Hull-White模型下可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)的擬蒙特卡羅模擬

高倩 楊雪斌

摘 要：可轉(zhuǎn)換債券是一種較為復(fù)雜的金融衍生產(chǎn)品，其定價(jià)具有重要的理論和實(shí)際意義。通過借鑒國內(nèi)外研究成果，使用隨機(jī)波動(dòng)率的Hull-White期權(quán)定價(jià)模型，用擬蒙特卡羅方法對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：與蒙特卡羅方法相比，擬蒙特卡羅模擬的價(jià)格與真實(shí)價(jià)格更接近、收斂速度更快，這也能夠證明隨機(jī)波動(dòng)率的Hull-White期權(quán)定價(jià)模型可以為可轉(zhuǎn)換債券的期權(quán)部分進(jìn)行定價(jià)。

關(guān)鍵詞：Hull-White模型;可轉(zhuǎn)換債券;擬蒙特卡羅模擬;低差異序列

中圖分類號(hào)：F830.91? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1673-291X（2021）27-0063-04

引言

金融市場中的統(tǒng)計(jì)模型一直是學(xué)術(shù)界研究的重點(diǎn)[1～2]。張梅琳和周義榮（2009）運(yùn)用股價(jià)及利率特性推導(dǎo)出了雙因素可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型[3]。王明雷（2012）在Hull-White模型的基礎(chǔ)上，建立了受外界干擾因子影響的隨機(jī)波動(dòng)率模型，對(duì)可轉(zhuǎn)債中的期權(quán)部分進(jìn)行了定價(jià)研究[4]。Shen Y.和Siu T.K.（2013）對(duì)Hull-White模型下的債券期權(quán)進(jìn)行了估值[5]。董微（2015）研究認(rèn)為，TF98和LSM模型能夠較準(zhǔn)確地?cái)M合可轉(zhuǎn)債價(jià)格[6]。潘堅(jiān)和肖慶憲（2016）在Hull-White模型下，開發(fā)了以隨機(jī)障礙為主要特征的障礙期權(quán)估值模型[7]。O.Samimi等人（2017）對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率和隨機(jī)利率模型（Heston-Hull-White）進(jìn)行美式期權(quán)定價(jià)[8]。林鴻熙和江良（2018）給出了一種有效的正則化方法，對(duì)Hull-White模型進(jìn)行穩(wěn)定的參數(shù)估計(jì)[9]。

蒙特卡羅模擬方法在金融計(jì)算中被廣泛使用[10]，蒙特卡羅方法和擬蒙特卡羅方法的應(yīng)用已有較多成果。羅付巖和徐海云（2008）對(duì)擬蒙特卡羅模擬方法中使用的Halton、Faure、Sobol序列進(jìn)行了定價(jià)分析，結(jié)果表明低維數(shù)條件下，三種序列比蒙特卡羅模擬的結(jié)果好，高維數(shù)條件下，F(xiàn)aure、Sobol序列比蒙特卡羅模擬的結(jié)果好，Halton序列則比較敏感[11]。張麗虹（2015）對(duì)美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，將蒙特卡洛方法得到的數(shù)值結(jié)果與用有限差分法得到的準(zhǔn)確解進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)蒙特卡洛方法仿真結(jié)果不太精確，波動(dòng)較大，尤其是在模擬次數(shù)較小的時(shí)候，而增加模擬次數(shù)可提高精度[12]。白薇（2015）選擇看漲期權(quán)，使用Euler離散化方法和Milstein離散化方法對(duì)擬蒙特卡羅方法下Hestom模型的離散化數(shù)值解做了研究，發(fā)現(xiàn)擬蒙特卡羅比傳統(tǒng)的蒙特卡羅方法更能夠提高模擬的效率[13]。楊首樟和任燕燕（2017）分別使用蒙特卡羅和擬蒙特卡羅模擬對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)對(duì)比，結(jié)果表明在低維度情況下擬蒙特卡羅模擬方法定價(jià)更加精確，收斂速度也更快;在高維情況下通過修正也可以達(dá)到同樣的效果[14]。

本文在已有工作的基礎(chǔ)上，使用隨機(jī)波動(dòng)率的Hull-White模型為可轉(zhuǎn)債的期權(quán)部分價(jià)值進(jìn)行定價(jià)，運(yùn)用擬蒙特卡羅方法模擬價(jià)格路徑，與傳統(tǒng)的蒙特卡羅方法進(jìn)行比較，對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行比較準(zhǔn)確的定價(jià)。

一、模型闡述

（一）純債券部分價(jià)值

我們認(rèn)為，可轉(zhuǎn)債由純債券和期權(quán)兩部分價(jià)值組成。純債券部分價(jià)值為債券所有者在債券有效期內(nèi)獲得的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值，可用下式表示：

式中，I為債券每年票面利率，M為債券初始發(fā)行價(jià)，t為債券持有年限，r為市場無風(fēng)險(xiǎn)利率，n表示從現(xiàn)在起至最后期限的時(shí)間（年），h表示從現(xiàn)在起至下一次除息日的小數(shù)年數(shù)，n+h表示從現(xiàn)在起至最后期限的時(shí)間。

（二）Hull-White模型下的期權(quán)部分價(jià)值

很多研究使用波動(dòng)率為常數(shù)的B-S期權(quán)定價(jià)公式為可轉(zhuǎn)債期權(quán)價(jià)值定價(jià)，但是股票收益率序列具有長記憶性和自相似性等特征，因此將波動(dòng)率的隨機(jī)性考慮在期權(quán)定價(jià)中與真實(shí)的市場情況更加接近。隨機(jī)波動(dòng)率更能刻畫新信息對(duì)未來的預(yù)測(cè)能力。John Hull與Alan White首先假設(shè)波動(dòng)率的平方和股票價(jià)格分別滿足下列隨機(jī)微分方程：

Hull-White得出了符合上述方程的近似解，但沒有得出解析解。此后學(xué)者又在Hull-White模型的基礎(chǔ)上對(duì)期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，但他們都沒有給出期權(quán)隨時(shí)變化的解析解，而且沒有考慮兩個(gè)方程之間的相關(guān)性。

我們?cè)贖ull-White模型的基礎(chǔ)上，考慮了更多外部沖擊因素的影響，引入如下隨機(jī)波動(dòng)率模型，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和波動(dòng)率分別滿足下列隨機(jī)方程：

定理1：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和波動(dòng)率分別滿足上述式（3）、式（4）兩個(gè)隨機(jī)方程，則標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)B滿足的方程為：

證明：

風(fēng)險(xiǎn)中性無套利條件下可以形成投資組合，即：

？駐是原生資產(chǎn)份額，假設(shè)∏是在t時(shí)刻的投資組合，選擇恰當(dāng)?shù)?？駐，使得在（t，t+dt）時(shí)間段內(nèi)，∏無風(fēng)險(xiǎn)。且在該時(shí)間段內(nèi)，？駐不變，那么在時(shí)刻t+dt，投資組合的回報(bào)是：

這里沒有給出模型的解析解，在模型所滿足的方程下，我們使用數(shù)值方法為期權(quán)部分定價(jià)。

（三）可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型

綜上，可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型可表示為：

A為純債券部分價(jià)值，B為滿足定理1的期權(quán)價(jià)值。

二、可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型的擬蒙特卡羅模擬

傳統(tǒng)的蒙特卡羅模擬方法被廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)模型中。它的基本原理是大數(shù)定理和中心極限定理，通過建立一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型或者隨機(jī)過程，使參數(shù)等于所求問題的解，再通過反復(fù)的隨機(jī)取樣，計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值和統(tǒng)計(jì)量，從而得到所求問題的近似解，抽樣次數(shù)越多，近似解越接近于真實(shí)值。蒙特卡羅模擬采用的隨機(jī)數(shù)存在偏差大、分布不均勻等特點(diǎn)，且蒙特卡羅模擬的收斂速度為O（n-1/2），此速度很慢。擬蒙特卡羅模擬改善了蒙特卡羅模擬的這些缺點(diǎn)，它與擬蒙特卡羅方法相同，但是用具有低偏差特征的低差異序列代替了偽隨機(jī)數(shù)序列。Halton序列、Sobol序列、Faure序列等都是常見的低差異序列。