輕繩對圓環(huán)拉力的沖量大小到底是多少？*——對《繩桿關聯(lián)系統(tǒng)若干問題研究》一文的再分析

姜付錦 喻 聰

(武漢市黃陂區(qū)第一中學 湖北 武漢 430300)

1 問題由來

【題目】[1]如圖1所示，將質(zhì)量為2m重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán)，環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.桿上的A點與定滑輪等高，桿上的B點在A點正下方距離為d處，現(xiàn)將環(huán)從A處由靜止釋放，不計一切摩擦阻力，求：

圖1 題圖

(1)環(huán)到達B處時，重物上升的高度h;

(2)若環(huán)到達B處時速度大小為v，求此時重物速度大小;

(3)環(huán)從A處靜止釋放到B處過程中，環(huán)克服輕繩拉力做的功W;

(4)環(huán)從A處靜止釋放到B處過程中，繩對環(huán)拉力的沖量大小 ;

(5)環(huán)能下降的最大高度H.

1.1 原文作者對第(4)問的分析

規(guī)定向下為正方向，環(huán)從A運動B的過程中，因繩對環(huán)拉力的沖量不在豎直方向上，運用動量定理非常麻煩.因此對重物、環(huán)與重物組成的系統(tǒng)分別應用動量定理，對重物運用動量定理，有

2mgt-I=2m(-v物)-0

(1)

對環(huán)與重物組成的系統(tǒng)運用動量定理，有

mgt+2mgt=mv+2m(-v物)

(2)

1.2 筆者的一點疑惑

上題中第(4)問，繩子對環(huán)拉力的方向是時刻變化的，繩對重物拉力的方向是不變的.繩對圓環(huán)拉力的沖量有兩個分方向：水平方向和豎直方向，我們可以先求出拉力在兩個方向上的分沖量，再求出它們合沖量即為拉力的沖量.把環(huán)與重物組成一個系統(tǒng)，則繩子對環(huán)在豎直方向上的沖量與繩子對重物在豎直方向上的沖量不能抵消，故原文中(2)式有誤.

對重物用動量定理得

2mgt-IF=2m(-v物)

(3)

對圓環(huán)用動量定理得

mgt-Iy=mv

(4)

聯(lián)立式(3)、(4)整理得

mgt+2mgt-IF-Iy=mv+2m(-v物)

(5)

故筆者以為原文中式(2)結果有待商榷.

2 定量研究

2.1 兩個物體速度與夾角的關系

當輕繩與豎直桿的夾角為θ時，設環(huán)的速度v1，重物的速度v2，由機械能守恒定律

(6)

環(huán)與重物的速度關系

v2=v1cosθ

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)得

v2=v1cosθ=

(8)

2.2 圓環(huán)所受拉力的沖量

設繩子的拉力為F，則通過對圓環(huán)受力分析可知，圓環(huán)的動力學微分方程如下

(9)

將式(9)整理后得

(10)

因為輕繩與豎直桿夾角在減小，所以輕繩繞定滑輪轉(zhuǎn)動的角速度為負值，即

(11)

聯(lián)立式(10)、(11)兩式，得繩子的拉力為

(12)

圓環(huán)受到的拉力在水平方向和豎直方向上的沖量分別為

(13)

聯(lián)立式(8)、(12)、(13)，并積分得

(14)

由式(14)，得圓環(huán)受到輕繩拉力的沖量為

(15)

2.3 圓環(huán)下落的最大高度

設圓環(huán)下降的最大高度為H，則根據(jù)機械能守恒定律得

(16)

(17)

所以圓環(huán)在最低點時繩與桿的夾角為

(18)

3 數(shù)值模擬

為了研究問題的方便，不妨設m=1 kg,g=10 m/s2,d=1 m，數(shù)值模擬如下.

3.1 圓環(huán)與重物的速度與時間關系

圖2為圓環(huán)與重物的速度與時間關系圖像.從圖2可以發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)與重物的速度與時間呈周期性變化；它們不是同時達到最大速度，圓環(huán)先達到最大速度，重物后達到最大速度；它們速度為零是同時的.

圖2 圓環(huán)與重物的速度與時間關系

3.2 圓環(huán)與重物的速度與角度關系

圓環(huán)與重物的速度與角度的關系圖像如圖3所示.從圖3可以發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)達到最大速度時繩與桿的夾角不是60°，此時夾角要比60°大一些；重物達到最大速度時繩與桿的夾角也不是60°，此時夾角要比60°小，與式(18)分析結果吻合.

圖3 圓環(huán)與重物的速度與角度關系

3.3 圓環(huán)與重物的加速度與時間關系

圓環(huán)與重物的加速度與時間關系如圖4所示.從圖4可以發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)開始運動時加速度為g，重物開始時加速度為零；圓環(huán)速度最大的時刻比重物速度最大時刻早一些.

圖4 圓環(huán)與重物的加速度與時間關系

4 結束語

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)與重物的速度與時間呈周期性變化；它們不是同時達到最大速度，圓環(huán)先達到最大速度，重物后達到最大速度，它們速度為零是同時的；圓環(huán)達到最大速度時繩與桿的夾角要比60°大；重物達到最大速度時繩與桿的夾角要比60°小；圓環(huán)開始運動時加速度為g，重物開始時加速度為零，而且兩個物體的加速度與時間變化的周期相等；當圓環(huán)在平衡位置微擾時，圓環(huán)與重物振動規(guī)律的相位差為零，且它們最大速度之比為它們質(zhì)量的反比；繩子對圓環(huán)拉力的沖量沒有解析解，只有數(shù)值模擬解.