怎樣用分離參數(shù)法求函數(shù)最值問題中參數(shù)的值

馬洪光

求函數(shù)最值問題中參數(shù)的值或者取值范圍問題在高中數(shù)學試題中比較常見，此類問題的綜合性較強，常與不等式、函數(shù)、方程、導數(shù)等知識相結合，是一類難度較大的問題.而分離參數(shù)法是解答此類問題的重要手段.分離參數(shù)法是指通過分離參數(shù)，用函數(shù)思想來討論主變量的變化情況，由此確定參數(shù)的變化范圍或取值的方法.運用這種方法可以避免分類討論的麻煩，使問題順利獲解.

運用分離參數(shù)法求函數(shù)最值問題中參數(shù)的值，主要有以下幾個步驟：

1.根據(jù)題意，將函數(shù)最值問題轉化為不等式恒成立問題;

2.將不等式變形，使參數(shù)、變量分離，把參數(shù)單獨置于等式或者不等式的一邊;

3.將不含有參數(shù)的式子構造成函數(shù)模型;

4.利用導數(shù)法或通過分析函數(shù)的解析式，判斷出函數(shù)的單調性，進而確定函數(shù)的最值;

5.根據(jù)函數(shù)的最值建立新關系式，求得參數(shù)的值.下面舉例說明.

例1.

我們根據(jù)函數(shù)有最小值，將問題轉化為不等式恒成立問題，再分離參數(shù)，并構造出新的函數(shù).只要求得新函數(shù)的最值，便能根據(jù)不等式求得 a 的值.在求函數(shù)的最值時，還用到了導數(shù)法.

例2.

分離參數(shù)后的式子比較繁瑣，我們通過設出一個與此相關的新函數(shù)，并求出最小值，得到原函數(shù)的最大值，從而求得參數(shù)的值.這里巧妙地運用了轉化思想.

例3.

在分離參數(shù)后，為了求得函數(shù)的最值，我們通過二次求導判斷出函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的最值.

可見，運用分離參數(shù)法求函數(shù)最值問題中參數(shù)的值的關鍵是，在分離出參數(shù)之后，將原問題轉化為求函數(shù)的最值或值域問題來求解.在解題時要注意靈活運用轉化思想、函數(shù)思想、分類討論思想、數(shù)形結合思

想等來輔助解題.

（作者單位：四川省安岳中學）