈沖星信號去噪。小波包閾值法首先需要對小波包分解后的系數(shù)按從小到大的順序排列，然后采用固定閾值準則求出閾值，利用常見的軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)和軟硬折中閾值函數(shù)對小波包變換后的系數(shù)進行處理，并對處理后的信號進行重構，得到去噪后的信號。本文首先從理論方面對小波包閾值法去噪進行了相關論述，之后通過實驗驗證了小波包閾值法去除脈沖星信號噪聲的效果優(yōu)于小波分解法。為了使實驗結(jié)果得到量化標準，本文采用信噪比、峰值信噪比、平滑度以及均方根誤差進行量化，比較不同方法去噪的效果。實驗結(jié)果表明，小波包閾值法較小波變換有更好的去噪效果。由于目前本文只使用Sym5小波基和固定閾值準則對選用的帕克斯望遠鏡脈沖星信號進行了測試，是否適用于其他脈沖星信號，是否其他小波基或者閾值準則也能夠獲得同樣的去噪效果有待進一步探索研究。

致謝：感謝貴州省信息與計算重點實驗室提供數(shù)據(jù)支持。