DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2021.08.007

摘? 要：研究了一類具有隨機(jī)長連接的雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。首先給出雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和矩陣表示，然后分析了網(wǎng)絡(luò)連接強(qiáng)度矩陣C的最大特征值γ1在數(shù)學(xué)期望意義下的取值，討論了雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)在無時(shí)滯和有時(shí)滯兩種情況下，系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定和不穩(wěn)定時(shí)，矩陣C的最大特征值γ1需要滿足的條件。最后，給出了雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性區(qū)域。

關(guān)鍵詞：雙層網(wǎng)絡(luò);隨機(jī)長連接;時(shí)滯;概率;穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：O157.5? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2021）08-0024-03

Study on the Stability of a Class of Double-layer Small World Oscillator Network

ZHOU Jing

（College of Information Technology，Jilin Agricultural University，Changchun? 130118，China）

Abstract：In this paper，the stability of a class of double-layer small world oscillator network with random long connection is studied. Firstly，the structure and matrix representation of the double-layer small world oscillator network are given，and then the value of the maximum eigenvalue γ1 of the network connection strength matrix C in the sense of mathematical expectation is analyzed. The conditions of the maximum eigenvalue γ1 of matrix C need to be satisfied are discussed under the two conditions of the double-layer small world oscillator network without time delay and with time delay，and when the equilibrium point of the system is stable and unstable. Finally，the stability and instability regions of the double-layer small world oscillator network are given.

Keywords：double-layer network;random long connection;time delay;probability;stability

0? 引? 言

雙層網(wǎng)絡(luò)是普遍存在于我們生產(chǎn)生活中的一類比較簡(jiǎn)單的多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，它是由兩個(gè)單層網(wǎng)絡(luò)通過固定的或是隨機(jī)的長連接耦合而形成的“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、代謝網(wǎng)絡(luò)、新冠病毒傳播網(wǎng)絡(luò)及交通網(wǎng)絡(luò)等一些網(wǎng)絡(luò)中都存在著兩個(gè)單層網(wǎng)絡(luò)的彼此連接和相互作用。近年來，關(guān)于雙層網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)成為眾多學(xué)者的主要研究方向^[1-3]。在大多數(shù)的研究中，往往為了方便討論，通常假設(shè)雙層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)間的連接方式是固定不變的，且不存在時(shí)滯。然而，在真實(shí)的雙層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和外部的干擾對(duì)雙層網(wǎng)絡(luò)的性能有著非常大的影響。特別地，雙層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的長連接是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的重要標(biāo)志，起著關(guān)鍵性的作用，因此，如果對(duì)雙層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間長連接的連接方式的研究更接近于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的長連接的話，將更有利于人們了解和掌握雙層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征和作用機(jī)理，為探索雙層網(wǎng)絡(luò)或更復(fù)雜的多層網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

目前，在雙層網(wǎng)絡(luò)的研究中，關(guān)于網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為的研究受到了國內(nèi)外專家和學(xué)者們的廣泛關(guān)注，如穩(wěn)定性問題、魯棒性問題、同步問題、分岔問題等。如張楠^[4]利用線性穩(wěn)定性分析方法，討論了當(dāng)雙層星型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的層間耦合強(qiáng)度不同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的層間同步問題和層間耦合強(qiáng)度對(duì)同步穩(wěn)定區(qū)域的影響;于東元^[5]研究了單層網(wǎng)絡(luò)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一類雙層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的層內(nèi)及層間同步問題，分析了鏡面波和反射波的層間相互作用的動(dòng)力學(xué)原理;周晶^[6]探討了一類層間由固定的連接耦合而成的雙層振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和分岔問題，給出了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性的判定條件和Hopf分岔存在的條件。但是，對(duì)于節(jié)點(diǎn)間具有隨機(jī)長連接，特別是網(wǎng)絡(luò)層間具有隨機(jī)長連接的雙層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型動(dòng)力學(xué)方面的研究卻較少。本文考慮了一類具有隨機(jī)長連接的雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的長連接是隨機(jī)的，且單層網(wǎng)絡(luò)的長連接概率和層間的長連接概率不是必須相等的，我們?cè)谝陨蠗l件下研究了雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題。

1? 雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

本文考慮一類具有隨機(jī)長連接的雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)模型，其結(jié)構(gòu)用以下微分方程表示：

這里，xi（t）表示第i個(gè)振子的位移，f（xi）表示一個(gè)非線性函數(shù)，滿足f（0）=0，f '（0）=1，τ≥0表示時(shí)滯，cij表示網(wǎng)絡(luò)的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連接強(qiáng)度，如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間不存在相互連接，則cij=0，如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在相互連接，則c_ij≠0，且c_ij=c_ji（i≠j）。雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，它是由A層和B層兩層網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的，其中每一層網(wǎng)絡(luò)都是一個(gè)含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的Newman-Watts小世界網(wǎng)絡(luò)，圖中每個(gè)小圓圈代表網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，每一條實(shí)線或者虛線代表網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的一個(gè)連接。單層小世界網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建方式為：首先，在每個(gè)單層網(wǎng)絡(luò)上，建立一個(gè)含有n（n充分大）個(gè)節(jié)點(diǎn)的規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與它左右各兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)都不與它自身相連。然后，在規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，以概率p₁（p₁=1）隨機(jī)的選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)用直線連接起來，形成小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接。同時(shí)，兩個(gè)單層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)之間也存在著長連接，這里，設(shè)A層與B層網(wǎng)絡(luò)以概率p₂（p₂=1）隨機(jī)的選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接。本文規(guī)定雙層網(wǎng)絡(luò)的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連接（包括規(guī)則連接和長連接）均是激勵(lì)的連接，圖中使用“+”來表示，如果節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間存在連接，則連接強(qiáng)度都是固定的常數(shù)，即c_ij=c_ji=k>0（i≠j）。本文規(guī)定，雙層網(wǎng)絡(luò)的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間只有一條連接。

2? 雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的局部穩(wěn)定性

為討論雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，將式（1）在零平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化，可得：

這里，矩陣x=（x₁，x₂，…，x_2n）^T表示雙層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的狀態(tài)矩陣，矩陣C=（c_ij）_2n×2n是一個(gè)隨機(jī)的實(shí)對(duì)稱矩陣，表示雙層網(wǎng)絡(luò)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的連接強(qiáng)度構(gòu)成的矩陣。由于規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的連接是確定的，而單層小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接和兩層網(wǎng)絡(luò)之間的長連接都是隨機(jī)的，所以，構(gòu)成矩陣C的元素是比較復(fù)雜的。為了方便問題的研究，我們?cè)O(shè)單層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)n充分大，則矩陣C就可以近似的表示為兩個(gè)矩陣V和W的和矩陣，即C=V+W的形式，其中V=（v_ij）_2n×2n是網(wǎng)絡(luò)固定連接的連接強(qiáng)度矩陣，W=（w_ij）_2n×2n是長連接強(qiáng)度矩陣。根據(jù)所構(gòu)建的雙層小世界網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知矩陣C，V，W均為實(shí)對(duì)稱矩陣。

下面，我們討論雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。

顯然，當(dāng)γ₁<1時(shí)，所有的特征值γ₁都滿足γ_i<1，（i=1，2，…，2n），此時(shí)λ_1，2的實(shí)部都是負(fù)數(shù)，式（1）所示的系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。因此，可以得出如下結(jié)論。

結(jié)論2：對(duì)于式（1）所示的無時(shí)滯的雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)連接強(qiáng)度矩陣的最大特值γ_i<1時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的;而當(dāng)γ₁≥1時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

當(dāng)時(shí)滯τ≠0時(shí)，通過文獻(xiàn)^[8]的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的連接都是激勵(lì)的連接時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的最大特征值γ₁首先離開穩(wěn)定性區(qū)域。因此，如果網(wǎng)絡(luò)特征值的取值為最大值γ₁時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么對(duì)于取其他小于γ₁的值時(shí)，系統(tǒng)也一定是穩(wěn)定的。所以，只需討論最大值γ₁處系統(tǒng)的穩(wěn)定性即可?？紤]如下特征方程：

3? 結(jié)? 論

綜上，本文研究了一類具有隨機(jī)長連接的雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。首先我們給出了雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖，它是一類以兩個(gè)單層的Newman-Watts小世界網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，兩層節(jié)點(diǎn)之間以一定概率隨機(jī)連接的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。在數(shù)學(xué)期望意義下，分析了網(wǎng)絡(luò)連接強(qiáng)度矩陣C的最大特征值γ₁=[（n-3）p₁+np₂+2]k。顯然，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的連接強(qiáng)度k、單層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n和長連接概率p₁、以及層間的長連接概率p₂都對(duì)γ₁的取值有著非常重要的影響。然后，分別討論了雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)在無時(shí)滯和有時(shí)滯兩種情況下，系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定和不穩(wěn)定時(shí)，最大特征值γ₁需要滿足的條件。最后，給出了雙層小世界振子網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性區(qū)域。通過以上討論和研究，有利于深入了解真實(shí)雙層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和性能，能夠?yàn)槲覀兝^續(xù)探索多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)奠定良好的基礎(chǔ)。

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作者簡(jiǎn)介：周晶（1980—），女，漢族，吉林德惠人，講師，博士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)與控制。

收稿日期：2021-02-25

基金項(xiàng)目：吉林省教育廳“十三五”科學(xué)技術(shù)項(xiàng)目（JJKH20180636KJ）