施慧華

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021)

1 pA的特征

對(duì)于定義1中的序列A={ai}，文獻(xiàn)[9]定義了l∞上的連續(xù)半范數(shù)pA，即

并利用次微分證明了A-收斂等價(jià)于一族有限可加測(cè)度收斂.

必要性.設(shè)pA(χB)=α>0.當(dāng)β=0時(shí)，取C為B的任一單點(diǎn)子集，當(dāng)β=α，取C=B.證明當(dāng)0<β<α?xí)r的情況.記B={j1，j2，…，jk，…}?N，則

構(gòu)造以下3個(gè)滿足需要的數(shù)列.

當(dāng)in≤i

結(jié)合定理2及性質(zhì)1，有以下推論.

2 強(qiáng)無原子次測(cè)度與無原子理想

I?2N稱為N的一個(gè)理想，如果I滿足1)可遺傳性:任意B∈I，則由A?B，可得A∈I；2)有限并的封閉性:任意A，B∈I，A∪B∈I.稱Banach空間X中的序列{xn}I-收斂于x，若對(duì)任意ε>0，{n∈N：‖xn-x‖≥ε}∈I，當(dāng)I為非平凡的真理想，即I≠?，且N?I時(shí)，可得x的唯一性.若I包含所有單點(diǎn)集，稱I是容許的.I-收斂由文獻(xiàn)[12]提出，特別地，當(dāng)I=Ifin={A?N：A#<∞}時(shí)，I-收斂即為收斂.

若記IA={A?N：pA(χA)=0}，則根據(jù)pA的次可加性可知，IA是真理想.對(duì)B?N，由性質(zhì)1可知，pA(χB)=max{〈x*，χB〉：x*∈?pA(e)}，記φA(B)=pA(χB)，結(jié)合pA的非負(fù)性、單調(diào)不減和次可加性，可得φA是2N上的一個(gè)次測(cè)度(詳細(xì)討論參見文獻(xiàn)[13-15]).

定義2[14]次測(cè)度φ是強(qiáng)無原子的，對(duì)于任意ε>0，存在N的有限分劃{A1，…，Ak}滿足φ(Ai)<ε(i=1，2，…，k).

定義3[14]理想I?2N稱為是無原子的，若存在N的一列加細(xì)的有限分劃{Pn}，對(duì)任意Z?N，若存在單減序列{An}，滿足An∈Pn(?n∈N)，且(ZAn)#<∞，則有Z∈I.

文獻(xiàn)[11]定義的BW和FinBW可以推廣至Banach空間中.

定義4ⅰ)稱理想I滿足BW，若對(duì)任意有界序列{xn}?X，存在M?I，則{xn}n∈M是I-收斂的；

ⅱ)稱理想I滿足FinBW，若對(duì)任意有界序列{xn}?X，存在M?I，則{xn}n∈M是收斂的.

顯然，對(duì)容許的理想I，I滿足FinBW時(shí)，必滿足BW，反之，不成立，但對(duì)定義的IA有以下結(jié)論.

定理3若IA是容許的理想，則IA滿足FinBW，當(dāng)且僅當(dāng)IA滿足BW.

ⅰ)B∈IA.這是由于B∩[1，jk]?C1∪C2∪…∪Ck，從而當(dāng)ik≤i

ⅱ)(MB)#=∞.如若不然，(MB)#<∞，則有MB∈IA，又B?M，B∈IA，故M=(MB)∪B∈IA，矛盾.

結(jié)合MB?IA和{xn}n∈MB收斂于x，可知IA滿足FinBW.

定理4[11]若φ為強(qiáng)無原子的次測(cè)度，則理想Z(φ)={A?N：φ(A)=0}不滿足BW.

定理5[11]理想I不滿足FinBW，當(dāng)且僅當(dāng)I是無原子的.

對(duì)IA，結(jié)合定理3，4，5，則有定理6.

即B?IA，矛盾.