例談兩類數(shù)列最值問題的解法

袁龍

數(shù)列最值問題的綜合性較強，不僅考查了數(shù)列的性質(zhì)、定義、通項公式、前 n 項和公式等，還考查了求最值的方法.數(shù)列最值問題通常有兩種命題形式，一是求數(shù)列的最大項，二是求數(shù)列前 n 項和的最大值.本文結(jié)合實例，探討一下這兩類數(shù)列最值問題的求解思路.

一、求數(shù)列的最大（?。╉?/p>

求數(shù)列的最大（?。╉梿栴}較為簡單，只要明確數(shù)列中各項之間的規(guī)律，便可快速找出數(shù)列的最大（?。╉?一般有兩種思路：（1）將數(shù)列視為自變量是自然數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，進而求出數(shù)列的最大（?。╉?（2）根據(jù)通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性，若則為最小項.

例1 .

解：

我們將數(shù)列的通項公式視為二次函數(shù)，通過配方，借助二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值，即可得到數(shù)列的最小項.①當(dāng)時，數(shù)列為遞增函數(shù);②當(dāng)時，數(shù)列為遞減函數(shù).根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可找出數(shù)列的最大（小）項.

二、求數(shù)列前 n 項和的最值

求數(shù)列和的最值問題一般與等差數(shù)列的前 n 項和有關(guān).要使數(shù)列前n項和最大（?。?，需使且.而求等差數(shù)列前 n 項和最值有兩種方法：（1）二次函數(shù)法.將等差數(shù)列前 n 項和視為關(guān)于 n 的函數(shù)，通過配方或借助二次函數(shù)的圖象求二次函數(shù)的最值，即可得到的最值.（2）通項變號法.當(dāng)時，滿足的項數(shù) m 使得取得最大值為;當(dāng)時，滿足的項數(shù) m 使得取得最小值為.

例2.

解：

解法一主要是運用了函數(shù)思想，將等差數(shù)列的前 n 項和公式看作關(guān)于 n 的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值;解法二主要是運用了通項變號法，根據(jù)有最小值建立關(guān)系式得到 n 取值范圍，從而求得的最小值.

在解答數(shù)列最值問題的過程中，我們首先要根據(jù)題意， 結(jié)合數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，求出數(shù)列的通項公式的前 n 項和公式，對其進行合理的變形，然后構(gòu)造函數(shù)式或不等式，利用數(shù)列的單調(diào)性、函數(shù)思想、通項變號法等求得問題的答案.

本文系海門區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題《新高考模式下的“數(shù)列課堂改革”》成果.

（作者單位：江蘇省南通市海門第一中學(xué)）