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      輕繩對圓環(huán)拉力的沖量大小到底是多少?*——對《繩桿關聯(lián)系統(tǒng)若干問題研究》一文的再分析

      2021-11-06 03:59:58姜付錦
      物理通報 2021年11期
      關鍵詞:輕繩動量定理沖量

      姜付錦 喻 聰

      (武漢市黃陂區(qū)第一中學 湖北 武漢 430300)

      1 問題由來

      【題目】[1]如圖1所示,將質(zhì)量為2m重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán),環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為d.桿上的A點與定滑輪等高,桿上的B點在A點正下方距離為d處,現(xiàn)將環(huán)從A處由靜止釋放,不計一切摩擦阻力,求:

      圖1 題圖

      (1)環(huán)到達B處時,重物上升的高度h;

      (2)若環(huán)到達B處時速度大小為v,求此時重物速度大小;

      (3)環(huán)從A處靜止釋放到B處過程中,環(huán)克服輕繩拉力做的功W;

      (4)環(huán)從A處靜止釋放到B處過程中,繩對環(huán)拉力的沖量大小 ;

      (5)環(huán)能下降的最大高度H.

      1.1 原文作者對第(4)問的分析

      規(guī)定向下為正方向,環(huán)從A運動B的過程中,因繩對環(huán)拉力的沖量不在豎直方向上,運用動量定理非常麻煩.因此對重物、環(huán)與重物組成的系統(tǒng)分別應用動量定理,對重物運用動量定理,有

      2mgt-I=2m(-v物)-0

      (1)

      對環(huán)與重物組成的系統(tǒng)運用動量定理,有

      mgt+2mgt=mv+2m(-v物)

      (2)

      1.2 筆者的一點疑惑

      上題中第(4)問,繩子對環(huán)拉力的方向是時刻變化的,繩對重物拉力的方向是不變的.繩對圓環(huán)拉力的沖量有兩個分方向:水平方向和豎直方向,我們可以先求出拉力在兩個方向上的分沖量,再求出它們合沖量即為拉力的沖量.把環(huán)與重物組成一個系統(tǒng),則繩子對環(huán)在豎直方向上的沖量與繩子對重物在豎直方向上的沖量不能抵消,故原文中(2)式有誤.

      對重物用動量定理得

      2mgt-IF=2m(-v物)

      (3)

      對圓環(huán)用動量定理得

      mgt-Iy=mv

      (4)

      聯(lián)立式(3)、(4)整理得

      mgt+2mgt-IF-Iy=mv+2m(-v物)

      (5)

      故筆者以為原文中式(2)結果有待商榷.

      2 定量研究

      2.1 兩個物體速度與夾角的關系

      當輕繩與豎直桿的夾角為θ時,設環(huán)的速度v1,重物的速度v2,由機械能守恒定律

      (6)

      環(huán)與重物的速度關系

      v2=v1cosθ

      (7)

      聯(lián)立式(6)、(7)得

      v2=v1cosθ=

      (8)

      2.2 圓環(huán)所受拉力的沖量

      設繩子的拉力為F,則通過對圓環(huán)受力分析可知,圓環(huán)的動力學微分方程如下

      (9)

      將式(9)整理后得

      (10)

      因為輕繩與豎直桿夾角在減小,所以輕繩繞定滑輪轉(zhuǎn)動的角速度為負值,即

      (11)

      聯(lián)立式(10)、(11)兩式,得繩子的拉力為

      (12)

      圓環(huán)受到的拉力在水平方向和豎直方向上的沖量分別為

      (13)

      聯(lián)立式(8)、(12)、(13),并積分得

      (14)

      由式(14),得圓環(huán)受到輕繩拉力的沖量為

      (15)

      2.3 圓環(huán)下落的最大高度

      設圓環(huán)下降的最大高度為H,則根據(jù)機械能守恒定律得

      (16)

      (17)

      所以圓環(huán)在最低點時繩與桿的夾角為

      (18)

      3 數(shù)值模擬

      為了研究問題的方便,不妨設m=1 kg,g=10 m/s2,d=1 m,數(shù)值模擬如下.

      3.1 圓環(huán)與重物的速度與時間關系

      圖2為圓環(huán)與重物的速度與時間關系圖像.從圖2可以發(fā)現(xiàn),圓環(huán)與重物的速度與時間呈周期性變化;它們不是同時達到最大速度,圓環(huán)先達到最大速度,重物后達到最大速度;它們速度為零是同時的.

      圖2 圓環(huán)與重物的速度與時間關系

      3.2 圓環(huán)與重物的速度與角度關系

      圓環(huán)與重物的速度與角度的關系圖像如圖3所示.從圖3可以發(fā)現(xiàn),圓環(huán)達到最大速度時繩與桿的夾角不是60°,此時夾角要比60°大一些;重物達到最大速度時繩與桿的夾角也不是60°,此時夾角要比60°小,與式(18)分析結果吻合.

      圖3 圓環(huán)與重物的速度與角度關系

      3.3 圓環(huán)與重物的加速度與時間關系

      圓環(huán)與重物的加速度與時間關系如圖4所示.從圖4可以發(fā)現(xiàn),圓環(huán)開始運動時加速度為g,重物開始時加速度為零;圓環(huán)速度最大的時刻比重物速度最大時刻早一些.

      圖4 圓環(huán)與重物的加速度與時間關系

      4 結束語

      通過以上分析發(fā)現(xiàn),圓環(huán)與重物的速度與時間呈周期性變化;它們不是同時達到最大速度,圓環(huán)先達到最大速度,重物后達到最大速度,它們速度為零是同時的;圓環(huán)達到最大速度時繩與桿的夾角要比60°大;重物達到最大速度時繩與桿的夾角要比60°小;圓環(huán)開始運動時加速度為g,重物開始時加速度為零,而且兩個物體的加速度與時間變化的周期相等;當圓環(huán)在平衡位置微擾時,圓環(huán)與重物振動規(guī)律的相位差為零,且它們最大速度之比為它們質(zhì)量的反比;繩子對圓環(huán)拉力的沖量沒有解析解,只有數(shù)值模擬解.

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